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2022-2023学年广东省佛山市南海区高三上学期8月月考数学试题及答案.doc
2022-2023 学年广东省佛山市南海区高三上学期 8 月月考数
学试题及答案
注意事项：
1．答卷前，考生务必填写答题卡上的有关项目．
2．选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答案涂在答题卡的相应位置上．
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内；
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上
要求作答的答案无效．
4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将答题卡交回．
一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的．
| ln
A
x
x
1 ,
1. 已知集合
A. {1}
B
2,0,1,2,4
，则 A B
（
）
B. {1,2}
C. {1,2,4}
D. {0,1,2}
【答案】B
【解析】
【分析】先化简集合 A ，再利用交集运算得到答案
【详解】解：由
A
x
| ln
x
可得
1
A
x
| 0
因为
B
2,0,1,2,4
，所以 A B
{1,2} ，
，
x
e
故选：B
2. 已知向量
a
1,3
，则下列向量中与 a
垂直的是（
）
B.
3, 1
C.
3,1
D.
3,1
A.
0,0
【答案】D
【解析】
【分析】根据平面向量垂直的坐标表示判断可得出结论.
【详解】对于 A 选项，零向量与任何非零向量平行， A 选项不满足条件；
对于 B 选项，
1
3
3
1
6
0
，B 选项不满足条件；
对于 C 选项， 1 3 3 1 6
0
，C 选项不满足条件；
对于 D 选项，
1
，D 选项满足条件.
3 1 0
3
故选：D.
3. 已知角的始边与 x轴非负半轴重合，终边过点
P ，则 2
sin
1, 2
sin 2
（
）
A.
5
8
【答案】B
【解析】
B.
8
5
C.
5
5
D. 2 5
5
【分析】先由正弦、余弦函数的定义得到
sin
2
5
,cos
，再求值即可.
1
5
sin
2
2
( 2)
2
( 1)
2
5
，
【详解】由正弦、余弦函数的定义有
cos
1
2
( 2)
2
( 1)
1
5
，
所以
2
sin
sin 2
sin
2
2sin cos
2 (
4
5
2
)
5
(
1
)
5
8
5
.
故选：B.
4. 李明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他各记录了 50 次坐公交车和骑自行车所花的时
间，经数据分析得到，假设坐公交车用时 X和骑自行车用时 Y都服从正态分布，
X
~ N
1
2
,6 , ~ N
Y
．X和 Y的分布密度曲线如图所示．则下列结果正确的是
2
,2
2
（
）
A.
D X
) 6
(
B.
2
1
C.
(
P X
38)
(
P Y
38)
D.
(
P X
34)
(
P Y
34)
【答案】C
【解析】
【分析】根据给定的正态分布密度曲线，结合正态分布的对称性和性质，逐项判定，即可求
解.
【详解】对于 A 中，随机变量 X 服从正态分布，且
X
~ N
，
,6
1
2
可得随机变量 X 的方差为 2
26 ，即 (
D X ，所以 A 错误；
) 36
对于 B 中，根据给定的正态分布密度曲线图像，可得随机变量 1
2
30,
，
34
所以 1
2 ，所以 B 错误；
对于 C 中，根据正态分布密度曲线图像，可得
X 时，随机变量 X 对应的曲线与 x 围成
38
的面积小于 38
Y 时随机变量Y 对应的曲线与 x 围成的面积，
所以 (
P X
38)
(
P Y
，所以 C 正确；
38)
对于 D 中，根据正态分布密度曲线图像，可得
即 (
P X
34)
(
P Y
，所以 D 错误.
34)
故选：C.
(
P X
34)
，
1
2
(
P Y
34)
，
1
2
5. 对于常数 a，b，“
ab ”是“方程 2
ax
0
2
by
对应的曲线是双曲线”的（
1
）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充
分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】根据双曲线的方程以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可
【详解】解： 2
ax
2
by
可整理成
1
2
x
1
a
2
y
1
b
1
，
当
ab ，则 0a 且 0
b 或 0
a 且 0
b ，此时方程
0
2
x
1
a
2
y
1
b
1
即 2
ax
2
by
表
1
示的曲线为双曲线，则充分性成立；
若方程
2
x
1
a
2
y
1
b
1
表示的曲线为双曲线，则
1 1
a b
即
0
ab ，则必要性成立，
0
故选：C
6. 若
m n ，
1
a
ln
ln
m n
，
b
ln
m
ln
n
2
B. c a b
A. a b c
a
c
b
【答案】A
c
m n
， ln
2
C. b a c
，则（
）
D.
