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2022-2023学年江苏省南通市高三上学期期末数学试卷及答案.doc
2022-2023 学年江苏省南通市高三上学期期末数学试卷及答
注意事项：
案
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上.用 2B 铅笔
将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”.
2.作答选择题时，用 2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑：如需改动，用橡
皮擦干净后，再选涂其他答案.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写
在答题卡各题目指定区域内相应位置上；不准使用铅笔和涂改液.
3.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.
4.本试卷共 6 页，22 小题，满分 150 分.考试用时 120 分钟.
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的．
1. 若集合
M x
{ 2
x
4},
N
x
log
3
x
1
，则 M N （
）
A. { 2
x
x
3}
C. { 0
x
x 或 2}
x
2
B. {
x x
0}
D. R
【答案】B
【解析】
【分析】利用指数函数以及对数函数的单调性求得集合 ,M N ，根据集合的并集运算即可得
答案.
log
x 得 2x ，解 3
4
3x ，
1x 得 0
3
，
x
【详解】解 2
故得
M x x
M N
故
x x
x
0
2 ,
N
0
，
故选：B．
2. 已知复数 z ， ，满足 2
2
z
，且复数 z 在复平面内位于第一象限，则
2
2
1
z
z
2
（
）
B.
1
4
C.
1
2
D.
3
4
A.
3
2
【答案】C
【解析】
【分析】设
【详解】设
则
2
z
z
z
i
a b
，
i
a b
，
b
2
2
a
i
c d
i
c d
，利用复数的乘方运算以及复数的几何意义即可求解.
，
ab
i
c d
i
2
c
2
d
2 i
cd
，
2
则
c
1
2
，
d
3
2
，所以
1
2
3 i
2
，
2
a
2
b
，
1
2
ab
3
4
，所以
b
3
a
4
，
则有 2
a
3
16
a
2
，解得
0
1
2
a
1
2
，
b
3
2
，
又复数 z 在复平面内位于第一象限，所以 1
z
2
3 i
2
，
2
2
1
z
z
2
1
2
．
代入可得
故选：C
3. 已知数列{ }na 是递增数列，且
a
n
3
t n
6
n
n
,
t
6
8,
n
6
，则实数 t的取值范围是（
）
B.
2,3
C.
10 ,3
7
D.
1,3
A.
2,3
【答案】C
【解析】
【分析】根据分段函数的单调性及数列为递增数列，列出不等式组求解即可.
【详解】因为
a
n
3
t n
6
n
n
,
t
6
8,
n
6
，{ }na 是递增数列，
所以
0
3
t
(3
) 6 8
t
1
t
10
7
，解得
t
t ，
3
所以实数 t的取值范围为
10 ,3
7
，
故选：C
4. 俄国著名飞机设计师埃格•西科斯基设计了世界上第一架四引擎飞机和第一种投入生产
的直升机，当代著名的“黑鹰”直升机就是由西科斯基公司生产的.1992 年，为了远程性和
安全性上与美国波音 747 竞争，欧洲空中客车公司设计并制造了 340A ，是一种有四台发动
机的远程双过道宽体客机，取代只有两台发动机的 310A
.假设每一架飞机的引擎在飞行中
出现故障率为1 p ，且各引擎是否有故障是独立的，已知 340A 飞机至少有 3 个引擎正常
运行，飞机就可成功飞行； 310A 飞机需要 2 个引擎全部正常运行，飞机才能成功飞行.若
要使 340A 飞机比 310A 飞机更安全，则飞机引擎的故障率应控制的范围是（
）
B.
1 ,1
3
C.
20,
3
D.
10,
3
A.
2 ,1
3
【答案】C
【解析】
【分析】
由独立重复实验概率公式可得两种飞机正常飞行的概率，解不等式即可得解.
【详解】由题意，飞机引擎正常运行的概率为 p ，
则 310A 飞机能成功飞行的概率为 2
2C p
2
2
p ，
340A 飞机能成功飞行的概率为
3
3
C p
4
1
4
p C p
4
4
3
p
4
3
4
p
，
令
4
3
p
3
4
p
2
即
p
23
p
4
p
，解得
1
所以飞机引擎的故障率应控制的范围是
20,
3
故选：C.
1
p .
1
3
.
5. 如图，内外两个椭圆的离心率相同，从外层椭圆顶点向内层椭圆引切线 AC，BD，若直线
AC与 BD的斜率之积为
，则椭圆的离心率为（
1
4
）
B.
2
2
C.
3
2
D.
3
4
A.
1
2
【答案】C
【解析】
【分析】设出切线 AC和 BD的方程，与椭圆方程联立消去 y ，根据判别式 Δ 0 ，求得 1
2,k k
的表达式，根据 AC与 BD的斜率之积求得 a和 b的关系，进而求得 a和 c的关系，椭圆的离
心率可得.
【详解】设内层椭圆的方程为
2
2
x
a
2
2
y
b
1(
a
，
0)
b
由离心率相同可知，外层椭圆的方程为
2
x
ma
(
2
)
2
y
mb
(
2
)
1
，
如图，
设切线 AC 的方程为
y
1(
k x ma
)
，
则
)
(
y
k x ma
1
2
2
)
(
bx
ay
(
)
，
2
(
ab
)
消去 y 得 2
(
b
2
2
a k
1
2
)
x
2
3
4
2
ma k x m a k
1
2
1
2
2 2
a b
0
由 Δ 0 ，得
2
k
1
2
b
2
a m
1
2
1
，
设切线 BD 的方程为
y
k x mb
2
，
联立
y
k x mb
2
2
2
)
(
)
bx
(
ay
，
2
(
ab
)
消去 y 得
2
(
b
2
a k
2
2
)
x
2
2
2
2 2
ma k x m a b
b
2
2
2 2
a b
，
0
由 Δ 0 得
k
2
2
2
2 (
b
a
2
m
1)
，
2
k
1
k
2
2
4
4 ,b
a
又直线 AC与 BD的斜率之积为
，
1
4
a
2 ,
b c
3 ,
b
e
3
2
.
