形式语言与自动机答案北邮.doc-资料库

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形式语言与自动机课后作业答案第二章 4．找出右线性文法，能构成长度为 1 至 5 个字符且以字母为首的字符串。答：G={N,T,P,S} 其中 N={S,A,B,C,D} T={x,y} 其中 x∈{所有字母} y∈{所有的字符} P 如下: S→x S→xA A→y A→yB B→y B→yC C→y C→yD D→y 6．构造上下文无关文法能够产生 L={ω/ω∈{a,b}*且ω中 a 的个数是 b 的两倍} 答：G={N,T,P,S} 其中 N={S} T={a,b} P 如下: S→aab S→aba S→baa S→aabS S→aaSb S→aSab S→Saab S→abaS S→abSa S→aSba S→Saba S→baaS S→baSa S→bSaa S→Sbaa 7．找出由下列各组生成式产生的语言（起始符为 S） (1) S→SaS S→b (2) S→aSb S→c (3) S→a S→aE E→aS 答：（1）b(ab)n /n≥0}或者 L={(ba)nb /n≥0} (2) L={ancbn /n≥0} (3) L={a2n+1 /n≥0} 第三章 1．下列集合是否为正则集，若是正则集写出其正则式。（1）含有偶数个 a 和奇数个 b 的{a,b}*上的字符串集合（2）含有相同个数 a 和 b 的字符串集合（3）不含子串 aba 的{a,b}*上的字符串集合答：（1）是正则集，自动机如下偶 a 偶 b b b 偶 a 奇 b 奇 a 偶 b b b 奇 a 奇 b a a a a (2) 不是正则集，用泵浦引理可以证明，具体见 17 题（2）。

(3) 是正则集先看 L’为包含子串 aba 的{a,b}*上的字符串集合显然这是正则集，可以写出表达式和画出自动机。（略）则不包含子串 aba 的{a,b}*上的字符串集合 L 是 L’的非。根据正则集的性质，L 也是正则集。 4．对下列文法的生成式，找出其正则式（1） G=({S,A,B,C,D},{a,b,c,d},P,S),生成式 P 如下： S→aA S→B A→abS A→bB B→b B→cC C→D D→bB D→d （2） G=({S,A,B,C,D},{a,b,c,d},P,S),生成式 P 如下： S→aA S→B A→cC A→bB B→bB B→a C→D C→abB D→d 答：(1) 由生成式得： S=aA+B ① A=abS+bB ② B=b+cC ③ C=D ④ D=d+bB ⑤ ③④⑤式化简消去 CD，得到 B=b+c(d+bB) 即 B=cbB+cd+b =>B=(cb)*(cd+b) ⑥ 将②⑥代入① S=aabS+ab(cb)*(cd+b)+(cb)*(cd+b) =>S=(aab)*(ab+ε)(cb)*(cd+b) (2) 由生成式得： S=aA+B ① A=bB+cC ② B=a+bB ③ C=D+abB ④ D=dB ⑤ 由③得 B=b*a ⑥ 将⑤⑥代入④ C=d+abb*a=d+ab+a ⑦ 将⑥⑦代入② A=b+a+c(d+b+a) ⑧ 将⑥⑧代入① S=a(b+a+c(d+ab+a))+b*a =ab+a+acd+acab+a+b*a 5.为下列正则集，构造右线性文法： (1){a,b}* (2)以 abb 结尾的由 a 和 b 组成的所有字符串的集合

(3)以 b 为首后跟若干个 a 的字符串的集合 (4) 含有两个相继 a 和两个相继 b 的由 a 和 b 组成的所有字符串集合答：（1）右线性文法 G=({S},{a,b},P,S) P: S→aS S→bS S→ε (2) 右线性文法 G=({S},{a,b},P,S) P: S→aS S→bS S→abb (3) 此正则集为{ba*} 右线性文法 G=({S,A},{a,b},P,S) P: S→bA A→aA A→ε (4) 此正则集为{{a,b}*aa{a,b}*bb{a,b}*, {a,b}*bb{a,b}*aa{a,b}*} 右线性文法 G=({S,A,B,C},{a,b},P,S) P: S→aS/bS/aaA/bbB A→aA/bA/bbC B→aB/bB/aaC C→aC/bC/ε 7.设正则集为 a(ba)* (1) 构造右线性文法 (2) 找出（1）中文法的有限自动机答：（1）右线性文法 G=({S,A},{a,b},P,S) P: S→aA A→bS A→ε （2）自动机如下： P1 a b (p2 是终结状态) P2 9.对应图（a）(b)的状态转换图写出正则式。（图略）（1）由图可知 q0=aq0+bq1+a+ε q1=aq2+bq1 q0=aq0+bq1+a =>q1=abq1+bq1+aaq0+aa =(b+ab) q1+aaq0+aa =(b+ab) *( aaq0+aa) =>q0=aq0+b(b+ab) *( aaq0+aa ) +a+ε = q0(a+b (b+ab) *aa)+ b(b+ab) *aa+a+ε =(a+b (b+ab) *aa) *((b+ab) *aa+a+ε) =(a+b (b+ab) *aa) * (3) q0=aq1+bq2+a+b q1=aq0+bq2+b q0=aq1+bq0+a =>q1=aq0+baq1+bbq0+ba+b =(ba)*(aq0 +bbq0+ba+b) =>q2=aaq0+abq2+bq0+ab+a =(ab)*(aaq0 +bq0+ ab+a)

