第 22 卷 第 2 期 2006 年 3 月 科 技 通 报 BULLETIN OF SCIENCE AND TECHNOLOGY Vol. 22 No. 2 Mar. 2006 一种基于最大似然估计的频偏估计算法 ( 1. 金华职业技术学院 电子工程系, 浙江 金华 321017; 2. 浙江大学 信息与电子工程系, 杭州 310028) 唐金花 1, 陈偕雄 2 摘 要: 本文提出了一种频偏估计算法, 该算法基于最大似然估计, 性能达到 Cramer-Rao 下界, Matlab 平台上的仿真结果表明, 文中算法的推导是正确的。算法结构简单, 可全数字化, 开环结构, 易于硬件实 现; 算法的计算量小, 捕获快速, 适用于突发式数据通信系统。 关键词: 频偏; 最大似然估计; 算法; 数据通信 中图分类号: TN914 文献标识码: A 文章编号: 1001- 7119( 2006) 02- 0263- 04 A Fr equency Offset Estimation Algor ithm based on Maximum Likelihood Estimator TANG Jin-hua1, CHEN Xie-xiong2 ( 1. Department of Electronic Engineering, Jinhua college of Profession and Technology, Jinhua 321017 ,China; 2. Department of Information and Electronic Engineering, Zhejiang University, Hangzhou 310028, China) Abstr act: This paper presents a frequency offset estimation algorithm. The algorithm bases on maximum likelihood esti- mator. Its performance reaches Cramer-Rao lower bound. The simulation results on Matlab show that the inference in this paper is correct. The structure of the proposed algorithm is simple, all digital, open-loop and can be realized easily in hardware. Its computation complexity is low. The acquisition and tracking are fast. So it is suitable for burst data commu- nication systems. Key wor ds: frequency offset; maximum likelihood estimator; algorithm; data communication 0 引 言 通信系统中, 接收机一般有自己的振荡器产 生本地载波, 并用这个载波和接收信号相乘实现 下变频, 但发射载波和本地载波的频率不可能完 全一致, 即存在频率偏 差( 简称 频偏) , 即使接 收 端用很精密的振荡器, 这样的频偏仍然存在。如 果是相干解调, 频偏会 导致接 收机性 能大 大降 低[1]; 即使是非相干解调, 如有信 道均 衡, 频偏 也 会 给 均 衡 器 跟 踪 信 道 的 变 化 时 带 来 额 外 的 负 担 [2]。所以在高速数字通信系统中, 对频偏的要求 往往非常苛刻[3], 如 GSM、3GPP 等都 要求频 率稳 收稿日期: 2004- 04- 12 基金项目: 浙江省自然科学基金( Y104008) 作者简介: 唐金花( 1966- ) , 女, 副教授, 硕士, 主要从事通信、电子技术的教学与研究。 

264 科 技 通 报 定度达到 10- 7。这样的频率精度, 振荡器很难达 到, 况且如果有多普勒频移, 即使振 荡器达 到了 这个要求也无济于事。唯一的办法只有通过信号 处理将频偏参数估计出来并加以补偿。如何用观 察数据估计出 频偏, 这 就是频 偏估 计算法 的研 究, 它一直是通信领域的热点之一。 频偏估计算法前人已提出很多, 可分为有前 导 字 ( data-aided) 和 没 有 前 导 字 ( non data-aided) 的两大类, 前者性能好, 但 前导字 占用带 宽和功 率, 后者于功率效率和频率 效率有 利, 但 性能远 不如前者, 目前已经在实际通信系统中得到应用 的还是前者。在前一类算法中, 以基于最大似然 估计( MLE) 的性能为最好。本文提出了一种基于 MLE 的、需要前导字的频偏估计算法。 1 算法的推导 根 据 文 献[4]、[5], AWGN 信 道 中 , 经 过 下 变 频并将数字调制去掉后, 对频偏参数的估计可以 从下式开始[4、5]: kT s e rk=ej( 2πf +θ)+νk, k=1, 2, …, N ( 1) 上式中, Ts 表示抽 样 间 隔 ; θ为 相 位 偏 差 , 在( 0, 2π) 内均 匀分布; νk=νk, c+jνk, s, {νk, c}、{νk, s}为零均 值 统计独立的高斯随机序列, {νk}的方差为 σ2; fe 代 表频偏; N 是前导字的长度。 假设观 测数据 的信噪 比足够 大, 则 ( 1) 式 可 近似为[6]: rk≈ej( 2πf kT s e +θ+μk ) , k=1, 2, …, N {μk}仍是高斯过程, 方差为 σ2 ( 2) 2 。取( 2) 式的相位, 记 为: pk=arg{rk}=2πfekTs+θ+μk ( 3) arg{.}表示求相角运算。