2005年北京高考理科数学真题及答案.doc-资料库

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2005 年北京高考理科数学真题及答案本试卷分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分，第 I 卷 1 至 2 页，第 II 卷 3 至 9 页，共 150 分。考试时间 120 分钟。考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。第 I 卷（选择题共 40 分）注意事项： 1．答第 I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。 2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。不能答在试卷上。一、本大题共 8 小题．每小题 5 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. （1）设全集 U=R，集合 M={x| x>1，P={x| x2>1}，则下列关系中正确的是（A）M＝P （B）PÜ M （C）MÜ P （ D） U M P    ð （2）“m= 1 2 ”是“直线(m+2)x+3my+1=0 与直线(m－2)x+(m+2)y－3=0 相互垂直”的（A）充分必要条件（B）充分而不必要条件（C）必要而不充分条件（3）若|  a  b  c | 2,  | 1,|  的夹角为（D）既不充分也不必要条件    a b 与b    ，则向量 a  ，且 c  a （A）30° （B）60° （C）120° （D）150° （4）从原点向圆 x2＋y2－12y＋27=0 作两条切线，则该圆夹在两条切线间的劣弧长为（A）π （B）2π （C）4π （D）6π （5）对任意的锐角α，β，下列不等关系中正确的是（A）sin(α+β)>sinα+sinβ （B）sin(α+β)>cosα+cosβ （C）cos(α+β)

（A） 12 4 C C C 14 8 4 12 （B） 12 C A A （C） 14 4 12 4 8 12 4 C C C 14 8 4 12 3 A 3 （8）函数 f(x)= x 1 cos 2  cos x （D） 12 3 C C C A 14 3 4 12 4 8 （A）在[0, （B）在 [0, （C）在（D）在  ( 2 [ ,  [ ,   上递增，在 ] ),(   , 2 2 3   ),[ , )  2 2 3  , ,2 ]  2 3 3   2 2 ],( ),( ),( 3 3   2 2 3  ,  2 ),[ ,  ],( 上递增，在  ( 2 [0,  上递增，在  2    上递增，在[0, 2 2 ),( ,2 ] ,2 ]  上递减  上递减 ,2 ] 3  ) 2 ,  上递减上递减 ] 二、填空题：本大题共 6 小题；每小题 5 分，共 30 分。把答案填在题中横线上。 z （9）若 1   a 2 i , z 2 3 4 i z   ，且 1 z 2 为纯虚数，则实数 a 的值为． . （10）已知 tan =2，则 tanα的值为（11） ( x  的展开式中的常数项是  2 61 ) x ，tan(  的值为  ) 4 （用数字作答）（12）过原点作曲线 y＝ex 的切线，则切点的坐标为，切线的斜率为．（13）对于函数 f(x)定义域中任意的 x1，x2（x1≠x2），有如下结论： ①f(x1 ＋ x2)=f(x1)·f(x2) ； ② f(x1·x2)=f(x1)+f(x2) ； ③ ( ) f x 1 x 1   ( f x x 2 ) 2 >0 ； x ④ 1 ( f ) )  x 2 ( f x 1 ( f x 2  2 当 f(x)=lgx 时，上述结论中正确结论的序号是  2 ) . （14）已知 n 次多项式 ( ) P x n  n a x 0  a x 1 n 1     a x a n  1  . , n 如果在一种算法中，计算 0 kx （k＝2，3，4，…，n）的值需要 k－1 次乘法，计算 3 0( P x ) 的值共需要 9 次运算（6 次乘法，3 次加法），那么计算运算． nP x 的值共需要 0( ) 次下面给出一种减少运算次数的算法： 0 ( ) P x  a P 0 k , 1  ( ) x  ( ) xP x k  （k＝0，1，2，…， a k 1 

