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《概率论与数理统计》讲义笔记.pdf
考点
重要程度
分值
常见题型
连续型
二维随机变量
1.概率密度
必考
大题
2.边缘概率密度
3.条件概率密度
4.独立性
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课时一 事件的运算及概率
重要程度
必考
★★★
分值
6 ~ 10
3 ~ 6
常见题型
选择、填空
选择、填空
考点
1.事件及运算
2.古典概型
3.几何概型
1. 事件及运算
1) 文氏图
包含事件
并（和）事件
差事件
+
S
A
B
A B
A
B
S
A B A B
A
B
S
A B
交（积）事件
互斥（不相容）事件
对立（逆）事件
A
B
A B AB
独 立 事 件
A
B
S
S
S
P AB
P A P B
2） 常用公式
A
B
S
AB
A
A
S
A A S AA
(1) A 与 B 独立，则 A 与 B ， A 与 B ， A 与 B 也相互独立
(2) 若 A B C、 、 相互独立
①两两独立 ②
(3) 两两独立 A B C
、 、 相互独立
P A P B P C
P ABC
P A B C
1 德摩根律： A B A B
2 加法公式：
P A B
P A
3 减法公式：
P A B
4 对立事件：
P A
5 独立事件：
P AB
1
P A
P B
P AB
P A
P A P B
A B A B
P AB
P AC
P AB
P B
P AB
P C
P A
(长杠变短杠，开口换方向)
P BC
P ABC
11
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题 1.事件 A B C、 、 中至少有一个事件发生可以表示为 A B C
。
题 2.设
P A
0.4
,
P B
0.3
,
P AB
0.1
,则
P A B
______。
解： (
P A B
)
P A
)
(
P B
(
)
P AB
(
）＝ ＋
0.4 0.3 0.1 0.6
＝
题 3.已知
P A
P B
P C
,
P AB
1
7
P BC
1
14
,
P AC 则 A B C、 、 中至少有一
0
个发生的概率_______。
解：
P A
P A B C
P B
P C
P AB
P BC
P AC P ABC
+
1
1
7
1
1
7 14 14
0 0
2
7
1
7
题 4.若
解：
P A ，
P B
0.4
P A B
P A B
1
0.5
, A B、 互斥，则
P A B
_______。
P A B
1
P A
P B
P AB
1 0.4 0.5 0 0.1
题 5. A B、 相互独立，
P A ，
P A B
0.3
0.6
，
P B _______。
解： (
P A B
)
P A
(
)
P B
(
)
P AB
(
)
P A
P B
P A P B
0.6
0.3
P B
(
) 0.3 (
P B
) 0.6
题 6.若
P B ，
P A B
0.3
3
7
0.4
P B
(
)
，则
0.3
P A B
_______。
P A
P B
P AB
P A
P AB
0.4
解：
P A B
P A B
P A
P AB
0.4 0.3 0.1
P AB ，则
=0
题 7.设
A . A 和 B 互不相容
P A 或
C .
P B
=0
=0
B . A 和 B 对立
D .
P A B
P A
解： A 错：若 A 和 B 互不相容
P AB
=0
，但
P AB AB
=0
B 和C 错： A B、 独立，
P AB P A P B 不一定等于 0
=
D 正确：
P A B
P A
P AB
P A
22
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2. 古典概型
题 1.在一箱子中共有 7 个球，3 个黑球 4 个白球，求：
⑴从中无放回抽取3 个球，求 A “取得两黑一白”的概率；
⑵从中有放回抽取3 个球，求 B “取得两黑一白”的概率。
n
!
n
(
n
1)
1
0! 1
解：
P A
=
1
4
2
C C
3
3
C
7
12
35
C
m
n
n
n
1
m
!
n m
1
P B C
=
2
3
2
3
7
3
4
7
2
3
7
4 108
7 343
=
C
1
n
C
1n
n
n
n
!
m n m
!
!