对( 3) 式求差分, 得: dk=pk+1- pk=2πfeTs+μk+1- μk ( 4) 上式的右边是一个有色高斯过程, 所以对参 数 fe 的估计等价于求有色高斯过程的平均, 即系 数为 1 与-1 的滑动平均过程( MA) , 故( 4) 式所示 的 线 性 模 型 的 最 小 方 差 无 偏 估 计 就 是 对 参 数 fe 的最大似然估计, 而前者可通过对以下目标函数 J 求极小值获得[7]: J=( D- 2πfeTsI) C- 1( D- 2πfeTsI) ( 5) 其 中 D=[ d1, d2, … , dN- 1] T, I=[ 1, 1, … , 1] T, C 是 dk =0, 得: 第 22 卷 ( 6) 的协方差矩阵。令 "J "fe ITC- 1D ITC- 1I f^ e= 1 2πTs Var( f^ e) = 1 2πTs 1 ( 7) e 和 Var( f^ ITC- 1I e 代表 fe 的估计值, Var( f^ f^ e) 表示算法的方差。只 要求出协方差矩阵 C, 即可得到f^ e) 。上 面已提到过, dk 是一个系数为 1 与-1 的滑动平均 过程, 所以有[7]: c( 0) = σ2 $ 2 & & c( 1) =c( - 1) = σ2 % 2 & & c( k) =0, ’ ( - 1) .1=- σ2 2 [ 12+( - 1) 2] =σ2 k ≥ 即 C= σ2 2 2 2 - 1 0 0 … 0 ( - 1 2 - 1 0 … 0 ) ) … … … … … … ) ) 0 2 * 0 … 0 - 1 + , , , , - 那么 ITC- 1I= N( N2- 1) 6σ2 其中 wk= N- 2 6σ2 ITC- 1D= N( N2- 1) k=0.wkdk k- ( N ( 2 / N / / 2 * N - 1) 2 3 $ 2 & N2- 1 1- % & ’ 2 0 + & , , 1 , , & 2 - 将( 8) 、( 9) 代入( 6) 、( 7) 式, 得: f^ e= 1 2πTs k=1.wkdk N- 1 = 1 2πTs Var( f^ e) = N- 1 k=1.wkarg{rk *rk+1} 6 N( N2- 1) 1 σ2 ( 8) ( 9) ( 10) ( 11) 1 ( 10) 式 是 无 偏 估 计 , 捕 获 范 围 为± Ts , 其 性 N- 1 - 1 对称, 且 能( 见( 11) 式) 达到了 Cramer-Rao 下界[8], 这是因 为有{wk}的作用。从{wk}的定义可以看出, {wk}关于 k= N 2 k=1.wk=1, 所 以 可 以 看 成 是 一 个 窗口, ( 10) 式中它对 dk 求加权平均。如果只对 dk 求线性平均, 即 wk= 1 N- 1 , 则: 

第 2 期 唐金花等. 一种基于最大似然估计的频偏估计算法 265 N- 1 k=1" 1 N- 1 f^ e│nowindow= 1 2πTs = 1 2πTs e) │nowindow= Var( f^ ( pk- 1- p1) 1 ( N- 1) 2 1 σ2 dk N- 1 = 1 2πTs N- 1 k=1" pk+1- pk N- 1 ( 12) ( 13) 虽然( 12) 式仍然是无偏 估 计, 但 其 方 差( 见( 13) 式) 要比算法( 10) 的方差( 见( 11) 式) 大很多: Var( f^ e) │nowindow Var( f^ e) = N( N+1) 6( N- 1) ≈ N 6 ( 14) 当观测数据( 即前导字) 比较长时, 这个差距还是 很大的, 可见 wk 的重要作用: 使算法的性能达到 Crammer-Rao 下界。 2 算法的实现 了抑制噪声, 再加一个 8 阶 Butterworth 滤波器; feTs=0.05。 前 导 字 的 长 度 N 分 别 取 16、32、64、 128、256、512、1024, 仿真算法( 12) 的方差与信噪 比 SNR( SNR= σ2 s σ2 s 是 信 号 的 平 均 功 率) 的 关 , σ2 系, 仿真结果示于图 2。 10- 2 10- 4 10- 6 10- 8 10- 10 10- 12 10- 14 e c n a i r a V r o r r E d e z i l a m r o N 0 5 10 15 20 25 30 35 40 SNR/dB 从( 10) 式看出, 算法的硬件实现可以全数字 化, 原理框图见图 1。 图 2 算法的方差与 SNR 的关系 Fig. 2 The relationship between algorithm’s error variance and SNR γk k=1, 2, …, N (·) * Ts wk 2πTs arg{.} 累加 f^ e 图 1 算法实现的原理框图 Fig. 1 The block diagram of algorithm realization 3 仿真结果及讨论 3.1 算法的性能仿真 仿真在 Matlab6.0 平台上进行, 信道模型为 AWGN 信道。仿真时数字调制取 QPSK; 成形滤 波器为升余弦滤波器, 滚降系数 α=0.5; 接收端为 图中的实线是理论值( ( 11) 式的计算结果) , “o”表 示 仿 真 结 果, 每 一 个 点 都 是 对 10000 个 Monte Carlo 序列的统计结果。从图 2 可以看出, 高信噪比时, 仿真结果与理论值符合得很好, 信 噪比较低时, 仿真结果比理论值大, 并且当前导 字的长度增长, 这个差距在缩小, 这是因为在算 法推导时假设有较大的信噪比, 而滑动平 均 过 程, 点数越多抑制噪声的效果越好。仿真结果表 明前文算法的推导是正确的。 3.2 与其它算法的比较 在文献[ 5] 中, Luise 和 Reggiannin 提出一种 频偏估计算法( 下文简称 LR 算法) , 本文将文中 提出的算法与 LR 算法作一比较。LR 算法与本文 的 算 法 都 是 从 ( 1) 式 出 发 , 但 推 导 过 程 不 同 : LR 算法不对( 1) 式近似为( 2) 式, 而是直接求 rk 的似 然函数的最大值, 然后作一些近似, 得出频偏的 估计表达式: f^ e= 1 πTs( M+1) arg M $ k=1"R( k %) R( k) = 1 N- k N i=k+1&rir* i- k, 1≤k≤M, 1≤M≤N- 1 上 式 中 M 的 选 取 直 接 影 响 着 算 法 的 精 度 、 捕获范围和计算量: M 越大, 精度越高, 但捕获范 

