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2022-2023学年辽宁省丹东市高三上学期期末数学试题及答案.doc
2022-2023 学年辽宁省丹东市高三上学期期末数学试题及答
案
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的．
1. 设集合 {4,5,6,7}
A
， {6,7,8}
B
，U A B
，则 U(
ð
A B
)
中元素个数为（
）
B. 4
C. 5
D. 6
A. 3
【答案】A
【解析】
【分析】由交、并，补集的定义即可得出答案.
【详解】因为集合 {4,5,6,7}
A
，
B
{6,7,8}
，所以
A B
6,7
，所以 Uð
A B
4,5,8
.
故 Uð
A B 的元素个数为：3 个.
U A B
4,5,6,7,8
，
故选：A.
2. 已知
i
a
i
A. 1
【答案】D
【解析】
5
，则正实数 a （
）
B.
2
C.
3
D. 2
【分析】根据复数的除法和 2i
1 ，以及复数的求模公式即可求解.
【详解】
i
a
i
i
a
i
i
i
2
i
i
a
2
i
i 1
a
1
i 1
a
2
a
1
5
,
所以
a ，
2
所以正实数 2
a ，
故选：D.
3. 设命题
p
:
x
1
x
2
1,
1.
命题
q
:
2,
x
1
x x
1 2
x
2
1.
则 p是 q的（
）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充分且必要条件
D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】判断 p，q间关系可得答案.
【详解】当
1
1
，则
2
x
1
x x
1 2
x
2
1
，故 p是 q的充分条件；
x
1
x
2
2
1
当
x
1
x x
1 2
x
2
，则可令
x
1
x
2
5
0.3
，不能得到
x
1
x
2
1
1
，则 p不是 q的必要条件.
则 p是 q的充分不必要条件.
故选：A
4. 将函数
y
x
sin 2
π
6
（
）
图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍，所得图象函数式为
A.
y
x
sin 4
π
6
B.
y
x
sin 4
π
3
C.
y
sin
x
π
12
D.
y
sin
x
π
6
【答案】D
【解析】
【分析】根据
y A
sin
ωx φ
图象的伸缩变换，若将 sin
x
图象的横坐标变为原来的
y
1
倍则可得到 sin
x
y
即可得出结论.
【详解】由三角函数
y A
sin
ωx φ
图象的伸缩变换可知，
将函数
y
x
sin 2
π
6
图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍，可以得到
y
sin
1
2
2
x
π
6
sin
x
π
6
.
故选：D
5. 已知等比数列 na 的前三项和 84， 1
a
a
4
，则 4a （
42
）
B. 6
C. 12
D. 24
A. 3
【答案】B
【解析】
【分析】根据等比数列通项与前 n 项和公式结合已知得出其首项与公比，即可得出答案.
【详解】设等比数列 na 的公比为 q，
等比数列 na 的前三项和 84，
则当 1q 时， 1
a
a
4
a
1
a
1
，不满足题意，
0
当 1q 时，
a
1
3
1·
q
1
q
84
① ，
a
1
a
4
，则
42
a
1
3
a q
1
② ，
42
令
①
②
，即
3
1·
q
1
q
3
a q
1
a
1
a
1
，解得
2
q ，则 1
a ，
48
1
2
则
a
4
3
a q
1
48
3
1
2
6
，
故选：B.
6. 从三个班级，每班随机选派两名学生为代表，这六名同学被随机安排在一个圆桌会议室
进行“深度学习与复习”座谈，会议室的圆桌正有好有六个座位，则同一班级的两名同学恰
好被安排在一起相邻而坐的概率为（
）
A.
1
30
【答案】C
【解析】
B.
1
15
C.
2
15
D.
1
20
【分析】 n 个元素圆桌环形排列的所有情况为 1
1An
，将需要相邻的元素捆绑，环形排列，
n
还要注意捆绑的两个元素内部也有顺序.
