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2005年北京高考文科数学真题及答案.doc
2005 年北京高考文科数学真题及答案
本试卷分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分，第 I 卷 1 至 2 页，第 II 卷 3
至 9 页，共 150 分。考试时间 120 分钟。考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。
第 I 卷（选择题共 40 分）
注意事项：
1．答第 I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。
2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦
干净后，再选涂其他答案标号。不能答在试卷上。
一、本大题共 8 小题．每小题 5 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目
要求的一项.
（1）设集合 M={x| x>1，P={x| x2>1}，则下列关系中正确的是
（A）M＝P （B）PÜ M （C）MÜ P （ D） M P R
（2）为了得到函数
y
32
x
的图象，只需把函数 2x
1
y 上所有点
（A）向右平移 3 个单位长度，再向下平移 1 个单位长度
（B）向左平移 3 个单位长度，再向下平移 1 个单位长度
（C）向右平移 3 个单位长度，再向上平移 1 个单位长度
（D）向左平移 3 个单位长度，再向上平移 1 个单位长度
（3）“m=
1
2
”是“直线(m+2)x+3my+1=0 与直线(m－2)x+(m+2)y－3=0 相互垂直”的
（A）充分必要条件
（B）充分而不必要条件
（C）必要而不充分条件
（4）若|
a
b
c
| 2,
| 1,|
的夹角为
（D）既不充分也不必要条件
a b
与b
，则向量 a
，且 c
a
（A）30° （B）60°
（C）120° （D）150°
（5）从原点向圆 x2＋y2－12y＋27=0 作两条切线，则这两条切线的夹角的大小为
（A）
6
（B）
3
（C）
2
（D）
2
3
（6）对任意的锐角α，β，下列不等关系中正确的是
（A）sin(α+β)>sinα+sinβ
（B）sin(α+β)>cosα+cosβ
（C）cos(α+β)
（7）在正四面体 P－ABC 中，D，E，F 分别是 AB，BC，CA 的中点，下面四个结论中不成．．
立．的是
（A）BC//平面 PDF
（B）DF⊥平面 PA E
（C）平面 PDF⊥平面 ABC
（D）平面 PAE⊥平面 ABC
（8）五个工程队承建某项工程的五个不同的子项目，每个工程队承建 1 项，其中甲工程队
不能承建 1 号子项目，则不同的承建方案共有
（A） 1
4C C 种
4
4
（B） 1
4C A 种 （C） 4
4
4C 种 （D） 4
4A 种
4
二、填空题：本大题共 6 小题；每小题 5 分，共 30 分。把答案填在题中横线上。
（9）抛物线 y2=4x 的准线方程是
；焦点坐标是
．
（10）
(
x
的展开式中的常数项是
（用数字作答）
61
)
x
( )
f x
（11）函数
x
1
1
2
x
的定义域为
.
（12）在△ABC 中，AC= 3 ，∠A=45°，∠C=75°，则 BC 的长为
．
（13）对于函数 f(x)定义域中任意的 x1，x2（x1≠x2），有如下结论：
①f(x1 ＋ x2)=f(x1)·f(x2) ； ② f(x1·x2)=f(x1)+f(x2) ； ③
(
)
f x
1
x
1
(
f x
x
2
)
2
>0 ；
x
④ 1
(
f
)
)
x
2
(
f x
1
(
f x
2
2
当 f(x)=lgx 时，上述结论中正确结论的序号是
2
)
.
（14）已知 n 次多项式
( )
P x
n
n
a x
0
a x
1
n
1
a x a
n
1
.
