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2022-2023学年上海市杨浦区高三上学期期中数学试题及答案.doc
2022-2023 学年上海市杨浦区高三上学期期中数学试题及答
考生注意：
案
1．答卷前，考生务必在答题纸写上姓名、考号．并将核对后的条形码贴在指定位置上．
2．本试卷共有 21 道题，满分 150 分，考试时间 120 分钟．
一、填空题（本大题共有 12 题，满分 54 分，第 1-6 题每题 4 分，第 7-12 题每题 5 分）考
生应在答题纸的相应位置填写结果．
1. 集合 {
A
x x
∣
0},
B
{
}
x x a
∣
，若 A
B ，则实数 a的取值范围为_________．
【答案】 (
,0]
【解析】
【分析】根据子集的定义和不等式的性质，即可求得答案.
【详解】∵ {
A
x x
∣
0},
B
{
}
x x a
∣
， A
B ，
∴ 0a ，
故实数 a的取值范围为 (
,0]
.
故答案为： (
,0]
.
2. 函数 lg(2
y
的定义域是______．
x
)
【答案】 (
,2)
【解析】
【详解】由题设有 2
x ，解得 2
x ，故函数的定义域为
0
,2
，填
,2
．
3. 陈述句“ 1a 且 3a ”的否定形式是_________．
【答案】“
1a 或 3a ”
【解析】
【分析】根据命题的否定理解.
【详解】“ 1a 且 3a ”的否定形式是“
1a 或 3a ”.
故答案为：“
1a 或 3a ”.
4. 已知 A、B是独立事件， (
P A
) 0.3,
(
P B
) 0.5
，则 (
P A B
)
_________．
3
20
【答案】
【解析】
##0.15
【分析】根据独立事件的概率公式即可求解.
【详解】由于 A、B是独立事件,所以
(
P A B
)
P A P B
故答案为:0.15
0.5 0.3 0.15
,
5. 若圆锥的轴截面是边长为 1 的正三角形．则圆锥的侧面积是_________．
π
2
【答案】
【解析】
【分析】根据题意可得圆锥的底面半径和母线长，进而根据圆锥侧面积公式
S
rl 求得结
π
果.
【详解】若圆锥的轴截面是边长为 1 的正三角形，则圆锥的底面半径
r ，母线 1l ，
1
2
故圆锥的侧面积
S
π
rl
π
2
.
π
2
.
1
mi
2
i
故答案为：
6. 若复数
z
【答案】2
【解析】
（i 是虚数单位）是纯虚数，则实数 m 的值为______.
【分析】利用复数的运算法则和纯虚数的定义即可得出．
【详解】解： 复数
z
1
mi
2
i
(1
mi
(2
i
)
)(2
i
)
)(2
i
2
m
m
1)
i
(2
5
2
m
5
1
i
2
m
5
是纯虚数，
0
m
2
5
m
5
2
，解得
2m ，
1
0
故答案为：2．
【点睛】本题主要考查复数代数形式的运算法则以及纯虚数的定义，属于基础题．
7. 已知 (2,1)
a
，b
在 a 上的投影向量为 2a ，则
a b _________．
【答案】 10
【解析】
a b
×
【分析】根据投影向量可得 2
a
= -
2
【详解】由 (2,1)
a
a
得 = 5
，
b
在 a 上的投影向量为
cos
b
a,b
a
a
a b
2
a
2
所以
= 10
，
故答案为： 10
，结合向量模长公式得模长即可求解.
a b
鬃
2
a
a
2
= × = -
a
Þ
a b
2
a
2
= -
，
8. 如果幂函数
y
( )
f x
的图像经过点
12,
2
，那么
y
( )
f x
单调减区间是_________．
【答案】 (
和 (0,
,0)
)
【解析】
【分析】根据幂函数解析式形式代入可得 ( ) 1=
x
【详解】设
f x
f x
f x
- ，故 ( ) 1=
x
α= 1
Þ
x ，则 α 1
2 =
2
f x 的单调递减区间为： (
和 (0,
,0)
) ，
因此
，即可求单调区间.
，
故答案 为： (
和 (0,
,0)
)
9. 某医院对某学校高三年级的 600 名学生进行身体健康调查，采用男女分层抽样法抽取一
个容量为 50 的样本，己知女生比男生少抽了 10 人，则该年级的女生人数是_________．
【答案】240
【解析】
【分析】先求分层抽样比例，然后设元，根据题意列方程求解.