题 2.一箱产品有 a 个正品，b 个次品，甲先取一个（取后不放回），乙再取一个，问乙取到正
品的概率。
P
解：若甲取的为正品，乙取得正品概率： 1
a b a b
a
1
a
1
P
若甲取的为次品，乙取得正品概率： 2
a
b
a b a b
1
P P P
2
1
a b a b
a
1
a
a
b
a b a b
1
a
a b
1
注：此类问题中，“一次取
出 k 个”和“逐次无放回
取出 k 个”，第i 次抽取的
时候和第一个人对应的概
率是一样的，比如最典型
的：抽奖。
3. 几何概型
题 1.设 x 的取值范围为
1,6 ，问 2
5x 的概率为_______。
解：
P
(2
x
5)
3
5
1
2
3
4
5
6
x
题 2.两个人相约 7 点至8 点到某地点会面，先到者等另一人 20 分钟，过时就可以离去，试求
两个人能会面的概率。
解：设两人到达的时间分别为 x ， y ，两个人会面的事件为 A 。
A
则
P A
=1
x
y
20
40 40 5
60 60 9
=
y
60
x
y
20
x
y
20
20
20
60
x
33
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课时一 练习题
1. 设事件 A B、 互不相容，已知
P A
=0.4
，
P B
=0.5
,则
P A B
=
若 A B、 独立，则
P A B
2. 已知 A B、 是两个独立的事件，其中
P A
=0.7
，
P B
=0.3
，则
P A B
=
3. 已知
P A
=0.5
，
P A B
=0.7
,若 A B、 独立，则
P B
4. A B、 为随机事件，若
P A B
=0.5
，
P A
=0.3
，则
P B A
5. 甲袋中有 4 只红球，有 6 只白球，乙袋中有 6 只红球，10 只白球，现从两袋中各任取1球，
则 2 个球颜色相同的概率是（）
.A 6
40
.B 15
40
.C 21
40
.D 19
40
6. 甲、乙两门高射炮彼此独立地向一架飞机各发一炮，甲、乙击中飞机的概率分别为 0.3 和
0.4 ，则飞机至少被击中一炮的概率为____
7. 掷 2 颗均匀的骰子，两个点数之和为 7 的概率为____
8. 设随机变量 A 为
5,7
x 上的均匀分布，则关于 x 的方程 29
x
6
Ax A
有实根的
6 0
概率为
44
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课时二 全概率公式、贝叶斯公式
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考点
1.条件概率、乘法公式
2.全概率、贝叶斯公式
重要程度
必 考
分值
51~10
常见题型
大 题
1. 条件概率、乘法公式
题 1.投一颗骰子，事件 A 为“点数大于 3 ”，事件 B 为“点数为5 ”。则 (
P B A _______。
)
解：
P AB
(
)
P B
(
)
1
6
P A
(
)
1
2
P B A
(
)
P AB
(
)
P A
)
(
1
6
1
2
1
3
条件概率：
P B A
(
)
P A B
(
)
P AB
(
)
P A
)
(
P AB
(
)
P B
)
(
乘法公式：
P A P B A
P AB
(
)
)
(
P B P A B
(
)
)
)
(
(
区别： (
)P B 样本空间为点数
1,2,3,4,5,6 ，
P B
(
1
)= 6
P B A 样本空间为点数
A
(
)
4,5,6
，
P B A
(
1
)= 3
题 2.已知 (
P A ， (
) 0.6
P B A ，则 (
) 0.3
P AB _______。
)
解： (
P AB
)
P A P B A
(
)
(
) 0.6 0.3 0.18
题 3.已知 (
P A B
) 0.8
， (
P B ，则 (
) 0.4
P A B _______。
)
解：
P A B
(
)
)
P A B
(
P B
)
(
P A P AB
(
)
)
P B
(
(
)
P A B
(
)
P A P B
(
(
)
)
P AB
(
) 0.4
得 (
P A P AB
)
(
) 0.4
P B
(
) 1
P B
(
) 1 0.4 0.6
P A P AB
(
)
(
) 0.8
P A P AB
(
)
P B
(
(
)
)
0.4
0.6
2
3
故
P A B
(
)
55
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2. 全概率公式、贝叶斯公式
题 1.甲、乙、丙三车间加工同一产品，加工量分别占总量 25% ， 35% ， 40% ，次品率分别
为 0.03， 0.02 ，0.01 ，现从所有产品中抽取一个产品，试求：
⑴该产品是次品的概率?