,
n
如果在一种算法中，计算 0
kx （k＝2，3，4，…，n）的值需要 k－1 次乘法，计算 3
0(
P x
)
的值共需要 9 次运算（6 次乘法，3 次加法），那么计算 10
P x 的值共需要
0(
)
次
运算．
下面给出一种减少运算次数的算法： 0
( )
P x
a P
0
k
,
1
( )
x
( )
xP x
k
（k＝0，1，2，…，
a
k
1
n－1）．利用该算法，计算 3
P x 的值共需要 6 次运算，计算 10
0(
P x 的值共需要
0(
)
)
次
运算．
三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
（15）（本小题共 12 分）
已知 tan
（I） tan(
=2，求
2
的值； （II）
)
4
6sin
3sin
cos
2cos
的值．
（16）（本小题共 14 分）
如图, 在直三棱柱 ABC－A1B1C1 中，AC＝3，BC＝4，AA1
＝4，点 D 是 AB 的中点，
（I）求证：AC⊥BC1；
（II）求证：AC 1//平面 CDB1；
（III）求异面直线 AC1 与 B1C 所成角的余弦值．
（17）数列{an}的前 n 项和为 Sn，且 a1=1， 1
n
a
1
3
S
n
，n=1，2，3，……，求
（I）a2，a3，a4 的值及数列{an}的通项公式；
a
（II） 2
a
4
a
6
a
2 n
的值.
（18）（本小题共 13 分）
甲、乙两人各进行 3 次射击，甲每次击中目标的概率为
1
2
，乙每次击中目标的概率
2
3
，
（I）甲恰好击中目标的 2 次的概率；
（II）乙至少击中目标 2 次的概率；
（III）求乙恰好比甲多击中目标 2 次的概率．
（19）（本小题共 14 分）
已知函数 f(x)=－x3＋3x2＋9x＋a,
（I）求 f(x)的单调递减区间；
（II）若 f(x)在区间[－2，2]上的最大值为 20，求它在该区间上的最小值．
（20）（本小题共 14 分）
如图，直线 l1：y＝kx（k>0）与直线 l2：y＝－kx 之间的阴
影区域（不含边界）记为 W，其左半部分记为 W1，右半部分记为
W2．
（I）分别用不等式组表示 W1 和 W2；
（II）若区域 W 中的动点 P(x，y)到 l1，l2 的距离之积等于 d2，求点 P 的轨迹 C 的方程；
（III）设不过原点 O 的直线 l 与（II）中的曲线 C 相交于 M1，M2 两点，且与 l1，l2 分别
交于 M3，M4 两点．求证△OM1M2 的重心与△OM3M4 的重心重合．
参考答案
一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分）
（1） C （2）A （3）B （4）C （5）B （6）D （7）C （8）B
二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分）
（9）x=－1；(1, 0)
（10）－20
（11）[－1, 2)∪(2, +∞)
（12） 2
（13）②③
（14）65；20
三、解答题（本大题共 6 小题，共 80 分）
（15）（共 12 分）
解：（I）∵ tan
2
=2, ∴
tan
2 tan
1 tan
2
2
2
2 2
1 4
4
3
;
所以
tan(
)
4
=
tan
tan
tan
1
1 tan
4
4
1
7
；
1 tan tan
4 1
3
4
3
1
（II）由(I), tanα=－
4
3
, 所以
6sin
3sin
cos
2cos
=
6 tan
3tan
1
2
=
（16）（共 14 分）
（I）直三棱柱 ABC－A1B1C1，底面三边长 AC=3，BC=4AB=5，
∴ AC⊥BC，且 BC1 在平面 ABC 内的射影为 BC，∴ AC⊥BC1；
6(
3(
) 1
4
3
4
) 2
3
7
6
.
（II）设 CB1 与 C1B 的交点为 E，连结 DE，∵ D 是 AB 的中点，E 是 BC1 的中点，∴ DE//AC1，
∵ DE 平面 CDB1，AC1 平面 CDB1，∴ AC1//平面 CDB1；
（III）∵ DE//AC1，∴ ∠CED 为 AC1 与 B1C 所成的角，
1
2
AC 1=
5
2
， CD=
1
2
AB=
5
2
，
在 △ CED 中 ， ED=
CE=
1
2
CB1=2 2 ，
∴
cos
CED
8
2 2 2
5
2
2 2
5
，
∴ 异面直线 AC1与 B1C 所成角的余弦值
2 2
5
.
