2020-2021 年浙江杭州高一数学下学期期中试卷及答案
一、选择题(共 8 小题).
1.复数 4+2i 的虚部为(
)
A.2
A.
B.﹣2
C.2i
D.﹣2i
2.已知用斜二测画法画得的正方形的直观图的面积为
,那么原正方形的面积为(
)
A.36
C.
B.
C.72
D.
3.△ABC 中,A,B,C 所对的边分别是 a,b,c,若 A=105°,B=45°,b=2 ,则 c=
(
)
A.
D.
B.1
C.
D.2
4.黄金比又称黄金律,是指事物各部分间一定的数学比例关系,即将整体一分为二,较大
部分与较小部分之比等于整体与较大部分之比,其比值约为 1:0.618,即长段为全段的
0.618.0.618 被公认为最具有审美意义的比例数字.宽与长的比为
的矩
形叫作黄金矩形.它广泛的出现在艺术、建筑、人体和自然界中.在黄金矩形 ABCD 中,
,AB>BC,那么
的值为(
)
B.
C.4
D.
A.
C.
5.已知圆锥 SO 的底面半径为 r,当圆锥的体积为 πr3 时,该圆锥的母线与底面所成角
的正弦值为(
)
A.
A.
B.
C.
D.
6.在△ABC 中,点 D 在直线 AC 上,且 =
,点 E 在直线 BD 上,且 =2 ,若 =
λ1
+λ2 ,则λ1+λ2=(
)
A.0
B.
B.
C.
D.
7.三棱锥 P﹣ABC 中,PA⊥平面 ABC,∠BAC= ,AP=3,BC=6,则三棱锥外接球的表面
积为(
)
A.57π
B.63π
C.45π
D.84π
C.
8.如图,平面α⊥平面β,A∈α,B∈β,AB 与两平面α、β所成的角分别为 和 .过
A、B 分别作两平面交线的垂线,垂足为 A′、B′,则 AB:A′B′=(
)
A.2:1
B.3:1
C.3:2
D.4:3
A.
二、选择题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.在每小题给出的选项中,有多项符合
题目要求,全部选对的得 5 分,有选错的得 0 分,部分选对的得 2 分.
9.已知α,β是两个不重合的平面,m,n 是两条不重合的直线,则下列命题正确的是(
)
A.若 m∥n,m⊥α,则 n⊥α
B.若 m∥α,α∩β=n,则 m∥n
C.若 m⊥α,m⊥β,则α∥β
D.若 m⊥α,m∥n,n∥β,则α∥β
AC.
10.已知 i 为虚数单位,以下四个说法中正确的是(
)
A.i+i2+i3+i4=0
B.3+i>1+i
C.若 z=(1+2i)2,则复平面内 对应的点位于第四象限
D.已知复数 z 满足|z﹣1|=|z+1|,则 z 在复平面内对应的点的轨迹为直线
AD.
11.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,已知(b+c):(c+a):(a+b)=
4:5:6,下列结论正确的是(
)
A.sinA:sinB:sinC=7:5:3
B.
C.若 c=6,则△ABC 的面积是
D.若 b+c=8,则△ABC 的外接圆半径是
ACD.
12.已知图 1 中的正三棱柱 ABC﹣A1B1C1 的底面边长为 2,体积为 2 ,去掉其侧棱,再将上
底面绕上下底面的中心所在直线逆时针旋转 180°后,添上侧棱,得到图 2 所示的几何体,
则下列说法正确的是(
)
A.A2B2∥平面 ABC
B.
C.四边形 ABA2B2 为正方形
D.正三棱柱 ABC﹣A1B1C1 与几何体 ABCA2B2C2 的外接球的体积相等
ACD.
三、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.
13.已知向量 、 为单位向量,
,若
,则 与 所成角的余弦值为
.
14.已知复数 z=1+i(i 为虚数单位)是关于 x 的方程 x2+px+q=0(p,q 为实数)的一个
根,则 p+q= 0 .
15.《九章算术》把底面为直角三角形,且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”,把底面
为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”.现有如图所示的“堑堵”ABC﹣A1B1C1,
其中 AC⊥BC,AA1=AC=1,当“阳马”四棱锥 B﹣A1ACC1 体积为 时,则“堑堵”即三棱
柱 ABC﹣A1B1C1 的外接球的体积为
.
16.在棱长为 1 的正方体中 ABCD﹣A1B1C1D1,M、N 分别是 AC1、A1B1 的中点.点 P 在正方体的
表面上运动,则总能使 MP 与 BN 垂直的点 P 所构成的轨迹的周长等于 2+
.
四、解答题:本题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.已知复数 z1=2+i,z2=2﹣3i.
(1)计算 z1•z2;
(2)求
.
解:(1)∵z1=2+i,z2=2﹣3i,
∴
;
(2)∵z1=2+i,z2=2﹣3i,
∴
.
18 . 在 复 平 面 内 , O 是 原 点 ,
对 应 的 复 数 分 别 为 2+icosx ,
,i 是虚数单位设函数
.
