应用随机过程课后习题解答.doc-资料库

第一章习题解答 1．设随机变量 X 服从几何分布，即： ( P X k  )  k , pq k  0,1,2, 。求 X 的特征函数，EX 及 DX。其中 0   p 1, q 1   是已知参数。 p 解  f X ( ) t  ( E e j t x )    k  j t k e k p q 0    p k  ( q k e j t k ) 0 = p   k  0 ( qe jt k )  p qe jt 1  又  E X ( )    k  0 kpq k  p k kq  p q p 2  q p D X ( )  ( E X 2 )  [ ( E X 2 )]     q k 0 2 P （其中   n  0 n nx    n  0 ( n  1) x n  令 ( ) S x    n ( n  0 1) n x   ） x n n  0 则 x  0 S t d t ( )    k  x  0 0 ( n  1 ) n t d t    n  x  1 x n  1 x  0 1  2 x )  x  2 x ) (1 k x  S x ( )  d d x x  0 S t d t ( )     n  0 n n x  1  (1  1 2 x ) (1 1  x 同理   k  0 k 2 k x    k  0 ( k  1) x k    2 k  0 k kx    k  0 令 ( ) S x    k ( k  0 2 1) x k 则   k  0 ( k  1) x k  1    k  1 k kx ） S t d t ( )  x  0   k  0 ( k  2 1) k t d t  1

2、（1）求参数为( , )p b 的  分布的特征函数，其概率密度函数为 ( ) p x p p )  b  (    x p 1  e  bx , x  0 b  0, p  0 0, x  0 （2）其期望和方差；（3）证明对具有相同的参数的 b 的  分布，关于参数 p 具有可加性。解（1）设 X 服从 (  p , b ) 分布，则 f X ( ) t    0 jtx e b (  p p ) x p 1 bx   e dx  b (  p p )   0 x p  1 ( e ) jt b x  dx  ( u jt  ) b x b (  p p )   0 u  e u b  p jt (  1 ) p du  b  p jt p ) ( b  1 jt b p ) (1  (   ( p )    0  x e x p  1 d x ) （2）  E X ( )  1 j f X ' (0)  p b E X ( 2 )  1 2 j f X '' (0)  ( ) ( D X E X  2 )   1) ( p p  2 b ( ) P 2 E X  2 b （4）若 X i ( , ) p b i i  1,2 则 f X X  1 2 ( ) t  f ( ) t f X 2 X 1 ( ) t (1   Y X X    2 1  ( , ) P P b   1 2 jt b ( ) P P   1 2 ) 2

同理可得： f  X i ( ) t  ( b  b jt  P i )  3、设 ln ( F X Z  ), 并求 ( E Z )(k k 是常数）。X 是一随机变量， ( )F x 是其分布函数，且是严格单调的，求以下随机变量的特征函数。（1） Y  aF X ( )  ,( b a  是常数； 0, b ) （2） ln ( F X Z  ), 并求 ( E Z )(k k 是常数）。解（1）  { ( ) P F x  y }  { P x  F  1 ( y )}  F F [  1 ( y )]  y （ 0 1y  ）  F ( y )      0 y 1 0 y  y  y  0  1 1  ( F x 在区间[0，1]上服从均匀分布 ) ( )F x 的特征函数为 f X ( ) t  1  0 jtx e dx  jtx e jt f Y ( ) t  e jbt f X ( at )  e jbt ( e jta  1) （2）  Zf ( ) t  ( E e jtz )  [ E e jt ln ( F x ) ] 1 jt jt ( e 1)  1 0  1 jat 1  0 1  0 = = j t ln y e  1 d y jty dy  1  1 jt j ( 1) (1       ( 1)( 2)     2 ) jt  2 j ' ( ) Zf t '' ( ) Zf t  (1   3 ) jt  3

( ) k Zf k () ( 1) ! t k j    k (1 )   ( 1) k jt    ( E Z k )  1 k j f Z ( k ) (0)   ( 1) k k ! X 4、设 1 X，，相互独立，且有相同的几何分布，试求 X 2 n  的分布。 X k n k 1  jt ( ) t  ( E e X k n  k  1 x k ) f 解 n  k  1 n  k  1 ( E e jtx )k n   1 1 k p qe jt = = = n p (1 qe jt n ) =   k  0 n C p k n (  k ) q e jtk x k n k   }  k C p n n (  q ) k  n  { P k 1  5、试证函数 f ( ) t  e n jt (1 e  jt (1 e  jt ) ) 为一特征函数，并求它所对应的随机变量的分布。证（1） lim ( ) t t  f 0   lim 0 t   ) jt e n (1  (1  e e jnt ) jt  1 n lim 0 t   jt ) e jt (1  1 e  e jt  1 lim ( ) t t  f 0   lim 0 t   ) jt e n (1  (1  e e jnt ) jt  1 n jt lim lim 0 t   e 0 t   (1 1   e e ) jt jt  1 f (0) 1   lim ( ) 1  t  f t 0  ( ) t 为连续函数 f 4