【详解】由题意可知，所有的情况数是 5
5A
120
种，同一班级的两名同学恰好排在一起相
邻而坐的情况数为：首先三个班的两名同学捆绑，形成新的三个元素，环排共有 2
2A
2 种，
又每个班两名同学可以排序，则有 2
2
A A A A 16
2
2
2
2
2
2
种，同一班级的两名同学恰好被安
排在一起相邻而坐的概率为
16
120
2
15
.
故选：C
7. 设函数
( )
f x
A.
( )
f x 是奇函数
2
1 2x
，则（
）
B.
( )
f x 是偶函数
C.
f x 的图象关于点
( )
0,1 中心对称
D.
f x 的图象关于直线 1x 轴对称
( )
【答案】C
【解析】
【分析】对于选项 AB：根据函数的奇偶性定义对其判断；
对于选项 CD：根据函数中心对称或轴对称定义对其判断.
【详解】对于选项 A：
对于选项 B：
f
(
x
)
f
(
x
)
2
1 2 x
2
1 2 x
f x
f x
，则 ( )
f x 不是奇函数，故 A 错误；
，则 ( )
f x 不是偶函数，故 B 错误；
对于选项 C：
f x
f
x
2
1 2
x
2
1 2
x
x
2 1 2
x
1 2
，故 ( )
f x 的图象关于点
0,1
2
中心对称，故 C 正确；
对于选项 D：
f
2
x
2
2
1 2 x
f x
误；
故选：C.
，则 ( )
f x 的图象不关于直线 1x 轴对称，故 D 错
8. 已知 1F ， 2F 为双曲线
C
:
2
2
x
a
2
2
y
b
1(
a
0,
b
的两个焦点，以 1 2F F 为直径的圆与 C及
0)
C的渐近线在第一象限的交点分别为点 A和点 B，若 A，B两点横坐标之比为 4∶3，则 C的
离心率为（
）
A.
5
【答案】D
【解析】
B. 2
C. 2 3
3
D. 3 2
2
【分析】先求得 B 点的横坐标，进而求得 A 点的坐标，将 A 点坐标代入双曲线的方程，化
简求得离心率.
【详解】以 1 2F F 为直径的圆的圆心为原点，半径为 c ，方程为 2
x
2
y
2
，
c
双曲线过一、三象限的渐近线方程为
y
b
a
x
，
由
y
x
2
b
a
y
x
2
2
c
解得 Bx
a ，所以
Ax
a ，
4
3
则
Ay
2
c
2
4
a
3
，将
x
,A
y 代入双曲线方程得
A
整理得
2
2
c
a
9
2
,
e
c
a
3 2
2
.
故选：D
4
3
a
a
2
2
2
c
a
2
4
3
2
b
，
1
二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求．全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分．
9. 某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识，为了解讲座效果，随机抽取 10
位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷，这 10 位社区居民在
讲座前和讲座后问卷答题的正确率如下图：
则（
）
A. 讲座前问卷答题的正确率都小于100%
B. 讲座前问卷答题的正确率的中位数小于 70%
C. 讲座后问卷答题的正确率的平均数大于85%
D. 讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差
【答案】AC
【解析】
【分析】由图表中数据可直接判断 A；计算出讲座前问卷答题的正确率的中位数可判断 B；
计算讲座后问卷答题的正确率的平均数，判断 C；分别计算出讲座后和讲座前问卷答题的正
确率的极差，即可判断 D.
【详解】对于 A，10 名社区居民在讲座前问卷答题的正确率分别为
65%,60%,70%,60%,65%,75%,90%,85%,80%,95% ，答题的正确率都小于100% ，A
正确；
对于 B，将讲座前问卷答题的正确率从小到大排列为
60%,60%,65%,65%,70%,75%,80%,85%,90%,95% ，
所以其中位数为
70% 75% 72.5% 70%
2
，所以 B 错误，
对于 C，由图可知，10 位居民讲座后问卷答题的正确率的平均数为：
1 (90% 85% 80% 90% 85% 85% 95% 100% 85% 100%) 89.5%
10
正确；
， C
对于 D，讲座前问卷答题的正确率的极差为95% 60% 35%
讲座后问卷答题的正确率的极差100% 80% 20%
,
，
所以讲座后问卷答题的正确率的极差小于讲座前正确率的极差，所以 D 错误，
故选：AC．
10. 正方体
ABCD A BC D
1
1 1 1
的棱长为 1，P为线段 1
1B D 上的点，则（
）
A.