⑵若检查该产品是次品，求该产品是乙车间生产的概率？
解：①设事件 A 为该产品是次品
② 1B 为甲厂生产， 2B 为乙厂生产， 3B 为丙厂生产
全概率公式解题：
1 设 A 为发生的事件
2 找出完备事件组 iB
③ 1
P B
(
)
1
4
P B
(
)
2
7
20
P B
(
)
3
2
5
3 写出 (
)iP B 及 (
P A B
)i
4 代入全概率公式：
P A B
(
) 0.03
1
P A B
(
) 0.02
2
P A B
(
) 0.01
3
P A
(
)
n
i
1
P B P A B
(
i
)
(
i
)
)
贝叶斯（逆概）公式:
)
(
i
P A
)
(
P B A
(
)
P B P A B
(
i
5
i
④
P A
)
(
P B P A B
(
1
)
(
1
)
P B P A B
(
2
)
(
2
)
P B P A B
(
3
)
(
3
)
1
4
0.03
7
20
0.02
2
5
0.01
37
2000
⑤
P B A
)
(
2
P B P A B
(
2
2
(
)
P A
(
)
)
7
20
0.02
37
2000
14
37
题 2.设工厂 A 和工厂 B 的产品的次品率分别为1% 和 2% ，现从由 A 和 B 的产品分别占 60% 和
40% 的产品中，随机抽取一件发现是次品，则该次品属于 A 厂生产的概率是多少？
解：设事件 A 为“抽取一件为次品”
1B 为从 A 工厂生产， 2B 为从 B 工厂生产
P B ， 2(
1(
) 0.6
P B
) 0.4
P A B ，
(
) 0.01
1
P A B
(
) 0.02
2
P B P A B
(
1
)
(
1
)
P B P A B
(
2
)
(
2
) 0.6 0.01 0.4 0.02 0.014
P B P A B
(
1
1
)
(
P A
(
)
)
0.6 0.01
0.014
3
7
则
P A
)
(
P B A
(
)
1
66
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题 3.盒中有 4 个红球，6 个黑球，今随机地取出一球，观察颜色后放回，并加上同色球 2 个，
再从盒中第二次抽取一球，求：
⑴第二次取出的是黑球的概率；
⑵已知第二次取出的是黑球，求第一次取出的也是黑球的概率。
解：⑴设事件 A 为“第二次取出的是黑球”
1B 为第一次取出是红球， 2B 为第一次取出是黑球
P B
(
)
1
4
10
P B
(
)
2
6
10
P A B
(
)
1
6
12
P A B
(
)
2
8
12
则
P A
)
(
P B P A B
(
1
)
(
1
)
P B P A B
(
2
)
(
2
)
6
6
4
3
10 12 10 12 5
+
=
8
⑵
P B A
)
(
2
P B P A B
(
2
2
)
(
P A
(
)
)
6
8
10 12
3
5
2
3
课时二 练习题
1. 已知
P A
0.8
,
P B
0.4
,且 A B ,则
P B A
2. 设 A B、 是两个随机事件，且
0
P A
1,
P B
P B A
,则必有（ ）
0
. C A B
. D P A
P B
4. 仓库中有10 箱同种规格的产品，其中 2 箱、3 箱、5 箱分别由甲、乙、丙三个厂生产，三
个厂的正品率分别为 0.7,0.8,0.9 ，现在从这10 箱产品中任取一箱，再从中任取一件
(1) 求取出的产品为正品的概率
(2) 如果取出的是正品，求此件产品由乙厂生产的概率
5. 某保险公司把被保险人分为3 类：“谨慎的”、“一般的”、“冒失的”，统计资料表明，这 3
种人在一年内发生事故的概率依次为 0.05,0.15,0.30 ；如果“谨慎的”被保险人占 20% ，
“一般的占50% ，“冒失的”占 30% ，问：
(1) 一个被保险人在一年内出事故的概率是多大？
(2) 若已知某被保险人出了事故，求他是“谨慎的”类型的概率。
77
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. B P B A
. D P AB
0,
P A B
P B A
P A P B
. A P A B
. C P AB
P A B
P A P B
1
3. 设 ,A B 满足
P B A 则（ ）
B P B A
.
. A A 是必然事件
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课时三 一维随机变量
考点
重要程度
分值
常见题型
离散型随机变量
连续型随机变量
1.分布律、分布函数
2.函数的分布
3.概率密度、分布函数
★★★
★★★
必 考
4.函数的分布
★★★★
6~3
选择、填空
01~6
大 题
1.离散型随机变量分布律、分布函数
题 1.盒中有 6 个球，其中 4 个白球， 2 个黑球，从中任取 2 个球，求：
(1) 抽到白球数 X 的分布律； （2）随机变量 X 的分布函数
解：⑴ X 可取 0 ，1， 2
0
2
C C
4
2
2
C
6
P X
0
X
P
0
1
15
1
8
15
1
15
2
6
15
P X
1
1
1
C C
4
2
2
C
6
8
15
P X
2
2
0
C C
4
2
2
C
6
6
15
⑵ 0
x 时， ( ) 0
F x
0
1x 时，
F x
( )
1
x 时，
2
F x
( )
2
x 时， ( ) 1
F x
1
15
1
8
15 15
9
15
F x
( )
0
1
15
9
15
1
x
0
0
x
1
1
x
2
2
x
分布函数：
( )F x
P X x
①0
F x
( ) 1
② (
F , (+ ) 1
F
) 0
③ ( )F x 单调不减函数
④右连续
F x
lim ( )
x
x
0
F x
(
0
)
题 2.设随机变量 X 的分布函数为
F x
x
1
0
x
1
1
0.4
x
3
0.8 1
x
3
1
，求 X 的分布律和
P
1
X
3
X
P
1
0.4
1
0.4
3
0.2
分布函数求分布律：
①先写分断点
1
P
X
3
P X
1
P X
3
0.4 0.2 0.6
②分段点处概率减去上一个概率
解：
88
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