n－1）．利用该算法，计算 3 0( P x 的值共需要 6 次运算，计算 ) nP x 的 0( ) 值共需要次运算．三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。（15）（本小题共 13 分）已知函数 f(x)=－x3＋3x2＋9x＋a, （I）求 f(x)的单调递减区间；（II）若 f(x)在区间[－2，2]上的最大值为 20，求它在该区间上的最小值．（16）（本小题共 14 分）如图, 在直四棱柱 ABCD－A1B1C1D1 中，AB＝AD＝2，DC＝2 3 ，AA1＝ 3 ，AD⊥DC，AC ⊥BD, 垂足未 E，（I）求证：BD⊥A1C；（II）求二面角 A 1－BD－C 1 的大小；（III）求异面直线 AD 与 BC 1 所成角的大小．（17）（本小题共 13 分）甲、乙两人各进行 3 次射击，甲每次击中目标的概率为 1 2 ，乙每次击中目标的概率 2 3 ，（I）记甲击中目标的次数为ξ，求ξ的概率分布及数学期望 Eξ；（II）求乙至多击中目标 2 次的概率；（III）求甲恰好比乙多击中目标 2 次的概率．（18）（本小题共 14 分）如图，直线 l1：y＝kx（k>0）与直线 l2：y＝－kx 之间的阴影区域（不含边界）记为 W，其左半部分记为 W1，右半部分记为 W2．

（I）分别用不等式组表示 W1 和 W2；（II）若区域 W 中的动点 P(x，y)到 l1，l2 的距离之积等于 d2，求点 P 的轨迹 C 的方程；（III）设不过原点 O 的直线 l 与（II）中的曲线 C 相交于 M1，M2 两点，且与 l1，l2 分别交于 M3，M4 两点．求证△OM1M2 的重心与△OM3M4 的重心重合．（19）（本小题共 12 分）设数列{an}的首项 a1=a≠ 1 4 ，且 1  n a 1 2 a n      a  n n 为偶数 1 为奇数 4 n ,  ，n＝＝l，2，3，…·．  记 b n a  2 1 n 1 4 （I）求 a2，a3；（II）判断数列{bn}是否为等比数列，并证明你的结论；（III）求 lim( n  b 1  b 2  b 3   b )n ．（20）（本小题共 14 分）设 f(x)是定义在[0, 1]上的函数，若存在 x*∈(0，1)，使得 f(x)在[0, x*]上单调递增，在[x*，1]上单调递减，则称 f(x)为[0, 1]上的单峰函数，x*为峰点，包含峰点的区间为含峰区间．对任意的[0，l]上的单峰函数 f(x)，下面研究缩短其含峰区间长度的方法．（I）证明：对任意的 x1，x2∈(0，1)，x1＜x2，若 f(x1)≥f(x2)，则(0，x2)为含峰区间；若 f(x1)≤f(x2)，则(x*，1)为含峰区间；（II）对给定的 r（0＜r＜0.5），证明：存在 x1，x2∈(0，1)，满足 x2－x1≥2r，使得由（I）所确定的含峰区间的长度不大于 0.5＋r；（III）选取 x1，x2∈(0, 1)，x1＜x2，由（I）可确定含峰区间为(0，x2)或(x1，1)，在所

得的含峰区间内选取 x3，由 x3 与 x1 或 x3 与 x2 类似地可确定一个新的含峰区间．在第一次确定的含峰区间为(0，x2)的情况下，试确定 x1，x2，x3 的值，满足两两之差的绝对值不小于 0.02，且使得新的含峰区间的长度缩短到 0.34.（区间长度等于区间的右端点与左端点之差）参考答案一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分）（1） C （2）B （3）C （4）B （5）D （6）C （7）A （8）A 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分）（9） 8 3 （10）－ 4 3 （13）②③ （14）；－ 1 7 （11）15 （12）(1, e)；e 1 2 n(n＋3)；2n 三、解答题（本大题共 6 小题，共 80 分）（15）（共 13 分）解：（I） f ’(x)＝－3x2＋6x＋9．令 f ‘(x)<0，解得 x<－1 或 x>3，所以函数 f(x)的单调递减区间为（－∞，－1），（3，＋∞）．（II）因为 f(－2)＝8＋12－18＋a=2＋a，f(2)＝－8＋12＋18＋a＝22＋a，所以 f(2)>f(－2)．因为在（－1，3）上 f ‘(x)>0，所以 f(x)在[－1, 2]上单调递增，又由于 f(x)在[－2，－1]上单调递减，因此 f(2)和 f(－1)分别是 f(x)在区间[－2，2] 上的最大值和最小值，于是有 22＋a＝20，解得 a＝－2．故 f(x)=－x3＋3x2＋9x－2，因此 f(－1)＝1＋3－9－2＝－7，即函数 f(x)在区间[－2，2]上的最小值为－7．（16）（共 14 分）（I）在直四棱柱 ABCD－AB1C1D1 中， ∵AA1⊥底面 ABCD．∴ AC 是 A1C 在平面 ABCD 上的射影． ∵BD⊥AC．∴ BD⊥A1C；（II）连结 A1E，C1E，A1 C1．与（I）同理可证 BD⊥A1E，BD⊥C1E， ∴ ∠A1EC1 为二面角 A1－BD－C1 的平面角． ∵ AD⊥DC，∴ ∠A1D1C1=∠ADC＝90°，