266 科 技 通 报 第 22 卷 围越小( 因为 f^ eTs < 1 ( M+1) ) , 计算量也越大。当 M=N/2 时, 算法的性能接近 Cramer- Rao 下界。我 们选取 N=128, M 分别取 10 和 64, 与本文的算法 做性能比较, 结果见图 3。 10- 4 10- 5 10- 6 10- 7 10- 8 10- 9 10- 10 e c n a i r a V r o r r E d e z i l a m r o N 0 5 10 15 20 25 30 35 40 SNR/dB 图 3 本文的算法与 LR 算法的比较 Fig. 3 The comparison of proposed algorithm with LR algorithm 从图 3 可以看出, 当 M=10 时, LR 算法不如 本文的算法, 当 M=64 时, 高信噪比时, 两种算法 性能接近, 低信噪比时 LR 算法略好于本文的算 法。但是 M=64 时, LR 算法的捕获范围已很小: ±1/65Ts, 而本文算法的捕获范围: ±1/Ts; 并且计算 量上, LR 算法: ( 2NM+4N) 次实数 乘 法, ( 2N( M- 1) +2N- 2) 次实数加, 而本文的算法: ( 5N- 5) 次实 数乘法, ( 3N- 3) 次实数加, 当 M=N/2 时, LR 算法 的计算量远远大于本文的算法。所以本文的算法 更有优势。 4 结 论 仿真结果以及与其它算法的比较结果表明, 本文提出的算法性能好, 计算量小, 开环结构, 可 全数字化, 非常适合突法式数据通信系统。 参考文献: [ 1] Proakis J G. Digital Communications (Fourth Edition) [M]. New York: McGraw-Hill, 2001. [ 2] Bahai A R S, Sarraf M. Frequency offset estimation in IEEE Trans. frequency selective fading channels [J]. Commun., 1997(3): 1719- 1723. Jeong E R, Jo S K, Kim Y D and Lee Y H. Least squares approach to data-aided frequency estimation in frequen- cy-selective fading channels[J]. IEEE Trans. Commun., 2001, 6:1724- 1728. [ 3] [ 5] [ 4] Chung J C I, Sollenberger. Burst coherent demodulation with combined symbol timing, frequency offset estima- tion, and diversity selection[J]. IEEE Trans. Commun., 1991(COM- 39):1157- 1164. Luise M Reggiannin R. Carrier frequency recovery in all-digital modems for burst-mode transmission[J]. IEEE Trans. Commun., 1995, 43:1169- 1178. Tretter S A. Estimatin the frequency of a noisy sinusoid by linear regression [J]. Inform. Theory, 1985( IT- 31) : 832- 835. Zacks S. Parametric statistical inference[M]. New York: Pergamon, 1981. IEEE Trans. [ 6] [ 7] [ 8] Rife D C Boorstin R R. Single tone parameter estimation from discrete-time observation [J]. IEEE Trans. Inform. Theory, 1974( IT- 20) :591- 598. !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ( 上接第 262 页) 参考文献: [ 1] 丁 学 智, 赵 亚 伟. 规 范 土 地 开 发 整 理 工 作 实 现 耕 地 总 量动态平衡[J]. 科技情报开发与经济, 2001,11(1): 5- 6. [ 2] 魏 丹 斌, 尚 凯. 土 地 整 理—我 国 耕 地 保 护 的 重 要 举 措 [J]. 河南地质, 2001,19(2):93- 100. 持 耕 地 总 量 动 态 平 衡[J]. 石 家 庄 经 济 学 院 学 报, 2001, 24(4):400- 408. [ 4] 谭 术 魁. 土 地 整 理 的 兴 起 及 其 规 范 推 进[J]. 国 土 与 自 然资源研究, 2001,(4):30- 32. [ 5] 张正峰, 陈百明, 董锦. 土地整理潜力内涵与评价方法 [ 3] 李 彦 芳, 康 海 燕, 周 勇. 加 强 土 地 整 理 和 易 地 开 发,保 研究初探[J]. 资源科学, 2002,24(4):43- 48.