2020-2021 年山东枣庄高一数学下学期期中试卷及答案
一、单项选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分,在每小题给出的四个选项中,
只有一项是符合题目要求的.
1.若复数 z=
,则|z|=(
)
A.2
B.
B.
C.1
D.
2.在△ABC 中,已知 a=6,b=4,c=2 ,则角 C=(
)
A.30°
B.45°
C.60°
D.120°
C.
3.已知向量
,
,
.若λ为实数,
,则λ=
(
)
A.2
C.
B.1
C.
D.
4.已知用斜二测画法画得的正方形的直观图的面积为
,那么原正方形的面积为(
)
A.36
C.
B.
C.72
D.
5.已知点 D 是△ABC 所在平面上一点,且满足
,则 =(
)
A.
D.
B.
C.
D.
6.瑞士著名数学家欧拉发现公式 eix=cosx+isinx(i 为虚数单位),它将指数函数的定义
域扩大到复数集,建立了三角函数和指数函数的关系,它在复变函数论里占有非常重要的地
位.被誉为数学中的“天桥”.根据欧拉公式可知,e
表示的复数在复平面内对应
的点位于(
)
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
C.
7.已知点 G 是三角形 ABC 所在平面内一点,满足 +
+ = ,则 G 点是三角形 ABC 的
(
)
A.垂心
D.
B.内心
C.外心
D.重心
8.在棱长为 a 的正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,E 为 AA1 的中点,则过 B、C1、E 三点的平面截正
方体 ABCD﹣A1B1C1D1 所得的截面面积为(
)
A.
B.
B.
C.
D.
二、多项选择题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,在每小题给出的四个选项中,
有多项符合题目要求,全选对的得 5 分,选对但不全的得 3 分,有选错的得 0 分.
9.已知非零向量 , ,下列说法正确的是(
)
A.若 = ,则| |=| |
B.若 , 为单位向量,则 =
C.若| |>| |且 与 同向,则 >
D.| + |≤| |+| |
AD.
10.下列命题正确的是(
)
A.如果一条直线上有两个点在一个平面上,那么这条直线不一定在这个平面内
B.如果两个不重合的平面有一个公共点,那么他们有且只有一条过该点的公共直线
C.过直线外一点,可以作无数个平面与这条直线平行
D.如果一条直线平行于平面内的无数条直线,则该直线与平面平行
BC.
11.已知△ABC 中,D 是 BC 上的点,AD 平分∠BAC,BD=2DC,下列结论正确的是(
)
A.sinC=2sinB
B.若∠B=30°,则△ABC 为直角三角形
C.若∠BAC=60°,则△ADC 为等边三角形
D.若∠BAD=30°,则△ABD 为等腰三角形
ABD.
12.如图,在透明塑料制成的长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 容器内灌进一些水,将容器底面一边 BC
固定于地面上,再将容器倾斜,随着倾斜度的不同,下列说法中正确的是(
)
A.水的部分始终呈棱柱状,没水的部分也始终成棱柱状
B.水面四边形 EFGH 的面积不改变
C.棱 A1D1 始终与水面 EFGH 平行
D.当 E∈AA1 时,AE+BF 是定值
ACD.
三、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.
13.请写出一个满足 z+ 为实数的虚数 z= +
i .
解:设 z=a+bi(a,b∈R),则 z+ =(a+bi)+
=(a+bi)+
=a+bi+
=(a+
)+(b﹣
)i,
若 z+ 为实数,则 b﹣
=0,即 a2+b2=1,
所以 z=a+bi(a,b∈R)只需满足 a2+b2=1 即可,
如:z= +
i.
故答案为: +
i.
14.已知向量 =(x,1), =(1,﹣2),且 ⊥ ,则| ﹣ |=
.
解:根据题意,向量 =(x,1), =(1,﹣2),
若 ⊥ ,则 • =x﹣2=0,则 x=2,
故 =(2,1),则 ﹣ =(1,3),
故| ﹣ |=
,
故答案为:
.
15.如图所示,位于 A 处的甲船获悉:在其正东方向相距 40 海里的 B 处有一艘渔船遇险,
在原地等待营救.甲船立即把消息告知在其南偏西 30°,相距 20 海里的 C 处的乙船,现
乙船朝北偏东θ的方向沿直线 CB 前往 B 处救援,则 cosθ=
.
解:如图所示,
在△ABC 中,AB=40,AC=20,∠BAC=120°,
由余弦定理得 BC2=AB2+AC2﹣2AB•AC•cos120°=2800,
所以 BC=20 .
由正弦定理得 sin∠ACB= •sin∠BAC=
.
由∠BAC=120°知∠ACB 为锐角,故 cos∠ACB=
.
所以 cosθ=cos(∠ACB+30°)=cos∠ACBcos30°﹣sin∠ACBsin30°=
.
故答案为:
.