【详解】抽取比例为
50
600
，
1
12
设该年级的女生人数是 x ，则男生人数为600 x ，
因为女生比男生少抽了 10 人，
1
12
x
所以
x
解得 240
x
) 10
，
1 (600
12
，
故答案为：240.
10. 偶函数
y
( )
f x
在区间 [0
) ， 上是严格减函数，若 (1)
f
．则关于 x的不等式
0
( )
f x
x
2
的解集是_________．
1
【答案】 ( 1,1)
【解析】
【分析】令
g x
( )
f x
2
，通过
x
y
( )
f x
的奇偶性和单调性来确定
g x 的奇偶性和单
调性，再将
( )
f x
x
2
变形为
1
( )
f x
2
x
2
(1) 1
，得到
g x
f
g
1
，再利用奇偶
性和单调性可得答案.
【详解】令
g x
( )
f x
2
，
x
y
( )
f x
在区间[0
) ， 上是严格减函数，
y
2
x= 在区间[0
) ， 上是严格增函数，
g x
( )
f x
2
在区间[0
x
) ， 上是严格减函数，
又
g
x
f
(
x
)
x
2
( )
f x
x
2
g x
g x
( )
f x
g x
( )
f x
2
也是偶函数，
x
2
是定义在 R 上的偶函数，
x
由
( )
f x
x
2
得
1
( )
f x
2
x
2
(1) 1
，即
g x
f
g
1
，
x ，解得 1
1x
1
故答案为： ( 1,1)
11. 己 ,
a b 且 0a ，则
R
|
a b
|
4
a
的最小值是_________．
b
【答案】4
【解析】
【分析】根据绝对值三角不等式，即可容易求得结果.
【详解】因为
|
a b
|
4
a
b
得等号；
a b
b
4
a
a
，当且仅当
4
a
a b
4
a
b
0
时取
又当 0a 时， 4
a
a
2
a
4
a
；当 a<0 时，
4
a
a
4
a
4
a
2
a
4
a
4
，故
a
4
a
，当且仅当
4
a 时取得等号；
2
则
|
a b
|
4
a
b
4 ，当且仅当
a b
4
a
b
0,
a
2
或 2 时取得等号.
故答案为： 4 .
12. 已知函数 sin
y
4 π
3
【答案】
4π
3
##
x
sin 2
x
在 (
, )a a
上恰有 5 个零点，则实数 a的最大值为_________．
【解析】
【分析】根据正弦的二倍角公式可得 sin
x 或
0
cos
零点情况，结合区间 (
, )a a
即可确定 a的最大值.
x ，进而可得 sin
y
1
2
x
sin 2
x
的
【详解】由 sin
y
x
sin 2
x
得 2sin cos
x
x
y
=
+
sin
x
，令
2sin cos
x
x
+
sin =0
x
Þ
sin
x
2cos
(
x
x 或
0
cos
当sin
0
x ,
x
=
π,
k k
Î
Z
,当
cos
或
x
= -
Î ，
Z
x ，
+
0
1
)
= ，解得sin
1
2
sin 2
x
2π 2 π
k
3
x
=
+
1
x ，
2
2π 2 π,
k k
3
+
， sin
y
x
的零点按从小到大排列有：
所以当
x
4π
3
故 sin
2π
x
y
-
2π,2π
2π
3
x
sin 2
π
-
-
， ， ， ，0， ， ， ， ，
-
π
4π
3
2π
2π
3
, )a a
在 (
上恰有 5 个零点，则这 5 个零点为
-
π
-， ，0， ， ，
π
2π
3
2π
3
故
π π
，
(
, )
a a
4π 4π
，
3
3
，
4π
3
，
故 a的最大值为
故答案为：
4π
3
二、选择题（本题共有 4 题，满分 20 分，每题 5 分）每题有且只有一个正确选项，考生应
在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．
13. 设 xR ，则“ 1x ”是“ 3 1
x ”的（
）
A. 充分而不必要条件
B. 必要而不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充
分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】解不等式 3 1
x ，利用集合间的关系理解充分、必要条件.