【解析】
【分析】利用对数函数的单调性结合基本不等式可得出 a 、b 、 c 的大小关系.
【详解】因为
m n ，则 ln
1
m
ln
n
，由基本不等式可得
0
ln
m
n
ln
2
m n
ln
ln
故
ln
2
故选：A.
，
ln
m n
ln
mn
ln
n
m
2
ln
m n
ln
，即 a b c
.
m n
2
mn
，
7. 在下列函数中，最小正周期为且在 0,
2
为减函数的是（
）
A.
( )
f x
sin | 2 |
x
C.
( )
f x
| cos
x
|
【答案】C
【解析】
B.
( )
f x
D.
( )
f x
cos 2
x
6
tan 2
x
4
【分析】根据三角函数的图像性质，逐个选项进行判断即可得出答案.
【详解】对于 A， ( )
f x
sin | 2 |
x
的图像关于 y 轴对称，在 0,
2
为增函数，不符题意，
故 A 错；
对于 B， ( )
f x
cos 2
x
6
的最小正周期为，
x
函数，不符题意，故 B 错；
x
0,
,2
2
π
6
π 7π
6 6
,
，不是减
对于 C， ( )
f x
| cos
x
|
的最小正周期为，在 0,
2
为减函数，符合题意，故 C 对；
对于 D， ( )
f x
tan 2
x
4
的最小正周期为
2
，不符题意，故 D 错；
故选：C
8. 已知函数 (
f x
)
(
x
) x
e3
，若经过点 (0, )a 且与曲线
y
( )
f x
相切的直线有三条，则
（
）
A.
a
a 或
3
e
a
3
B.
a
e
C.
a
3
D.
e
【答案】A
【解析】
【分析】设切点为
,
x
0
0
3 ex
，再根据导数的几何意义结合两点间的斜率公式可得
2
x
0
a
03
x
有 3 个解，构造函数
g x
x
2
3
x
e
3 x
，求导分析单调性与
x
0
e3 x
0
极值可得 a 的取值范围.
x
2 ex
，设经过点 (0, )a 且与曲线
y
( )
f x
相切的切点为
，则
f
x
0
x
0
e2
x
0
.又切线经过
0,a ，故由题意
a
x
0
2
e
x
0
有 3 个解.
f
x
0
3 ex
【详解】
x
0
x
0
x
0
e
x
0
,
3
x
0
3
x
0
e
3
x
a
x
0
设
g x
化简有
,0
当
x
2
x
0
3 x
e
x
0
2
e
x
0
，则
g x
a
，即
x
2
2
x
0
ex
x
03
x
e3 x
0
有 3 个解.
，令 0
g x
有 0x 或 1x ，故
x 时， 0
g x
，
g x 单调递减；当
x
0,1
时， 0
g x
，
g x 单调递
增；当
1,
x 时， 0
g x
，
g x 单调递减.
又 0
g
， 1
3
g
，且
g
e
1
7
e
g
1
，
g
2
2e
g
0
，故要
2
x
0
a
03
x
e3 x
0
故选：A
有 3 个解，则 3
e
.
a
【点睛】已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画
出函数的图象，利用数形结合的方法求解
二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的选项中，有多项
符合题目要求全部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 2 分．
9. 下面是关于复数
z
2
1 i
A.
z
2
C. z 的共轭复数为 1 i
【答案】AD
【解析】
（i 为虚数单位）的命题，其中真命题为（
）
B.
