2021-2022年上海市杨浦区高一数学下学期期中试卷及答案.doc

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2021-2022 年上海市杨浦区高一数学下学期期中试卷及答案一、填空题（共 10 小题，每小题 4 分，满分 40 分） 1．已知向量，则＝． 2．已知 i为虚数单位，则复数 2+i的虚部是 1 ． 3．已知 tan（x+ ）＝2，则 tanx的值为． 4．函数 5．已知的严格减区间为 [2kπ﹣ ，2k ]，k∈Z ．，则＝． 6．将函数 y＝f（x）图像上的点保持纵坐标不变，横坐标变为原来的两倍后得到函数 y＝f1 （x）的图像，再将 y＝f1（x）的图像向上平移 1 个单位后得到函数 y＝sinx的图像，则 y ＝f（x）的函数表达式是 y＝ sin2x﹣1 ． 7．设平行四边形 ABCD中，△BCD的重心为 H，，则μ3λ＝． 8．已知 i为虚数单位，|z|＝1，则＝ 9 ． 9．设函数 y＝f（x）＝sin（ωx+φ），其中ω＞0，且，则ω的最小值为． 10 ．设锐角 △ABC的外心为 O，且，则 tanA+cotA＝ 8 ．二、选择题（共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分） 11．①加速度是向量； ②若 ③若且，则；，则直线 AB与直线 CD平行．上面说法中正确的有（）个 A．0 B． B．1 C．2 D．3 12．在△ABC中，下列说法中错误的是（） A．sinA＞0

B．cosA+cosB＞0 C．sinA+sinB＞sinC D．cos2A+cos2B﹣cos2C＜1，则△ABC为锐角三角形 D． 13．设函数 y＝f（x）＝tan3x+x﹣3π，则 f（x）在[﹣π，7π]上所有零点的和为（） A．36π B．39π C．72π D．75π D． 14．有下面两个命题： ①若 y＝f（x）是周期函数，则 y＝f（f（x））是周期函数； ②若 y＝f（f（x））是周期函数，则 y＝f（x）是周期函数，则下列说法中正确的是（） A．①②都正确 B．①正确②错误 C．①错误②正确 D．①②都错误 B．三、解答题（共 4 小题，满分 60 分） 15．已知向量．（1）若，求实数 m的值；（2）若可以构成平面上的一个基底，求实数 m的取值范围．解：（1）由已知可得 2m﹣4﹣m2+m+2＝0，解得 m＝1 或 2．（2）因为可以构成平面上的一个基底，所以不平行，所以 m﹣2≠﹣2m2+2m+4，所以 m≠2 且，即实数 m的取值范围是（﹣∞，﹣ ）∪（﹣ ，2）∪（2，+∞）． 16．设 m是实数，关于 x的方程 x2﹣（m+2）x+m2+3m+1＝0 有两根 x1，x2．（1）若，求 m的取值范围；（2）若|x1﹣x2|＝2，求 m的取值范围．解：（1）∵ ，∴方程有两实根或一对虚根， ∴Δ≤0，即（m+2）2﹣4（m2+3m+1）＝﹣3m2﹣8m≤0，解得．

（2）①若有两个不等实根，由Δ＞0，∴﹣ ＜m＜0， ∵|x1﹣x2|＝2，∴ ﹣4x1•x2＝4，则（m+2）2﹣4（m2+3m+1）＝﹣3m2﹣8m＝4， ∴3m2+8m+4＝0，于是或﹣2， ②若是两个虚根，则两根为，于是，得到 3m2+8m﹣4＝0，于是． ∴m的取值范围为{﹣ ，﹣2， }． 17．（16 分）在工厂实习中，小宋拿到的材料是一块顶角 A为的扇形铝板（足够大），现在需要将铝板放在切割机上，加工成一个内角为 A的三角形工件△ABC．（1）小宋的师傅拿出了一个工件样品△ABC，其中，求 sinB，sinC的值；（2）师傅在小宋的扇形铝板的顶角 A的角平分线上打了一个点 D，且 AD＝1，并要求小宋加工的工件△ABC的 BC边经过点 D，则： ①用角 B表示工件△ABC的面积 S； ②求 S的最小值，以及取得最小值时角 B的大小．解：（1）因为，所以且 B为三角形内角，所以或 B＝，所以或 C＝．所以或 sinB＝，．（2）①在△ABD和△ACD中由正弦定理，得＝，＝，所以于是，； ② 利用二倍角公式和积化和差公式可得

由题意可得．所以当即时，S取到最小值． 18．（18 分）已知函数 y＝f（x），x∈D．若存在 a＞0 使得 g（x）＝f（x）+ax是严格增函数，那么称 f（x）为缓降函数”．（本题可以利用以下事实：当时， sinx＜x．）（1）判断以下函数是否是“缓降函数”①y＝﹣2x﹣10②y＝﹣x3（无需写出理由）；（2）求证：y＝g（x）＝cosx是“缓降函数”；（3）已知 m≥0，求证：是“缓降函数”的充要条件是 m＞0．解：（1）①是“缓降函数”，②不是“缓降函数”．（2）证明：当时，由题意得，所以再结合所给事实可得：当 x∈（0，+∞）时，sinx＜x．令 g（x）＝cosx+ax，再取 a≥1，x2＞x1，于是 g（x2）﹣g（x1）＝cosx2﹣cosx1+a（x2﹣x1）＝这说明 y＝cosx是“缓降函数”．（3）证明：令充分性：已知 m＞0，取，则于是是严格增函数，所以是缓，

降函数．必要性：用反证法，当 m＝0 时，若存在 a＞0 使 g（x）＝f（x）+ax是严格增函数，令 k＝[a]+1，这里[a]代表不大于 a的最大整数，取．此时我们知道数矛盾．此即说明，这说明 g（x2）﹣g（x1）＜0 与严格增函不是缓降函数．

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