【详解】设
A
|
x x
1 ,
B
|
x x
3
1
|
x x
，
1
∵ A B ，则“ 1x ”是“ 3 1
x ”的充要条件.
故选：C.
14. 同时掷两枚般子，向上的点数之和是 6 的概率是（
）
A.
1
12
【答案】D
【解析】
B.
1
9
C.
1
6
D.
5
36
【分析】列举法解决即可.
【详解】列表得
(1,1)(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)(1,6)
(2,1)(2,2)(2,3)(2,4)(2,5)(2,6)
(3,1)(3,2)(3,3)(3,4)(3,5)(3,6)
(4,1)(4,2)(4,3)(4,4)(4,5)(4,6)
(5,1)(5,2)(5,3)(5,4)(5,5)(5,6)
(6,1)(6,2)(6,3)(6,4)(6,5)(6,6)
共有 36 种等可能的结果，
向上的点数之和是 6 的情况有 5 种，
掷两枚般子，向上的点数之和是 6 的概率是
5
36
，
故选：D
15. 已知某射击爱好者打靶成绩（单位：环）的茎叶图如图所示，其中整数部分为“茎”，
小数部分为“叶”，则这组数据的标准差为（精确到 0.01）（
）
B. 0.59
C. 0.40
D. 0.63
A. 0.35
【答案】B
【解析】
【分析】根据茎叶图求平均值 x ，再由标准差与均值的关系求 s
【详解】由茎叶图可得数据的平均数为
x
5.7 5.9 6.1 6.2 6.7 6.7 7.2 7.5
8
6.5
，
则数据的标准差为
0.8
2
0.6
2
0.4
2
s
8
0.3
2
0.2
2
0.2
2
0.7
2
2
1
1.41
4
141
20
因为 144
20
12
20
，所以 141
0.6
20
故选：B
很接近0.6 ，且小于 0.6，故只有 B 选项满足，
16. 如图所示，图中多面体是由两个底面相同的正四棱锥所拼接而成，且这六个顶点在同一
个球面上．若二面角 M AB C
的正切值为 1，则二面角 N AB C
的正切值为（
）
B.
2
C. 2
D. 2 2
A. 1
【答案】C
【解析】
【分析】根据正四棱锥的性质可得 MN 平面 ABCD ，外接球的球心O 在 MN 上，利用球
的性质结合二面角的平面角的定义分析运算.
【详解】连接 ,
AC BD MN ，则 ,
,
AC BD MN 交于点 F ，且 MN 平面 ABCD ，故多面
,
体的外接球的球心O 在 MN 上，取 AB 的中点 E ，连接 ,
ME EF NF OA ，
,
,
∵
MA MB FA FB NA NB
,
,
，且 E 为 AB 的中点，则
ME
AB FE
,
AB NE
,
AB
，
∴二面角 M AB C
的平面角为 MEF
又∵二面角 M AB C
的正切值为 tan
MEF
不妨设
MF EF
，则
1
FA ，
2
，二面角 N AB C
的平面角为 NEF
，
MF
EF
1
，即 MF EF
，
1
2
2
2
OA
2
，解得
OA ，
3
2
2
，即
2
OA
∵ 2
OF
即外接球的半径为
FA OA
3
2
的正切值 tan
∴二面角 N AB C
，则
FN ，
2
NEF
NF
EF
2
.
故选：C.
【点睛】思路点睛：
①正棱锥的顶点在底面的投影为底面的中心；
②球心与截面圆心的连线与该截面垂直，可以用勾股定理运算求解.
三、解答题（本大题共有 5 题，满分 76 分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必
要的步骤
17. 已知 O为坐标原点，
OA
(2,3),
OB
(4,2),
OC
( ,3)
x
（1）若 A、B、C三点共线，求 x的值；
（2）若 AB
与OC
夹角为钝角，求 x的取值范图.
【答案】（1）2
（2）
(
, 6)
6,
3
2
【解析】
【分析】（1）根据题意结合
a
b
∥
x y
1 2
x y
2 1
0
积之间的关系运算求解.
运算求解；（2）根据向量夹角与数量
【小问 1 详解】
AB OB OA
BC OC OB
、 、 三点共线， AB
A B C
与 BC
(2, 1),
共线，
(
x
4,1)
，
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