z
z
2
1 i
D. z 的虚部为 1
【分析】由除法运算把复数化为代数形式，然后根据复数的定义与运算法则计算并判断．
【详解】解：由已知
z
2
1 i
2 1 i
1 i 1 i
2 1 i
2
1 i
，
z ，
2
z
z
2 1 i
1 i
2
1 i 2i 1 i
，共轭复数为1 i ， z 的虚部为 1．
其中真命题 为AD．BC 为假命题．
故选：AD．
10. 两个等差数列 na 和 nb ，其公差分别为 1d 和 2d ，其前 n 项和分别为 nS 和 nT ，则下
列命题中正确的是（
）
A. 若
B. 若
nS 为等差数列，则 1
d
12
a
S
n
T 为等差数列，则 1
d
n
d
2
0
n na b 为等差数列，则 1
d
N ，则
*
nb
d
2
0
nba 也 为等差数列，且公差为 1
d
d
2
C. 若
D. 若
【答案】AB
【解析】
2 S
【分析】对于 A，利用 2
S
1
S
3
化简可得答案；
对于 B，利用
2 S
T
2
2
S
1
T
1
S
3
化简可得答案；
T
3
2a b
对于 C，利用 2 2
a b
1 1
a b
3 3
化简可得答案；
a
b
n
对于 D，根据
a
b
n
【详解】对于 A，因为
1
可得答案.
d d
1 2
nS 为等差数列，所以 2
2 S
S
1
S
3
，
即
2 a
1
a
2
a
1
a
1
a
2
，所以
a
3
2 2
a
1
d
1
a
1
3
a
1
3
d
1
，
d
1
化简得
12
a
对于 B，因为
S
2
d
，所以 1
0
a ，故 A 正确；
12
T 为等差数列，所以
2 S
n
T
2
2
S
1
T
1
S
3
，
T
3
n
所以
2 2
a
1
d
1
2
b
1
d
2
a
1
b
1
3
a
1
3
d
1
3
b
1
d
所以 1
d
2
，故 B 正确；
0
，
3
d
2
对于 C，因为
n na b 为等差数列，所以 2 2
2a b
a b
1 1
a b
3 3
，
a
所以 1
2(
)(
d b
1
1
d
2
)
a b
1 1
(
a
1
2 )(
d b
1
1
2 )
d
2
，
化简得 1 2
d d ，所以 1
d 或 2
0
0
d ，故 C 不正确；
0
对于 D，因为
na
a
1
(
n
1)
d
1
，且
nb
*
N ，所以
a
nb
a
1
(
b
n
1)
d
1
a
1
b
1
n
1
d
2
1
d
，
1
所以
nba
a
1
b
1
1
d
1
n
1
d d
1 2
，
1
1
a
1
a
b
n
所以
a
d
1
b
n
nba 也为等差数列，且公差为 1 2d d ，故 D 不正确.
所以
nd d
1 2
d
1
a
1
b
1
b
1
1
n
1
d d
1 2
1 2d d
，
故选：AB
【点睛】关键点点睛：利用等差数列的定义以及等差中项求解是解题关键.
11. 如图，在棱长为 a的正方体
ABCD A B C D
1
1 1
1
中，点 P在侧面 1 1
BB C C （包含边界）内
运动，则下列结论正确的有（
）
A. 直线 1BD 平面 1 1AC D
B. 二面角 1B CD B
的大小为
2
C. 过三点
,
P A D 的正方体的截面面积的最大值为 22a
,
1
B
D. 三棱锥 1
AC D
1
1
的外接球半径为 3a
【答案】AC
【解析】
BD
【分析】对 A，根据线面垂直的性质证明 1
AC
1
1
BD
，同理可得 1
A D
1
即可证明；对 B，
根据二面角的定义可得二面角 1B CD B
为 1B CB
即可判断；对 C，作出截面，分析可
得当截面为 1 1A B CD 时截面积最大即可；对 D，根据三棱锥的外接球与正方体外接球为同一
球求解即可.
【详解】对 A，连接 1
1B D ，因为
ABCD A B C D
1
1 1
1
为正方体，故 1
B D
1
AC
1
1
， 1BB 平面
DCBA
111
1
.又 1 1AC 平面
DCBA
1
111
BB
，故 1
AC
1
1
.又 1
B D BB
1
1
， 1
B
1
,B D BB 平
1
1
面 1
1B D B ，故 1
1AC 平面 1
1B D B .又 1BD 平面 1
1B D B ，故 1
AC
1
BD
1
.
同理 1
A D BD
1
AC
，又 1 1
A 正确；
A D A
1
1
， 1
,AC A D 平面 1 1AC D ，故 1BD 平面 1 1AC D .故
1
1
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