2013年北京科技大学量子力学考研真题.doc

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2013 年北京科技大学量子力学考研真题北京科技大学 2013 年硕士学位研究生入学考试试题 ============================================================================== 试题编号： 876 试题名称：量子力学适用专业：物理学说明：所有答案必须写在答题纸上，做在试题或草稿纸上无效。 ============================================================================== 一）多选题（每题 2 分，共 40 分）（1） x 和 p 分别是量子力学中的位置算符和动量算符，以下哪些算符可以用来表示力学量？（__________） px px xp xp 2 2  3 A. xp B. px C. D. （2）以下哪些对易关系成立？（__________） A.[ , x p  ] 0 B.[ , x p ] i  C.[ , x y  ] 0 D.[ p p  x ] 0 , y （3）以下关于自旋的说法哪些是正确的？（__________） A.自旋量子数必须是整数 C.自旋量子数可以是半整数 D.自旋可以看作是粒子的自转运动 B.自旋量子数可以是整数（4）以下哪些实验说明电子存在自旋？（__________） A.正常塞曼效应 B.反常塞曼效应 C.斯塔克效应 D.斯特恩-盖拉赫实验（5） zL 表象下，已知角动量量子数 0 l  ，以下说法哪些是正确的？（__________）   , 2 ,...  ； A. xL 的取值是确定的，为 0； B. xL 的取值是不确定的，可能取 0, C. zL 的取值是确定的，为 0； D. 2L 的取值是确定的，为 0；（6）氢原子的第一玻尔半径是？（____________） A.0.01nm B.0.05nm C.0.1nm D.0.5nm （7）氢原子的电离能是多少？（_________） A. 511keV C.6.8eV D.4.9eV B.13.6eV 1

（8）可见光波长是大概什么数量级的？（_________） A.几 o A B.几纳米（ nm ） C.几十纳米 D.几百纳米（9）假设 A 是算符，但不一定是厄米的， A  ，以下哪些等式成立？（__________） A.   A B.   †A C.      A A † D.      A A * † （10）以下哪些算符是厄米算符？（_________） A. L B. L C. 2L D. zL （11）以下哪个态矢量表示的是“自旋单态”？（___________） A.   B.   C.  1 2       D.  1 2       （12）关于费米子，以下哪些陈述成立？（_________） A.电子是费米子 C.费米子满足泡利不相容原理 D.光子是费米子 B.自旋是半整数的粒子是费米子（13）以下哪些等式成立？（_________） A. a n C. a n   n n  1 B. † a n  n  1 n  1 n  1 n  1 D. † a n  n n  1 （14）两电子系统的波函数可表示为   , r r 1 2    s 1 ,z s 2 z  的形式，是轨道部分波函数， 是自旋部分波函数。以下哪些说法正确？（_________） A.如果是交换对称的话，那么 就是交换反对称的； B.如果是交换反对称的话，那么 就是交换对称的； C.如果是交换对称的话，那么 就是交换对称的； D.如果是交换反对称的话，那么 就是交换反对称的；（15）以下哪些算符是厄米算符？（_________） A.产生、湮灭算符 †a 和 a B.数算符 †a a 2

C.   m 2 a a  † D. mi    2 † a  a  （16）以下哪些可表示线性谐振子的哈密顿量？（__________） A. H  2 p 2 m  2 2 m x  2 B. H  † a a     1 2      C. H  2 1 p 2 m x  D. H  2 p 2 m  kx （17）以下哪些哈密顿量存在能级简并？（___________） A. E 0 0    0 E 1    B. E 0 0    0 E 0    C. E  0    E 0    D. 0     0    （18）以下哪些算式成立？（_________） A.  h p B.  p h C. p  h  D. p   h （19）以下哪些算式成立？（_________） A. x x x    x   B. x x     x  x  C. x x  1 D. x x  0 （20）电子在电磁场中的哈密顿量是？（_________）   A. H  C. H   2  ˆ p eA m  ˆ p eA m  2 2 2  e  B. H   e  D. H     2  ˆ p eA m  ˆ p eA m  2 2 2  e   e  二）填空题（每空 2 分，共 40 分）：（ 1 ）自旋的泡利矩阵表示，在 z 表象下，请写出，单位算符 I  __________ ， x  __________， y  _________， z  __________，  __________，  __________。请从以上 6 个算符中挑选出一个厄米算符：___________，一个幺正算符：___________，一 3

个既是厄米又是幺正的算符： ___________ ，一个既不是厄米又不是幺正的算符： ___________。（2）氢原子波函数可用   表示，这里 n  ___________，l  ___________， , ) ( , r s ( ) nlm z m  ___________， zs  ___________，能量 nE 的简并度是：_____________。（ 3 ）把以下狄拉克右矢空间中的矢量分别映射到左矢空间中：   _________ ，    ___________，假设 1c ， 2c 是复数， 1 c c 2   ________________，假设 A , B 是算符，但不一定是厄米算符， AB   ______________ ，  _______________。 n n   n 三）计算和证明题（每题 10 分，共 70 分）（1）请定性地画出一维线性谐振子基态，第一激发态，第二激发态，第三激发态的波函数图形。（2）质量为 m 的粒子在宽度为 a 的一维无限深势阱中运动。能量本征值 nE ，归一化本征波函数为 n ；若已知 0 t  时，该粒子的波函数为：   x ,0   1 2 刻该粒子的波函数和平均位置 tx  ?    2 ( ) x  1 ( ) x  ，求t 时（3）设氢原子处于状态     r , ,  1 2   R r Y 21 10    ,  3 2 4   R r Y 21    1 1 , 。求氢原子

能量，角动量平方及角动量 z 分量的可能值，这些可能值出现的概率和这些力学量的平均值。（4）请证明： L l m  ,    l m l m     1  , l m  1 。（5）对玻色子，请计算 † , a a a   ?  ，和 †   , a a a   †    ? （6）假设有 3 个全同玻色子，2 个处在 m 态，1 个处在 n 态，请写出系统的归一化波函数。（7）6 个电子在宽度为1nm 的无限深势阱中运动，不考虑电子间的相互作用，估算吸收谱线中可能具有的最大波长，请将最终结果用纳米（ nm ）表示。（ h  6.626 10   34 J s  ， em  9.109 10   31 kg ， c  2.998 10  8 1 m s   ） 5

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