2023年北京高考数学真题及答案.doc-资料库

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2023 年北京高考数学真题及答案本试卷满分 150 分.考试时间 120 分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. x ∣ 1. 已知集合 2 A. {    C. { x x  ∣ 2} x M x x ∣  {   2 0}, N  { x x ∣ 1 0}   ，则 M N  （） 1} B. { x ∣ 2    x 1} D. { x x ∣ 1} 2. 在复平面内，复数 z 对应的点的坐标是( 1, 3)  ，则 z 的共轭复数 z  （） A. 1  3i C. 1   3i  3. 已知向量 a b ，满足   a b   (2,3),   a b    ( 2,1) B. 1  3i D. 1   3i ，则 2 | |  a  | b 2 |  （） A. 2 B. 1 C. 0 D. 1 4. 下列函数中，在区间 (0, ) 上单调递增的是（） A. ( ) f x   ln x C. 5.   1 x 51   x  ( ) f x 2x    的展开式中 x 的系数为（ ( ) f x  1 2x | ( ) 3 x f x  1|  B. D. ）． A. 80 B. 40 C. 40 D. 80 6. 已知抛物线 C y : 2 x 的焦点为 F ，点 M 在C 上．若 M 到直线 8 x   的距离为 5，则| 3 |MF  （） A. 7 B. 6 C. 5 7. 在 ABC 中， ( a c  )(sin A. π 6 B.  A π 3 sin ) C b  (sin A  sin ) B C. ，则 C  （ 2π 3 8. 若 xy  ，则“ 0 x y  ”是“ 0 y x  x y   ”的（ 2 ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 D. 4 ） D. 5π 6

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 9. 坡屋顶是我国传统建筑造型之一，蕴含着丰富的数学元素．安装灯带可以勾勒出建筑轮廓，展现造型之美．如图，某坡屋顶可视为一个五面体，其中两个面是全等的等腰梯形，两个面是全等的等腰三角形．若 AB  25m, BC AD   10m ，且等腰梯形所在的平面、等腰三角形所在的平面与平面 ABCD 的夹角的正切值均为 14 5 ，则该五面体的所有棱长之和为（） A. 102m C. 117m B. 112m D. 125m 10. 已知数列 na 满足 a n   1 1 4  a n  6 3  6( n  1,2,3,  ，则（ ) ） A. 当 1 a  时， na 为递减数列，且存在常数 3 B. 当 1 a  时， na 为递增数列，且存在常数 5 0M ≤ ，使得 na M 恒成立 6M  ，使得 na M 恒成立 C. 当 1 a  时， na 为递减数列，且存在常数 7 D. 当 1 a  时， na 为递增数列，且存在常数 9 6M  ，使得 na M 恒成立 0M  ，使得 na M 恒成立二、填空题：本题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分． 11. 已知函数 ( ) f x  x 4  log x 2 ，则 f    1 2     ____________． 12. 已知双曲线 C的焦点为 ( 2,0)  和 (2,0) ，离心率为 2 ，则 C的方程为____________． 13. 已知命题 :p 若 ,为第一象限角，且  ，则 tan tan  ．能说明 p为假命题的一组 ,的值为 __________， _________． 14. 我国度量衡的发展有着悠久的历史，战国时期就已经出现了类似于砝码的、用来测量物体质量的“环权”．已知 9 枚环权的质量（单位：铢）从小到大构成项数为 9 的数列 na ，该数列的前 3 项成等差数列， a 后 7 项成等比数列，且 1  1, a 5  12, a 9  192 ，则 7a  ___________；数列 na 所有项的和为____________．

15. 设 0a  ，函数 ( ) f x  a x      2, x 2 x  1,  , a   2 , a    . x a  x x ① ( ) f x 在区间 ( a   上单调递减； 1, ) a , ，给出下列四个结论： ②当 1a  时， ( )    M x f x 1 f x 存在最大值；   a N x 2 ③设 x 1   , , 1  f x 2   x 2 ,  ，则| a  MN  ； | 1 ④设   P x f x 3 , 3   x 3     a Q x 4 , ,  f x 4   x 4   ．若| a  |PQ 存在最小值，则 a的取值范围是    10, 2    ．其中所有正确结论的序号是____________．三、解答题：本题共 6 小题，共 85 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． PA AB BC    1 ， PC 3 ． 16. 如图，在三棱锥 P ABC 中， PA  平面 ABC ，（1）求证： BC 平面 PAB；（2）求二面角 A PC B   的大小． 17. 设函数 ( ) f x  sin |        cos cos sin 0,|   x x    π 2    ．（1）若 f (0)   ，求的值． 3 2 （2）已知 ( ) f x 在区间    择一个作为已知，使函数 ( )    π 2π, 3 3 上单调递增， f    f x 存在，求 ,的值． 2π 3     1 ，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选条件①： f    π 3     2 ；

