2020-2021年山东枣庄高一数学下学期期中试卷及答案.doc-资料库

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2020-2021 年山东枣庄高一数学下学期期中试卷及答案一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．若复数 z＝，则|z|＝（） A．2 B． B． C．1 D． 2．在△ABC 中，已知 a＝6，b＝4，c＝2 ，则角 C＝（） A．30° B．45° C．60° D．120° C． 3．已知向量，，．若λ为实数，，则λ＝（） A．2 C． B．1 C． D． 4．已知用斜二测画法画得的正方形的直观图的面积为，那么原正方形的面积为（） A．36 C． B． C．72 D． 5．已知点 D 是△ABC 所在平面上一点，且满足，则＝（） A． D． B． C． D． 6．瑞士著名数学家欧拉发现公式 eix＝cosx+isinx（i 为虚数单位），它将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位．被誉为数学中的“天桥”．根据欧拉公式可知，e 表示的复数在复平面内对应的点位于（） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 C．

7．已知点 G 是三角形 ABC 所在平面内一点，满足 + + ＝，则 G 点是三角形 ABC 的（） A．垂心 D． B．内心 C．外心 D．重心 8．在棱长为 a 的正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中，E 为 AA1 的中点，则过 B、C1、E 三点的平面截正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 所得的截面面积为（） A． B． B． C． D．二、多项选择题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全选对的得 5 分，选对但不全的得 3 分，有选错的得 0 分. 9．已知非零向量，，下列说法正确的是（） A．若＝，则| |＝| | B．若，为单位向量，则＝ C．若| |＞| |且与同向，则＞ D．| + |≤| |+| | AD． 10．下列命题正确的是（） A．如果一条直线上有两个点在一个平面上，那么这条直线不一定在这个平面内 B．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么他们有且只有一条过该点的公共直线 C．过直线外一点，可以作无数个平面与这条直线平行 D．如果一条直线平行于平面内的无数条直线，则该直线与平面平行 BC． 11．已知△ABC 中，D 是 BC 上的点，AD 平分∠BAC，BD＝2DC，下列结论正确的是（） A．sinC＝2sinB

B．若∠B＝30°，则△ABC 为直角三角形 C．若∠BAC＝60°，则△ADC 为等边三角形 D．若∠BAD＝30°，则△ABD 为等腰三角形 ABD． 12．如图，在透明塑料制成的长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 容器内灌进一些水，将容器底面一边 BC 固定于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，下列说法中正确的是（） A．水的部分始终呈棱柱状，没水的部分也始终成棱柱状 B．水面四边形 EFGH 的面积不改变 C．棱 A1D1 始终与水面 EFGH 平行 D．当 E∈AA1 时，AE+BF 是定值 ACD．三、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13．请写出一个满足 z+ 为实数的虚数 z＝ + i ．解：设 z＝a+bi（a，b∈R），则 z+ ＝（a+bi）+ ＝（a+bi）+ ＝a+bi+ ＝（a+ ）+（b﹣ ）i，若 z+ 为实数，则 b﹣ ＝0，即 a2+b2＝1，所以 z＝a+bi（a，b∈R）只需满足 a2+b2＝1 即可，如：z＝ + i．故答案为： + i．

14．已知向量＝（x，1），＝（1，﹣2），且 ⊥ ，则| ﹣ |＝．解：根据题意，向量＝（x，1），＝（1，﹣2），若 ⊥ ，则 • ＝x﹣2＝0，则 x＝2，故＝（2，1），则 ﹣ ＝（1，3），故| ﹣ |＝，故答案为：． 15．如图所示，位于 A 处的甲船获悉：在其正东方向相距 40 海里的 B 处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．甲船立即把消息告知在其南偏西 30°，相距 20 海里的 C 处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向沿直线 CB 前往 B 处救援，则 cosθ＝．解：如图所示，在△ABC 中，AB＝40，AC＝20，∠BAC＝120°，由余弦定理得 BC2＝AB2+AC2﹣2AB•AC•cos120°＝2800，所以 BC＝20 ．由正弦定理得 sin∠ACB＝ •sin∠BAC＝．由∠BAC＝120°知∠ACB 为锐角，故 cos∠ACB＝．