=>q0=a(ba)*(a+bb) q0 + a(ba)*(ba+b)+b(ab)*(aa+b)q0+ b(ab)*(ab+a)+a+b =[a(ba)*(a+bb) +b(ab)*(aa+b)]* (a(ba)*(ba+b)+ b(ab)*(ab+a)+a+b) 10.设字母表 T={a,b},找出接受下列语言的 DFA：（1）含有 3 个连续 b 的所有字符串集合（2）以 aa 为首的所有字符串集合（3）以 aa 结尾的所有字符串集合答：（1）M=({q0,q1 q2,q3},{a,b},σ,q0,{q3}),其中σ如下： q0 q1 q2 q3 a q0 q0 q0 q3 （2）M=({q0,q1 q2 },{a,b},σ,q0,{q2}),其中σ如下： q0 q1 q2 a q1 q2 q2 （3）M=({q0,q1 q2 },{a,b},σ,q0,{q2}),其中σ如下： q0 q1 q2 a q1 q2 q2 14 构造 DFA M1 等价于 NFA M，NFA M 如下：（1）M=({q0,q1 q2,q3},{a,b},σ,q0,{q3}),其中σ如下： σ(q0,a)={q0,q1} σ(q0,b)={q0} σ(q1,a)={q2} σ(q1,b)= {q2 } σ(q2,a)={q3} σ(q2,b)= Φ σ(q3,a)={q3} σ(q3,b)= {q3 } （2）M=({q0,q1 q2,q3},{a,b},σ,q0,{ q1,q2}),其中σ如下： σ(q0,a)={q1,q2} σ(q0,b)={q1} σ(q1,a)={q2} σ(q1,b)= {q1,q2 } σ(q2,a)={q3} σ(q2,b)= {q0} σ(q3,a)= Φσ(q3,b)= {q0} b q1 q2 q3 q3 b Φ Φ q2 b q0 q0 q0 答：（1）DFA M1={Q1, {a,b},σ1, [q0],{ [q0,q1,q3]，[q0,q2,q3]，[q0, q1,q2,q3]} 其中 Q1 ={[q0],[q0,q1], [q0,q1,q2],[ q0,q2],[ q0,q1, q2,q3],[ q0,q1, q3],[ q0,q2, q3],[ q0,q3]} σ1 满足 [q0] [q0,q1] [q0,q1,q2] a [q0,q1] [q0,q1,q2] [ q0,q1, q2,q3] b [ q0] [ q0,q2] [ q0,q2]

[ q0,q2] [ q0,q1, q2,q3] [ q0,q1, q3] [ q0,q2, q3] [ q0,q3] [ q0,q1, q3] [ q0,q1, q2,q3] [ q0,q1, q2,q3] [ q0,q1, q3] [ q0,q1, q3] [q0] [ q0,q2, q3] [ q0,q2, q3] [ q0,q3] [ q0,q3] （2）DFA M1={Q1, {a,b},σ1, [q0],{ [q1],[q3], [q1,q3],[q0,q1,q2],[q1,q2] ,[q1,q2,q3],[q2,q3]} 其中 Q1 ={[q0],[q1,q3], [q1],[q2],[ q0,q1,q2],[q1,q2],[q3], [q1,q2,q3],[q2,q3]} σ1 满足 [q0] [q1,q3] [q1] [q2] [ q0,q1,q2] [q1,q2] [q3] [q1,q2,q3] [q2,q3] a [q1,q3] [q2] [q2] [q3] [q1,q2,q3] [q2,q3] Φ [q2,q3] [q3] b [q1] [ q0,q1,q2] [q1,q2] [q0] [ q0,q1,q2] [ q0,q1,q2] [q0] [ q0,q1,q2] [q0] 15. 15.对下面矩阵表示的ε-NFA a {p} {q} {r} b {q} {r} φ c {r} φ {p} ε φ {p} {q} P(起始状态) q r(终止状态) (1) 给出该自动机接收的所有长度为 3 的串 (2) 将此ε-NFA 转换为没有ε的 NFA 答：（1）可被接受的的串共 23 个，分别为 aac, abc, acc, bac, bbc, bcc, cac, cbc, ccc, caa, cab, cba, cbb, cca, ccb, bba, aca, acb, bca, bcb, bab, bbb, abb （2）ε-NFA：M=({p,q,r},{a,b,c},σ,p,r) 其中σ如表格所示。因为ε-closure(p)= Φ 则设不含ε的 NFA M1=({p,q,r},{a,b,c},σ1,p,r) σ1(p,a)=σ’(p,a)=ε-closure(σ(σ’(p,ε),a))={p} σ1(p,b)=σ’(p,b)=ε-closure(σ(σ’(p,ε),b))={p,q} σ1(p,c)=σ’(p,c)=ε-closure(σ(σ’(p,ε),c))={p,q,r} σ1(q,a)=σ’(q,a)=ε-closure(σ(σ’(q,ε),a))={p,q} σ1(q,b)=σ’(q,b)=ε-closure(σ(σ’(q,ε),b))={p,q,r} σ1(q,c)=σ’(q,c)=ε-closure(σ(σ’(q,ε),c))={p,q,r} σ1(r,a)=σ’(r,a)=ε-closure(σ(σ’(r,ε),a))={p,q,r} σ1(r,b)=σ’(r,b)=ε-closure(σ(σ’(r,ε),b))={p,q,r} σ1(r,c)=σ’(r,c)=ε-closure(σ(σ’(r,ε),c))={p,q,r} 图示如下：(r 为终止状态)

