2016年重庆理工大学数学分析考研真题A卷.doc

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2016 年重庆理工大学数学分析考研真题 A 卷一、求极限（共 30 分） 1. （3 分） lim x  x 2 x  1 2. （3 分） lim 1x  0 x  2 x 3. （4 分） lim n  n 3 n  n 2 4.（4 分）  lim n  n   2 2 n 1    n 5. （4 分） 3 lim 3 n 9  3  27 3  3n  3 6. （4 分） lim 0 x      1 2 x  1  2 1  x e     7. （4 分） 1 lim 1  0 y  2 x  2 y dx 8. （4 分） lim ( ( )    , ( , x y ) 2 x  2 y e ) 2 ( x  y 2 ) 二、（14 分）设函数 ( ) f x x  当 0 时有定义，且二阶可导（边界考虑单侧导数），常数 , , l m n 取何值可使函数处处二阶可导？ ( ) F x     ( ), f x   lx mx n 2 x x   0, 0. ,

三、计算题（共 8 小题，每题 4 分，共 32 分） 1. 求函数 y  arcsin 1  2 x 的微分. 2. 求函数 y  )x ( f e e ( f x ) 的一阶导数，其中具有一阶导数. f 3. 求函数 y  1 2 2 x  x  8 的 n 阶导数. 4. 用对数求导法求函数 y  2 x  x 1 1  1  x 2 x 的一阶导数. 5.设含参量函数为   x  y  e e  nt  nt 2 cos , t sin , t 2 其中 n 为常数，求 dy dx . 6. 求不定积分  dx x  2  3 2    1  . 7. 求不定积分 2 3x x e dx .  8．求定积分 1  0 2 x 1  2 x dx . 四、(14 分)求函数 y  2 ln( x  1) 的极值、单调区间、凸性区间以及拐点.

五、（12 分）证明方程 xy  z ln y  e xz  1 在 (0,1,1) 的某邻域内能否确定出隐函数 x  ( , ) f y z ，并计算此隐函数的一阶偏导数. 六、解答题（共 2 小题，每题 5 分，共 10 分） 1. 判别级数 2. 求幂级数   n 1     2 n 3 n 2 n  1  n  的敛散性.  x  n 1  n n 2 n 的收敛半径和收敛域. 七、（10 分）通过构造适当的幂级数求级数 n   1 ( n  n 的和. 1)! 八、（10 分）求平面 z  0 ，圆柱面 2 x  2 y  2 x ，和锥面 z  2 x  2 y 所围成的曲顶柱体的体积. ( ) f x 九、（8 分）设证明：存在 ( , )a b  在使得 '( ) [ , ]a b f 连续，在 ( , )a b 可导，且 f ( )  . ( ) f a  ( ) f b  0 . 十、（10 分）设 1   x  过来，若    在 (0, ( )x 是凸函数，则 ) 有定义，证明：若 ( ) x x 也是凸函数. ( ) x x 是凸函数，则    1 x  是凸函数，反  

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