所以 cosθ＝cos（∠ACB+30°）＝cos∠ACBcos30°﹣sin∠ACBsin30°＝．故答案为：． 16．已知一个健身球放在房屋的墙角处，紧靠墙面和地面，即健身球与围成墙角的三个两两互相垂直的面都相切，若墙角顶点到球面的点的最远距离 +1 ，则球的体积是．解：由已知可得，球心与墙角顶点可构成边长为 R 的正方体，则球心到墙角顶点的距离为正方体的对角线，即，又墙角顶点到球面的点的最远距离 +1，则＝ +1，解得 R＝1，所以球的体积是＝．故答案为：．四、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．如图，在三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中，E，F，G，H 分别是 AB，AC，A1B1，A1C1 的中点，求证：（1）B，C，H，G 四点共面；（2）平面 EFA1∥平面 BCHG．证明：（1）∵G、H 分别为 A1B1，A1C1 中点，∴GH∥B1C1， ∵三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中，BC∥B1C1， ∴GH∥BC ∴B、C、H、G 四点共面；（2）∵E、F 分别为 AB、AC 中点， ∴EF∥BC ∴EF∥BC∥B1C1∥GH 又∵E、G 分别为三棱柱侧面平行四边形 AA1B1B 对边 AB、A1B1 中点，

∴四边形 A1EBG 为平行四边形，A1E∥BG ∴平面 EFA1 中有两条直线 A1E、EF 分别与平面 BCHG 中的两条直线 BG、BC 平行 ∴平面 EFA1∥平面 BCHG． 18．已知复数 z0＝（a2﹣4a+3）+（a2﹣3a+2）i（i 为虚数单位，a∈R）为纯虚数，z0 和实数 b 是关于 x 的方程 x2﹣（3+2i）x+6i＝0 的两个根．（1）求 a，b 的值；（2）若复数 z 满足|z|＝|a+bi|，说明在复平面内 z 对应的点 Z 的集合是什么图形？并求该图形的面积．解：（1）∵复数 z0＝（a2﹣4a+3）+（a2﹣3a+2）i（i 为虚数单位，a∈R）为纯虚数， ∴ ，解得 a＝3， ∴z0＝2i，由韦达定理可得，，解得 b＝3．（2）∵复数 z 满足|z|＝|a+bi|， ∴ ， ∴在复平面内 z 对应的点 Z 的集合是以原点为圆心，以为半径的圆， ∴S＝πr2＝18π． 19．已知△ABC 的面积为，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：（Ⅰ）b 和 c 的值；（Ⅱ）sin（A﹣B）的值．条件①：a＝6，；条件②：A＝C，．解：若选择条件①：（Ⅰ）在△ABC 中，因为 cosC＝﹣ ，所以 C 因为，sinC＝＝，，a＝6，所以 b＝2，由余弦定理，c2＝a2+b2﹣2abcosC＝48，所以．

（Ⅱ）由正弦定理，可得，所以因为，，，所以，，所以 sin（A﹣B）＝sinAcosB﹣cosAsinB＝，若选择条件②：（Ⅰ）在△ABC 中，因为 A＝C，所以 a＝c．因为因为所以，所以，，，，由余弦定理，b2＝a2+c2﹣2accosB＝64，所以 b＝8，（Ⅱ）由正弦定理得，所以因为，，所以，所以 sin（A﹣B）＝sinAcosB﹣cosAsinB＝． 20．已知向量与的夹角为，且，．（1）若与共线，求 k；（2）求，；（3）求与的夹角的余弦值．解：（1）∵ 与共线，且， ∴根据共线向量基本定理：存在λ，使， ∴根据平面向量基本定理得：，解得 k＝；（ 2 ）由已知，得，；

（3）设与的夹角为α，则＝，因此，与的夹角的余弦值为． 21．如图一个透明的球形装饰品内放置了两个具有公共底面的圆锥，且这两个圆锥的顶点和底面圆周都在这个球面上，如图，已知大圆锥轴截面是等边三角形，设球的半径为 R，圆锥底面半径为 r．（1）试确定 R 与 r 的关系；（2）若小圆锥、大圆锥的侧面积为 S1、S2，球的表面积为 S3，求 S1：S2：S3；（3）求出两个圆锥的总体积（即体积之和）与球的体积之比．解：（1）由几何体的特征，得到△ABC 为直角三角形，由于大圆锥的轴截面为等边三角形，故∠ABC＝30°，所以：AC＝R，BC＝，所以 r＝，（2）球心到圆锥底面的距离，所以小圆锥的高为，故小圆锥的母线长为 R，大圆锥的母线长为，所以故，，，．（3）由（1）得：两个圆锥的体积和为，

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