鱼能量消耗最少的运动方式 摘要 本文通过对鱼的受力分析，以及对鱼沿 ACB 运动与沿 AB 运动消耗能量的 比重，最后算出消耗能量最少的流动方式。 关键词：求导 1． 问题重述 观察鱼在水中的运动发现，它不是水平流动，而是突变性、锯齿状地向上和 向下滑动。可以认为这是在长期进化过程中鱼类选择的消耗能量最小的运动公 式。 （1）设鱼总是以常速 v 运动，鱼在水 中净重 w，向下滑行时的阻力 w 在运动 方向的分力；向上游动时所需的力是 w 在运动方向分力与游动所受阻力之和， 而游动的阻力是滑行阻力的 k 倍。水平 方向流动时的阻力也是滑行阻力的 k 倍，写出这些力。 （2）证明当鱼要从 A 点到达处于同一水平线上 B 点时，沿 ACB 运动消耗的能 量与沿水平线 AB 消耗的能量之比为 sin k sin( k sin    )    。 （3）据实际观察，tan 计最佳。 0.2 ，试对不同的 k 值（k=1.5,2,3）,根据能量消耗最小的准则估 2． 模型假设 1．鱼在水中运动不受水速影响，且为常速运动； 2．不考虑鱼年龄因素对鱼运动消耗能量的影响； 3． 名词解释与符号说明 v：鱼运动常速 w：鱼在水中的净重 1f ：向下滑行时的阻力 2f ：向上流行的力 3f ：水平流动阻力 4． 问题分析与模型的建立和求解 1 / 3 

4.1 鱼的受力情况 . 鱼的受力情况如右所示： 由力的分解与合成可知： f 向下滑行时的阻力 1  w  sin f 向上流行的力 2  w sin kw  sin  f 水平流动阻力 3  kw  sin 4.2 鱼运动消耗能量 鱼运动的能量公式 E fl ACBE  f AC 2 所以 ABE  f AB 3 又由几何关系可知 AC sin BC  sin  AC cos   BC cos   AB AC AB  所以 sin )     sin( Q  E ACB E AB  sin k sin( k sin    )    也就是 4.3 鱼消耗能量最小的求解 要求鱼沿 ACB 消耗能量最小，只需求 Q 的最小值。此时有： Q    Q    0,   0 2 / 3 

此时应满足： cos( )    1 k  tan      0.2, 11.3  对于不同的 k，分别求出，如下表所示： k  1.5 37 2 49 3 59 5． 模型的优缺点分析与后续 优点：本文用了求导的方法，使过程简单化，文章简单，容易看懂‘ 缺点：假设太过理想，没有实际性。 后续：研究鱼变速运动时消耗的最少能量。 3 / 3