a,b,c p b,c a,b,c q a,b,c c a,b,c b,c a,b,c r a,b,c 16．设 NFA M=({q0,q1},{a,b},σ,q0,{q1}),其中σ如下： σ(q0,a)={q0,q1} σ(q0,b)={q1} σ(q1,a)= Φ σ(q1,b)= {q0, q1} 构造相应的 DFA M1，并进行化简答：构造一个相应的 DFA M1={Q1, {a,b},σ1, [q0],{ [q1]，[q0,q1]} 其中 Q1 ={[q0]，[q1]，[q0,q1]} σ1 满足 [q0] [q1] [q0,q1] a [q0,q1] Φ [q0,q1] b [q1] [q0,q1] [q0,q1] 由于该 DFA 已是最简，故不用化简 17.使用泵浦引理，证明下列集合不是正则集：（1）由文法 G 的生成式 S→aSbS/c 产生的语言 L(G) （2） {ω/ω∈{a,b}*且ω有相同个数的 a 和 b} （3） {akcak/k≥1} （4） {ωω/ω∈{a,b}*} 证明：（1）在 L(G)中，a 的个数与 b 的个数相等 iω2= ak–n(an)i(cb)kc 在 i 不等于 0 时不属于 L 假设 L(G)是正则集，对于足够大的 k 取ω= ak (cb)kc 令ω=ω1ω0ω2 因为|ω0|>0 |ω1ω0|≤k 存在ω0 使ω1ω0 所以对于任意ω0 只能取ω0=an n∈(0,k) 则ω1ω0 与假设矛盾。则 L(G)不是正则集（2）假设该集合是正则集，对于足够大的 k 取ω= ak bk 令ω=ω1ω0ω2 因为|ω0|>0 |ω1ω0|≤k 存在ω0 使ω1ω0 所以对于任意ω0 只能取ω0=an n∈(0,k) 则ω1ω0 与假设矛盾。则该集合不是正则集（3）假设该集合是正则集，对于足够大的 k 取ω= ak cak 令ω=ω1ω0ω2 iω2= ak–n(an)ibk 在 i 不等于 0 时 a 与 b 的个数不同，不属于该集合 iω2∈L iω2∈L

iω2∈L iω2= ak–n(an)icak 在 i 不等于 0 时 c 前后 a 的个数不同，不属于该集合因为|ω0|>0 |ω1ω0|≤k 存在ω0 使ω1ω0 所以对于任意ω0 只能取ω0=an n∈(0,k) 则ω1ω0 与假设矛盾。则该集合不是正则集（4）假设该集合是正则集，对于足够大的 k 取ωω= ak bakb 令ωω=ω1ω0ω2 因为|ω0|>0 |ω1ω0|≤k 存在ω0 使ω1ω0 所以对于任意ω0 只能取ω0=an n∈(0,k) 则ω1ω0 与假设矛盾。则该集合不是正则集 iω2∈L iω2= ak–n(an)ibakb 在 i 不等于 0 时不满足ωω的形式，不属于该集合 18．构造米兰机和摩尔机对于{a,b}*的字符串，如果输入以 bab 结尾，则输出 1；如果输入以 bba 结尾，则输出 2；否则输出 3。答：米兰机：说明状态 qaa 表示到这个状态时，输入的字符串是以 aa 结尾。其他同理。 a/3 qaa b/3 qab a/3 a/3 b/3 qba b/1 a/2 qbb b/3 摩尔机，状态说明同米兰机。 a qaa,3 b/3 a qbba,2 b/3 b a a qaab,3 b/3 b qbb,3 b/3 b b a qaba,3 b/3 a b b qbab,1 b/3

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