n n   i  1 k  1 f ( t i  t k )  k i  = = = = n n   i  1 k  1 jt i jt k e e {1  n (1  ) } n  k i k ) jt i jt e ( e jt e e jt i jt i k jt i jt k e e {1 (  n n  i 1  k 1  k jt e e (1 n )(1 e e    )}  i k jt i jt k e e )  jt i jt k 1 n 1 n 1 n n n n  i 1  k 1  l 1  ( j t i  t k ) [ e l ]  i k  i k n n n  1  l 1  1  i k n n  i 1  l 1  jlt i e k jlt jlt i e e   i n n k 1  l 1  e jlt  k k f ( t i  t  k k ) i  0  n n  i k 1  1   非负定（2）  f ( ) t  ) jt e n (1  (1  e e jnt ) jt jt e (1  e jt )(1 =  n jt e (1 e  jt e  2 jt )  e  ( n 1) tj  ) = 1 n  n  1 k jtk e  { kP x  k }  1 n （ 0,2,   ） n k 6、证函数 f ( ) t  为一特征函数，并求它所对应的随机变量的分布。 2 1 1 t  n  n i 1  k 1  解（1） f ( t i  t  k k ) i 5

n n =   i k 1 ( t t   t 连续 (0) 1  f 1  1  k i i 且 ( ) f （2）  f ( ) t  1  = 2 1 t  1 [ 2 1 2 =   0      = jtxe  1 2   ( ) P x x e  n n  i 1  k 1   k i 1 M  2  0 （ M  max{ 1 , j n i   t i  ） } t k  2 ) k  ( ) f t 为特征函数 1 1 ( jt  2 )  1 [ 2 1 1  jt  1  1 ] jt  ( jt 1)  x e dx ]   0 e e ( jt 1)  x dx  jtx  x dx 1 2 x  e dx X 7 、设 1 X，，相互独立同服从正态分布 X 2 n N  ，试求 n 维随机向量 ( ) , 2 ( X X 1 , , 2 X 的分布，并求出其均值向量和协方差矩阵，再求 X )n 1 n   的率密度 n  1 i X i 函数。解  P x ( 1 , x 2 ,  x n ) n   i  1 P x i ( x i )  1 n 2 (2 ) n   exp{  n  i 1  ( x i  2 ) a 2 2  } 又  iX 的特征函数为： iXf f X X 1 , 2  X n ( , t 1 t 2  t n )   jat exp{ ( ) t  n  1   }    ( ) t i   f , i exp{ 1 2 2 2 t n  ( i 1  } jat i  2 2 t i 1 2 )}  均值向量为 { ,  2 B diag      ( , , 2 2 )  协方差矩阵为又 6

f X ( ) t  f ( t n , t n ,  n   ) t n i  1 f ( ) t n  exp{ jat  2 2 t ] 1 2 n 8、设 X．Y 相互独立，且（1）分别具有参数为 ( 从参数为 1 p b , ),( ( , ) p b 2 的分布。求 X+Y 的分布。 )m p 及 ( , n p 分布；（2）分别服 ) , 解（1） f X ( ) t  jtx e P k k   k n  x  0 jtx x  e C p q x n n x  = n  x  0  it ( pe ) x x C q n n x  = n q n  x  0  jt ( e p q x ) C x n n = (1 q  p q e jt n ) =( q  pe )jt n 则 f , X Y ( )  pe ( t t 1, 2  ( ) t f X Y  jt 1  q ) ( m pe jt 2  n q )  f X ( ) t f Y ( ) t  ( pe jt  m n ) q   X Y   ( b m n p  , ) （2）  f X ( ) t  f X Y  X Y   (1   jt b (1   ( ) t   ( p 1  p 1 ) jt b   ( p 1  p 2 ) ) , ) p b 2 9、已知随机向量（X、Y）的概率密度函数为 ( , p x y )     4 [1 1  ( xy x 2  0, 求其特征函数。 , x y  1 )], 1   2 y 其他解 f ( t 1 , t 2 )  { E e j ( t x 1  t y 2 ) } 7

j ( 1 x t y  2 ) e  1 4 (1  3 x y  3 xy dy ) [cos t y 2  3 ( j x y  3 xy )sin t y dy 2 ] 1 1   1 1   1 ＝＝＝ 1 1  1 0 1 2 jt xe dx   1 sin sin t t 1 2 t 1 t 2 10、已知四维随机向量 1 ( X X X X 服从正态分布，均值向量为 0，协方差矩阵 ) , , , 2 3 4 为 B  ( )kl   4 4,  求（X X X X ）。 1 2 3 4 E 解  ( E X ,  X 1 4 )  ( ) j 4  [ 4   ( , t f  1 ( , t t  1 4 t 4 ) ) ] t 1 t   4  0 又 f ( , t 1  t 4 )  exp[  tBt ' ] 1 2 ＝ exp{ 4 4   1 2 k 1  l 1  t t l k l k } 其中 B  21 13 12 11      14       24      34        44 22 23 31 32 33 41 42 43          kl cov( E （X X X X ）= 1 2 3 4       14   12 34 13 24 23 X X , k ) l ( , k l  1,2,3,4) X 11 、设 1 X 2 X 3 ，和相互独立，且都服从 N（0，1），试求随机变量 Y 1  X 1  X Y 和 2 2  X 1  X 2 组成的随机向量 1 2（Y，Y ）的特征函数。解  f X X X 1 2, , ( , t 1 t 2 , t 3 )  exp{ j 3 3  k 1  t x k k } 3  k 1  ＝ jt x k k e  exp{ 3   1 2 k 1  t 2 k } ＝ f X X X 1 2 , , ( u 1  3 , u u u 2 , 3 ) 4 ＝ exp{ [(( u 1 1 2  u 2 ) 2  u 2 1  u 2 2 )]} X 12、设 1 X 2 X 3 ，和相互独立，都服正态分布 N（0，），试求： 2 8

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