BP 平面 1AD C
/ /
B.
AP 平面 1C BD
/ /
C. 三棱锥 B APD
的体积为定值
D. BP与 1AD 所成角的最小值为 45
【答案】BC
【解析】
【分析】根据点 P 与 1D 重合时，即可判断 A；证明 1
AB D ∕∕平面 1C BD ，再根据面面平行
1
的性质即可判断 B；说明 PBD△
的面积为定值，再证明 AC 平面
BDD B ，结合三棱锥
1 1
的体积公式即可判断 C；以点 D 为原点，建立空间直角坐标系，利用向量法即可判断 D.
【详解】对于 A，当点 P 与 1D 重合时， BP 与平面 1AD C 交于点 1D ，故 A 错误；
对于 B，因 为 1
BB DD∕∕ 且 1
BB DD
1
1
，
所以四边形
BDD B 为平行四边形，
1 1
所以
BD
∕
∕
B D
1
1
，
同理可得 1
AB DC∕∕ ，
1
又 1
,B D AB 平面 1C BD ，
1
1
,BD DC 平面 1C BD ，
1
所以 1
1B D ∕
∕ 平面 1C BD ， 1AB ∕∕平面 1C BD ，
又 1
B D AB
1
1
B B D AB
1
1
,
,
1
1
平面 1
AB D ，
1
所以平面 1
AB D ∕∕平面 1C BD ，
1
又因 AP平面 1
AB D ，
1
所以 AP ∕∕平面 1C BD ，故 B 正确；
对于 C，由 B 选项可知
BD
∕
∕
B D
1
1
，
则点 P 到 BD 的距离为1，
则
S
△
PBD
1
1
2
2
2
2
，
连接 AC ，则 AC BD ，
因为 1BB 平面 ABCD ， AC平面 ABCD ，
所以 1BB
AC
，
BB
又 1
BD B BB BD
,
,
1
平面
BDD B ，
1 1
所以 AC 平面
BDD B ，
1 1
所以三棱锥 A BPD
的高为 1
2
AC
2
2
，
所以
V
A BPD
1
3
2
2
2
2
，
1
6
即三棱锥 B APD
的体积为定值，故 C 正确；
1,0,0 ,
对于 D，如图，以点 D 为原点，建立空间直角坐标系，
则
A
AD
1
1,1,0 ,
BP
，设
1,0,1 ,
,
P a a
,1 0
0,0,1
1,1
D
1
1,
B
则
，
a
a
a ，
1
故
cos
AD BP
,
1
AD BP
AD BP
1
1
2
1
a
0 1
a
a
1
2
2
1
1
2
2
a
2
a
，
2
1
1
令
t
2
cos
则
,
a t
1,2
AD BP
,
1
，则 2
，
a
t
t
2 2
t
2
1
1
2
2
t
2
t
2
4
t
3
1
2
2
，
4
t
3
2
t
令
m
1
t
,
m
1
2
,1
，
cos
则
AD BP
,
1
2
1
2
3
m
，
4
m
2
当
1m 时，
cos
当
m 时，
1
2
cos
AD BP
,
1
AD BP
,
1
2
2
，此时 BP与 1AD 所成的角为 45 ，
6
3
2
2
，
所以当
m ，即点 P 与 1D 重合时，BP与 1AD 所成的角小于 45 ，故 D 错误.
1
2
故选：BC.
11. 抛物线
C y
:
2
2
(
px p
的焦点为 F ，准线为l ，经过C 上的点 M 作C 的切线 m ，m
0)
与 y 轴、l 、 x 轴分别相交于点 N 、 P 、Q ，过 M 作l 垂线，垂足为 1M ，则（
）
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