2
2
b
a
1
4
故选：C
6. 已知函数 ( )
f x
sin(
0
，
x+
)(
),
2
x
4
为 ( )
f x 的零点，
x
为
4
y
( )
f x
π 5π
(
18 36
， 单调，则的最大值为
)
B. 9
D. 5
图象的对称轴，且 ( )
f x 在
A. 11
C. 7
【答案】B
【解析】
【分析】根据已知可得ω为正奇数，且ω≤12，结合 x
为 f（x）的零点，x
为 y
＝f（x）图象的对称轴，求出满足条件的解析式，并结合 f（x）在（
）上单调，
4
4
18
，
5
36
为 f（x）的零点，x
为 y＝f（x）图象的对称轴，
4
2
n
4
1 2
2
，（n∈N）
【详解】∵x
可得ω的最大值．
4
2
n
4
∴
2
1
T
，即
即ω＝2n+1，（n∈N）
即ω为正奇数，
∵f（x）在（
18
，
5
36
）上单调，则
5
36
12
18
，
T
2
即 T
，解得：ω≤12，
2
6
11
4
φ＝kπ，k∈Z，
，
5
36
）不单调，不满足题意；
当ω＝9 时，
φ＝kπ，k∈Z，
当ω＝11 时，
∵|φ|
，
∴φ
，
2
4
此时 f（x）在（
18
9
4
∵|φ|
，
2
，
4
∴φ
此时 f（x）在（
18
故ω的最大值为 9，
，
5
36
）单调，满足题意；
故选 B．
【点睛】本题将三角函数的单调性与对称性结合在一起进行考查,题目新颖,是一道考查
能力的好题.注意本题求解中用到的两个结论：①
f x
sin
0,
A
A
0
x
的单调区间长度是最小正周期的一半;②若
f x
A
sin
关于直线
x
x 对称,则
0
f x
0
A 或
0
f x
A .
x
A
0,
的图像
0
7. 已知实数 a满足
ln e
2
1
1 ln 2
a
1 ln 2
，则（
）
B.
1
e a
a
C.
1
ea
e 1
a
D.
A.
1
e a
a
1
ea
e 1
a
【答案】D
【解析】
【分析】根据
ln e
2
1
1 ln 2
a
1 ln 2
得
1
1
2
e
1
e
a
e
，对 AB，构造
g x
ex
1
，根据零点存在性定理判断即可；对 CD，构造函数函数
f x
x
ln
x
1
x
x
1
，
求导分析函数单调性，结合所给不等式判断即可.
【详解】由
ln e
2
1
1 ln 2
a
1 ln 2
得
1
1
2
e
1
e
a
e
，
对于选项 A 与 B，函数
g x
ex
1
在
x
0, 上单调递增，则存在 0
x
1 3,
e 5
，使得
g x ，即 0
xx
0e
0
0
1
，又
1
e
1
a
2e
2
e
1
x
且 0
1
,
e e
2e
2
1
，所以
1
e a
a ，
1
e a
a 均
有可能，即
1
e a 与 a大小不确定．故 A 与 B 都不正确．
对于选项 C 与 D，令函数
f x
ln
x
1
x
x
1
得
f
x
11
x
x
ln
2
1
x
，
令
g x
11
x
减
ln
x x
得
1
g x
1
2
x
1
x
1
x
2
x
，所以
0
g x 在
1, 上单调递
所以当 1x 时，
g x
g
1
，所以
x
0
f
g x
2
1
x
0
，所以
f x 在
1, 上单
调递减，
又
1
1
2
e
1
e
确．
故选：D
a
e
，所以
f a
f
e
，所以
ln
a
1
a
ln e
e 1
，即 1
ea
e 1
a
，故 D 正
8. 已知四棱锥 P ABCD
外接球表面积为 S ，体积为 ,V PA 平面
4,
2
ABC
，且 4 3
3
3
V ，则 S 的取值范围是（
）
B. 20
S
C. 10 3
S
D.
ABCD PA
,
A. 10
S
20 3
S
【答案】B
【解析】
【分析】将已知 4 3
3
范围，
V 转化为
S
ABCD
，运用余弦定理与基本不等式得到 AC的取值
3
由此运用正弦定理得四边形 ABCD外接圆半径的范围，然后根据球的性质得球半径的
范围，得解.
【详解】
以四边形 ABCD的外接圆为底，PA为高，将四棱锥补形为一个已知球的内接圆柱.
设内接圆柱的底面半径为 r、 R外接球的半径，,则 2
R
2
2
2
，
r
V
1
3
S
ABCD
PA
4
3
S
ABCD
S
ABCD
1
2
AB BC
sin
2
3
4 3
3
1
2
，故
S
ABCD
，
3
AD DC
sin
3
3
4
AB BC AD DC
，
AB BC AD DC
4
所以
在 ABC
中运用余弦定理与基本不等式得：
2
AC
2
AB
2
BC
AB BC
3
AB BC
，
在 ADC△
中运用余弦定理与基本不等式得：
3
AC
2
3(
2
AD DC
2
AD DC
) 3
AD DC
，
上两式相加得：
4
AC
2
3(
故有： 2
AC ，
3
AB BC AD DC
) 12
，
在 ABC
中由正弦定理得：
2
r
AC
2
3
sin
,
r
3
3
,
AC r
2
1
，
3
1
因此 2
R
2
2
2
r
，
5
S
4
R
2
20
.
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