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2020-2021年浙江省宁波市慈溪市高一数学下学期期中试卷及答案.doc
2020-2021 年浙江省宁波市慈溪市高一数学下学期期中试卷
及答案
一、单选题（共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分）.
1．若向量
，
，则
＝（
）
A．﹣4
D．
B．﹣2
C．2
D．4
2．在等腰△ABC 中，∠A＝120°，AB＝AC＝1，则
等于（
）
A．
C．
B．
C．
D．
3．在△ABC 中，点 D 在 BC 边上，且
，设
，
，则 可用基底 ， 表示
为（
）
A．
C．
B．
C．
D．
4．如图是一个水平放置的直观图，它是一个底角为 45°，腰和上底均为 1 的等腰梯形，那
么原平面图形的面积为（
）
A．2+
A．
B．
C．
D．1+
5．复数 2+i 与复数
在复平面内对应的点分别是 A、B，若 O 为坐标原点，则∠AOB 为（
）
A．
B．
B．
C．
D．
6．设 ， 是非零向量，则“ ⊥ ”是“函数 f（x）＝（x + ）•（x ﹣ ）为一次函数”
的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
B．
7．若点 M 是△ABC 所在平面内一点，且满足：
．则△ABM 与△ABC 的面积之
比为（
）
A．
A．
B．
C．
D．
8．在△OAB 中，OA＝OB＝2，
，动点 P 位于直线 OA 上，当
取得最小值时，
向量 与 的夹角余弦值为（
）
A．
C．
B．
C．
D．
二、多项选择题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的四个选项中，有
多项符合题目要求，全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分）
9．在△ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 A＝ ，a＝2，c＝2 ，则角 C
的大小是（
）
A．
BD．
B．
C．
D．
10．已知四面体的四个面都是边长为 2 的正三角形，则以下正确的是（
）
A．四面体表面积为
B．四面体的高
C．四面体体积为
D．四面体的内切球半径为
ABCD．
11．在△ABC 中，下列命题正确的是（
）
A．若 A＞B，则 sinA＞sinB
B．若 sin2A＝sin2B，则△ABC 定为等腰三角形
C．若 acosB﹣bcosA＝c，则△ABC 定为直角三角形
D．若三角形的三边的比是 3：5：7，则此三角形的最大角为钝角
ACD．
12．若点 O 在△ABC 所在的平面内，则以下说法正确的是（
）
A．若
B．若
C．若
D．若
AC．
，则点 O 为△ABC 的重心
，则点 O 为△ABC 的垂心
，则点 O 为△ABC 的外心
，则点 O 为△ABC 的内心
三、填空题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）
13．在复数范围内，方程 x2+4x+5＝0 的解集为 {﹣2+i，﹣2﹣i} ．
14．已知点 A（1，﹣2），若点 A、B 的中点坐标为（3，1）且 与向量 a＝（1，λ）共线，
则λ＝
．
15．在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c．若 B＝60°，a+c＝1，则 b 的取值
范围为 [ ，1） ．
16．已知 z1＝2（1﹣i），且|z|＝1，则|z﹣z1|的最大值为 1+2
．
四、解答题（本大题共 6 个小题，共 70 分）
17．把一个圆锥截成圆台，已知圆台的上、下底面半径的比是 1：4，母线长 10cm．求：圆
锥的母线长．
解：设圆锥的母线长为 l，圆台上、下底半径为 r，R．
∵
∴
∴
答：圆锥的母线长为 cm．