又 A1D1=AD＝2，D1C1= DC＝2 3 ，AA1= 3 且 AC⊥BD， ∴ A1C1＝4，AE＝1，EC＝3，∴ A1E＝2，C1E＝2 3 ，在△A1EC1 中，A1C1 2＝A1E2＋C1E2， ∴ ∠A1EC1＝90°，即二面角 A1－BD－C1 的大小为 90°．（III）过 B 作 BF//AD 交 AC 于 F，连结 FC1，则∠C1BF 就是 AD 与 BC1 所成的角． ∵ AB＝AD＝2， BD⊥AC，AE＝1， ∴ BF=2，EF ＝1，FC＝2，BC＝DC，∴ FC1= 7 ，BC1＝ 15 ，在△BFC1 中， cos  C BF 1  15 4 7   1 2 15    15 5 ,∴ ∠C1BF= arccos 15 5 即异面直线 AD 与 BC1 所成角的大小为 arccos 15 5 ．

（17）（共 13 分）解：（I）P(ξ＝0)＝ 0 C 3 1 ( 2 1 8 3 )  ，P(ξ＝1)＝ 1 C 3 1 8 ( 1 2 3 )  ，P(ξ＝2)＝ 2 C 3 3 8 ( 1 2 3 )  ， 3 8 P(ξ＝3)＝ 3 C 3 ( 1 2 3 )  ， ξ的概率分布如下表： Eξ ＝ ξ P 0 1 8 1 3 8 2 3 8 3 1 8

0 3 2 1 1 8 3 8 3 8 1 1         2 8 2( （II）乙至多击中目标 2 次的概率为 1－ 3 C 3 3 , （或 Eξ=3· 1.5 =1.5）； 3 ) = 19 27 ；（III）设甲恰比乙多击中目标 2 次为事件 A，甲恰击中目标 2 次且乙恰击中目标 0 次为事件 B1，甲恰击中目标 3 次且乙恰击中目标 1 次为事件 B2，则 A＝B1＋B2， B1，B2 为互斥事件． ( ) P A  ( P B 1 )  ( P B ) 2   3 1 8 27    1 2 8 9 1 24 所以，甲恰好比乙多击中目标 2 次的概率为 1 24 . （18）（共 14 分）解：（I）W1={(x, y)| kx0}，（II）直线 l1：kx－y＝0，直线 l2：kx＋y＝0，由题意得 | kx k | y  2 1  |  kx k | y  2 1   2 d , 即 2 | | 2 2 k x 2 k y  1   2 d ，由 P(x, y)∈W，知 k2x2－y2>0，所以 2 2 k x k 2 y  2 1   d 2 ，即 2 k x 2  2 y 2  ( k  1) d 2 0  , 所以动点 P 的轨迹 C 的方程为 2 k x 2  2 y 2  ( k  1) d 2  ； 0 （III）当直线 l 与 x 轴垂直时，可设直线 l 的方程为 x＝a（a≠0）．由于直线 l，曲线 C 关于 x 轴对称，且 l1 与 l2 关于 x 轴对称，于是 M1M2，M3M4 的中点坐标都为（a，0），所以△OM1M2， △OM3M4 的重心坐标都为（ 2 3 a，0），即它们的重心重合，当直线 l1 与 x 轴不垂直时，设直线 l 的方程为 y=mx+n（n≠0）． 2 2 k x  由    2 2 ( k 1) y d  y mx n    2  0 ，得 2 ) k m x  ( 2 2  2 mnx n  2  2 k d 2 2  d  0 由直线 l 与曲线 C 有两个不同交点，可知 k2－m2≠0 且 △= (2 mn ) 2  4( 2 k m  2 )  ( n 2  2 k d 2  d 2 ) >0 设 M1，M2 的坐标分别为(x1, y1)，(x2, y2)， x 则 1  x 2  2mn 2 k m  2 , y 1  ( y m x 2 1   x 2 ) 2 n  , 设 M3，M4 的坐标分别为(x3, y3)，(x4, y4)，

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