16.已知一个健身球放在房屋的墙角处,紧靠墙面和地面,即健身球与围成墙角的三个两两
互 相 垂 直 的 面 都 相 切 , 若 墙 角 顶 点 到 球 面 的 点 的 最 远 距 离 +1 , 则 球 的 体 积 是
.
解:由已知可得,球心与墙角顶点可构成边长为 R 的正方体,
则球心到墙角顶点的距离为正方体的对角线,即
,
又墙角顶点到球面的点的最远距离 +1,
则
= +1,解得 R=1,
所以球的体积是
=
.
故答案为:
.
四、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.如图,在三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,E,F,G,H 分别是 AB,AC,A1B1,A1C1 的中点,求证:
(1)B,C,H,G 四点共面;
(2)平面 EFA1∥平面 BCHG.
证明:(1)∵G、H 分别为 A1B1,A1C1 中点,∴GH∥B1C1,
∵三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,BC∥B1C1,
∴GH∥BC
∴B、C、H、G 四点共面;
(2)∵E、F 分别为 AB、AC 中点,
∴EF∥BC
∴EF∥BC∥B1C1∥GH
又∵E、G 分别为三棱柱侧面平行四边形 AA1B1B 对边 AB、A1B1 中点,
∴四边形 A1EBG 为平行四边形,A1E∥BG
∴平面 EFA1 中有两条直线 A1E、EF 分别与平面 BCHG 中的两条直线 BG、BC 平行
∴平面 EFA1∥平面 BCHG.
18.已知复数 z0=(a2﹣4a+3)+(a2﹣3a+2)i(i 为虚数单位,a∈R)为纯虚数,z0 和实
数 b 是关于 x 的方程 x2﹣(3+2i)x+6i=0 的两个根.
(1)求 a,b 的值;
(2)若复数 z 满足|z|=|a+bi|,说明在复平面内 z 对应的点 Z 的集合是什么图形?并
求该图形的面积.
解:(1)∵复数 z0=(a2﹣4a+3)+(a2﹣3a+2)i(i 为虚数单位,a∈R)为纯虚数,
∴
,解得 a=3,
∴z0=2i,由韦达定理可得,
,解得 b=3.
(2)∵复数 z 满足|z|=|a+bi|,
∴
,
∴在复平面内 z 对应的点 Z 的集合是以原点为圆心,以
为半径的圆,
∴S=πr2=18π.
19.已知△ABC 的面积为
,再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知,求:
(Ⅰ)b 和 c 的值;
(Ⅱ)sin(A﹣B)的值.
条件①:a=6,
;条件②:A=C,
.
解:若选择条件①:
(Ⅰ)在△ABC 中,因为 cosC=﹣ ,
所以 C
因为
,sinC=
=
,
,a=6,所以 b=2,
由余弦定理,c2=a2+b2﹣2abcosC=48,
所以
.
(Ⅱ)由正弦定理
,可得
,
所以
因为
,
,
,所以
,
,
所以 sin(A﹣B)=sinAcosB﹣cosAsinB=
,
若选择条件②:
(Ⅰ)在△ABC 中,因为 A=C,所以 a=c.
因为
因为
所以
,所以
,
,
,
,
由余弦定理,b2=a2+c2﹣2accosB=64,所以 b=8,
(Ⅱ)由正弦定理得
,
所以
因为
,
,所以
,
所以 sin(A﹣B)=sinAcosB﹣cosAsinB=
.
20.已知向量 与 的夹角为
,且
,
.
(1)若
与
共线,求 k;
(2)求
,
;
(3)求 与
的夹角的余弦值.
解:(1)∵
与
共线,且
,
∴根据共线向量基本定理:存在λ,使
,
∴根据平面向量基本定理得:
,解得 k= ;
( 2 ) 由 已 知 , 得
,
;
(3)设 与
的夹角为α,则
=
,
因此, 与
的夹角的余弦值为 .
21.如图一个透明的球形装饰品内放置了两个具有公共底面的圆锥,且这两个圆锥的顶点和
底面圆周都在这个球面上,如图,已知大圆锥轴截面是等边三角形,设球的半径为 R,圆
锥底面半径为 r.
(1)试确定 R 与 r 的关系;
(2)若小圆锥、大圆锥的侧面积为 S1、S2,球的表面积为 S3,求 S1:S2:S3;
(3)求出两个圆锥的总体积(即体积之和)与球的体积之比.
解:(1)由几何体的特征,
得到△ABC 为直角三角形,
由于大圆锥的轴截面为等边三角形,
故∠ABC=30°,
所以:AC=R,BC=
,
所以 r=
,
(2)球心到圆锥底面的距离
,
所以小圆锥的高为
,
故小圆锥的母线长为 R,
大圆锥的母线长为
,
所以
故
,
,
,
.
(3)由(1)得:两个圆锥的体积和为
,