条件②： f    π   3  1   ；条件③： ( ) f x 在区间     π 2 π,  3    上单调递减．注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得 0 分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 18. 为研究某种农产品价格变化的规律，收集得到了该农产品连续 40 天的价格变化数据，如下表所示．在描述价格变化时，用“+”表示“上涨”，即当天价格比前一天价格高；用“-”表示“下跌”，即当天价格比前一天价格低；用“0”表示“不变”，即当天价格与前一天价格相同．时段价格变化第 1 天到第 20 天 - 第 21 天到第 40 天 0 + + + + 0 0 - - - - - - + + + + 0 0 + + 0 0 - + - - + - - - + + 0 0 0 - + + 用频率估计概率．（1）试估计该农产品价格“上涨”的概率；（2）假设该农产品每天的价格变化是相互独立的．在未来的日子里任取 4 天，试估计该农产品价格在这 4 天中 2 天“上涨”、1 天“下跌”、1 天“不变”的概率；（3）假设该农产品每天的价格变化只受前一天价格变化的影响．判断第 41 天该农产品价格“上涨”“下跌”和“不变”的概率估计值哪个最大．（结论不要求证明） 19. 已知椭圆 E : 2 2 x a  2 2 y b  1( a   的离心率为 5 b 3 0) ，A、C分别是 E的上、下顶点，B，D分别是 E 的左、右顶点，| AC  ． | 4 （1）求 E 的方程；（2）设 P 为第一象限内 E上的动点，直线 PD 与直线 BC 交于点 M ，直线 PA 与直线 y   交于点 N ．求 2 证： //MN CD ． 20. 设函数 ( ) f x   x x 3 eax b  ，曲线 y  ( ) f x 在点 (1, (1)) f 处的切线方程为 y x   ． 1 （1）求 ,a b 的值；（2）设函数 ( ) g x f x ( ) ，求 ( )g x 的单调区间；（3）求 ( ) f x 的极值点个数．

21. 已知数列    a n b 的项数均为 m( n , m  ，且 , a b n n 2)   {1,2, , }, m     a n , b 的前 n项和分别为 n ,n A B ，并规定 0 A n B 0  ．对于   0 k 0,1, 2,  ，定义  m , r k  max  i B ∣ i  , A i k  {0,1,2,   , } m ，其中， max M 表示数集 M中最大的数. a （1）若 1  2, a 2  1, a 3  3, b 1  1, b 2  3, b 3  ，求 0 3 r r r r 的值； , , 1 , 2 3 a （2）若 1 b ，且 1 2 jr  r j 1   r j 1  , j  1,2,  m , 1, ，求 nr ；（3）证明：存在 , , p q s t ,   0,1, 2,  ，满足  m , , p q s   使得 t , A p  B t  A q  ． B s 一、选择题：本题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一参考答案项. 【1 题答案】【答案】A 【2 题答案】【答案】D 【3 题答案】【答案】B 【4 题答案】【答案】C 【5 题答案】【答案】D 【6 题答案】【答案】D 【7 题答案】【答案】B 【8 题答案】【答案】C 【9 题答案】【答案】C 【10 题答案】

【答案】B 二、填空题：本题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分．【11 题答案】【答案】1 【12 题答案】【答案】 2 x 2 2 y 2  1 【13 题答案】【答案】 9π 4 ①. ②. π 3 【14 题答案】【答案】 ①. 48 ②. 384 【15 题答案】【答案】②③ 三、解答题：本题共 6 小题，共 85 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．【16 题答案】【答案】（1）证明见解析（2） π 3 【17 题答案】【答案】（1）   . π 3 （2）条件①不能使函数 ( ) f x 存在；条件②或条件③可解得 1 ，   . π 6 【18 题答案】【答案】（1） 0.4 （2） 0.168 （3）不变【19 题答案】【答案】（1） 2 x 9 2 y 4  1 （2）证明见解析【20 题答案】

【答案】（1） a 1,   b  1 （2）答案见解析（3）3 个【21 题答案】【答案】（1） 0 r  ， 1 1 r  ， 2 0 r  ， 3 r  2 3 （2） nr  , n n  N （3）证明见详解

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