(1)求函数 f(x)的解析式;
(2)若函数 y=f(x)﹣m 在区间
上有 2 个零点,求实数 m 的取值范围.
解:(1)由题意可得, =(2,cosx),
,
则
=(
,2),
∴
=2
sinx+2cosx=
;
(2)∵f(x)在
上递增,在
上递减,且函数 y=f(x)﹣m 在区
间
∴
∵
∴
上有 2 个零点,
.
,
,
即实数 m 的取值范围是[2 ,4).
19.在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,已
B.
(1)求角 C 的大小;
(2)若 b=1,c= ,求 cos2(B﹣C)的值.
解:(1)因为
B,
整理可得 sin2A+sin2B﹣sin2C= sinAsinB,
利用正弦定理可得 a2+b2﹣c2= ab,
由余弦定理可得 cosC=
=
= ,
因为 C∈(0,π),
所以 C= .
(2)因为 C= ,b=1,c= ,
所以由正弦定理
,可得 sinB=
=
= ,
因为 b<c,可得 B 为锐角,可得 cosB=
=
,
可得 cos(B﹣C)=cosBcosC+sinBsinC=
× + × =
,
可得 cos2(B﹣C)=2cos2(B﹣C)﹣1=2×(
)2﹣1= .
20.已知四边形 ABCD,AB=AD=2,∠BAD=60°,∠BCD=30°.现将△ABD 沿 BD 边折起使
得平面 ABD⊥平面 BCD,此时 AD⊥CD.点 P 为线段 AD 的中点.
(1)求证:BP⊥平面 ACD;
(2)若 M 为 CD 的中点,求 MP 与平面 BPC 所成角的正弦值.
(1)证明:因为 AB=AD,∠BAD=60°,所以△ABD 为等边三角形,
因为 P 为 AD 的中点,所以 BP⊥AD,
取 BD 的中点 E,连结 AE,则 AE⊥BD,
因为平面 ABD⊥平面 BCD,平面 ABD∩平面 BCD=BD,所以 AE⊥平面 BCD,
又 CD⊂平面 BCD,所以 AE⊥CD,
又因为 CD⊥AD,AD∩AE=A,AE,AD⊂平面 ABD,所以 CD⊥平面 ABD,
因为 BP⊂平面 ABD,所以 CD⊥BP,
又因为 CD∩AD=D,CD,AD⊂平面 ACD,
所以 BP⊥平面 ACD;
(2)解:由(1)可知 CD⊥BD,取 BC 的中点 F,则 EF⊥DE,即 EA,EF,ED 两两垂直,
以 E 为坐标原点建立空间直角坐标系如图所示,
则
,
所以
设平面 BPC 的法向量为
,
则
,即
,
令 x=1,则
又
,故
,
,
,
所以
,
故 MP 与平面 BPC 所成角的正弦值为
.
21.杭州市为迎接 2022 的亚运会,规划公路自行车比赛赛道,该赛道的平面示意图为如图
的五边形 ABCDE,运动员的公路自行车比赛中如出现故障,可以从本队的器材车、公共器
材车上或收容车上获得帮助.比赛期间,修理或更换车轮或赛车等,也可在固定修车点
上进行.还需要运送一些补给物品,例如食物、饮料、工具和配件.所以项目设计需要
预留出 BD,BE 为赛道内的两条服务通道(不考虑宽度),ED,DC,CB,BA,AE 为赛道,
∠BCD=∠BAE=
,∠CBD= ,CD=2
km,DE=8km.
(1)从以下两个条件中任选一个条件,求服务通道 BE 的长度;
①∠CDE=
;②cos∠DBE= .
(2)在(1)的条件下,应该如何设计,才能使折线赛道 BAE 最长(即 BA+AE 最大),
最长值为多少?
(1)解:选择①
,在△BCD 中,由正弦定理:
,
又
,所以
,
在 Rt△BDE 中,
;
选择②
,在△BCD 中,由正弦定理:
,
在△BDE 中,由余弦定理:
即:5BE2﹣36BE﹣140=0,解得 BE=10(负值舍去)
(2)解:在△ABE 中,由余弦定理:
,
,
.
当
时取等号.故
时,折线赛道 BAE 最长,最长值为
22.如图,已知三棱柱 ABC﹣A1B1C1,平面 A1ACC1⊥平面 ABC,∠ABC=90°,
∠BAC=30°,A1A=A1C=AC,E,F 分别是 AC,A1B1 的中点.
(Ⅰ)证明:EF⊥BC;
(Ⅱ)求直线 EF 与平面 A1BC 所成角的余弦值.
(Ⅲ)求二面角 A﹣A1C﹣B 的正弦值.
(Ⅰ)证明:连接 A1E,∵A1A=A1C,E 是 AC 的中点,
∴A1E⊥AC,又平面 A1ACC1⊥平面 ABC,A1E⊂平面 A1ACC1,平面 A1ACC1∩平面 ABC=AC,
∴A1E⊥平面 ABC,
如图,以 E 为原点,在平面 ABC 中,过 E 作 AC 的垂线为 x 轴,