18．已知复数 z 满足|3+4i|+z＝1+3i．
（1）求 ；
（2）求
的值．
解：（1）由|3+4i|+z＝1+3i，得
，
所以 5+z＝1+3i，所以 z＝﹣4+3i，
所以
；
（2）
19．已知
，
（1）求
；
（2）求 与 的夹角；
＝
，
＝
．
．
（3）若 在 方向上的投影向量为 ，求
的值．
解：（1）因为
，
，
，
所以 4 ﹣4 • ﹣3 ＝61，
即 64﹣4 • ﹣27＝61，解得 • ＝﹣6，
所以
＝
＝
＝
＝
．
（2）cos＜ ， ＞＝
＝
＝﹣ ，
因为＜ ， ＞∈[0，π]，
所以＜ ， ＞＝
即 与 的夹角为
，
．
（3） ＝| |cos＜＜ ， ＞
＝4×（﹣ ）× ＝﹣ ，
所以
＝﹣ •（ + ）＝﹣ （ • + ）＝﹣ （﹣6+9）＝﹣2．
20．在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c 且满足
．
（1）求角 C 的大小；
（2）若
，
，求△ABC 的面积．
解：（1）由正弦定理知，
＝
＝
，
∵
，
∴（ sinB﹣sinA）cosC＝sinCcosA，
∴ sinBcosC＝sinAcosC+sinCcosA＝sin（A+C）＝sinB，
∵sinB≠0，∴cosC＝ ，
∵C∈（0，π），∴C＝ ．
（2）由余弦定理知，c2＝a2+b2﹣2ab•cosC，
∴c2＝32+2c2﹣2•4
•
c•cosC，即 c2﹣8
c+32＝0，
解得 c＝4 ，
∴b＝ c＝8，
∴△ABC 的面积 S＝ absinC＝ ×4 ×8× ＝16．
21．已知 ＝（cosα，sinα）， ＝（cosβ，sinβ），0＜β＜α＜π．
（1）若| ﹣ |＝ ，求证： ⊥ ；
（2）设 ＝（0，1），若 + ＝ ，求α，β的值．
解：（1）由 ＝（cosα，sinα）， ＝（cosβ，sinβ），
＝（cosα﹣cosβ，sinα﹣sinβ），
则
由
＝2，
得 cosαcosβ+sinαsinβ＝0．
所以
．即
；
（2）由
＝2﹣2（cosαcosβ+sinαsinβ）
得
，①2+②2 得：
．
因为 0＜β＜α＜π，所以 0＜α﹣β＜π．
所以
，
，
代入②得：
因为
所以，
．所以
．
．
．
22．如图，我国南海某处的一个圆形海域上有四个小岛，小岛 B 与小岛 A、小岛 C 相距都为
5 nmile，与小岛 D 相距为
．∠BAD 为钝角，且
．
（1）求小岛 A 与小岛 D 之间的距离和四个小岛所形成的四边形的面积；
（2）记∠BDC 为α，∠CBD 为β，求 sin（2α+β）的值．
解：（1）∵sinA＝ ，且 A 为钝角，∴cosA＝
，
在△ABD 中，由余弦定理可得 BD2＝AD2+AB2﹣2AD•AB•cosA，
∴
，即 AD2+8AD﹣20＝0，
解得：AD＝3 或 AD＝﹣10（舍去）．
∴小岛 A 与小岛 D 之间的距离为 2 nmile．
∵A、B、C、D 四点共圆，∴A 与 C 互补，则 sinC＝ ，
cosC＝cos（180°﹣A）＝﹣cosA＝ ．
在△BDC 中，由余弦定理得：CD2+CB2﹣2CD•CB•cosC＝BD2，
∴
，得 CD2﹣8CD﹣20＝0，
解得 CD＝﹣2（舍去）或 CD＝10．
∴S 四边形 ABCD＝S△ABD+S△BCD＝ AB•AD•sinA+ CB•CD•sinC
＝ ×5×2× + ×5×10× ＝3+15＝18（平方 nmile）；
（2）在△BDC 中，由正弦定理得：
，
即
，解得 sinα＝ ．
∵DC2+DB2＞BC2，∴α为锐角，则 cosα＝
，
又∵sin（α+β）＝sin（180°﹣C）＝sinC＝ ，
cos（α+β）＝cos（180°﹣C）＝﹣cosC＝﹣ ，
∴sin（2α+β）＝sin[α+（α+β）]＝sinαcos（α+β）+cosαsin（α+β）
＝
＝
．
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