（17）（共 13 分）
解：（I）由 a1=1， 1
，n=1，2，3，……，得
1
3
S
n
1
3
S
1
3
1
3
a
1
1
3
a
， 3
n
a
1
3
S
1 4(
3 3
a
2
1
3
S
1
a
n
由 1
1
3
又 a2=
，所以 an=
2
n (n≥2),
)
a
n
(
S
n
)
1
n
a
n
（n≥2），得 1
n
a
n
（n≥2），
2
1
3
(
a
1
a
2
)
1
3
S
3
1
3
(
a
1
a
2
a
3
)
，
16
27
4
9
a
a
， 4
4
3
∴ 数列{an}的通项公式为
a
n
1
1 4(
3 3
)
n
1
n
2
n
≥
2
；
（II）由（I）可知 2
,
a a
,
4
a
2
a
4
a
6
a
2 n
=
1
3
（18）（共 13 分）
项数为 n 的等比数列，∴
1
3
，公比为 24(
)
3
1]
.
,
2
n
2
n
1 (
a 是首项为
4
)
3
4
1 (
3
3 4
[(
7 3
2
n
2
)
)
解：（I）甲恰好击中目标的 2 次的概率为 2
(
C
3
2
3
（II）乙至少击中目标 2 次的概率为 2
C
3
(
1
2
2
)
3
8
3
)
1
( )
3
3
C
3
(
2
3
3
)
；
20
27
（III）设乙恰好比甲多击中目标 2 次为事件 A，乙恰击中目标 2 次且甲恰击中目标 0 次
为事件 B1，乙恰击中目标 3 次且甲恰击中目标 1 次为事件 B2，则 A＝B1＋B2，B1，B2 为互斥事
件．
(
)
P A
(
P B
1
)
(
P B
)
2
C
2
3
(
2
)
3
2
1
3
C
0
3
(
1
)
2
所以，乙恰好比甲多击中目标 2 次的概率为
3
C
3
3
(
1
6
.
2
)
3
3
C
1
(
3
3
=
1
)
2
1
18
（19）（共 14 分）
.
1
9
1
6
解：（I） f ’(x)＝－3x2＋6x＋9．令 f ‘(x)<0，解得 x<－1 或 x>3，
所以函数 f(x)的单调递减区间为（－∞，－1），（3，＋∞）．
（II）因为 f(－2)＝8＋12－18＋a=2＋a，f(2)＝－8＋12＋18＋a＝22＋a，
所以 f(2)>f(－2)．因为在（－1，3）上 f ‘(x)>0，所以 f(x)在[－1, 2]上单调递
增，又由于 f(x)在[－2，－1]上单调递减，因此 f(2)和 f(－1)分别是 f(x)在区间[－2，2]
上的最大值和最小值，于是有 22＋a＝20，解得 a＝－2．
故 f(x)=－x3＋3x2＋9x－2，因此 f(－1)＝1＋3－9－2＝－7，
即函数 f(x)在区间[－2，2]上的最小值为－7．
（20）（共 14 分）
解：（I）W1={(x, y)| kx0}，
（II）直线 l1：kx－y＝0，直线 l2：kx＋y＝0，由题意得
|
kx
k
|
y
2
1
|
kx
k
|
y
2
1
2
d
, 即
2
|
|
2
2
k x
2
k
y
1
2
d
，
由 P(x, y)∈W，知 k2x2－y2>0，
所以
2
2
k x
k
2
y
2 1
d
2
，即 2
k x
2
2
y
2
(
k
1)
d
2
0
,
所以动点 P 的轨迹 C 的方程为 2
k x
2
2
y
2
(
k
1)
d
2
；
0
（III）当直线 l 与 x 轴垂直时，可设直线 l 的方程为 x＝a（a≠0）．由于直线 l，曲线 C
关于 x 轴对称，且 l1 与 l2 关于 x 轴对称，于是 M1M2，M3M4 的中点坐标都为（a，0），所以△OM1M2，
△OM3M4 的重心坐标都为（
2
3
a，0），即它们的重心重合，
当直线 l1 与 x 轴不垂直时，设直线 l 的方程为 y=mx+n（n≠0）．
2
2
k x
由
2
2
(
k
1)
y
d
y mx n
2
0
，得 2
)
k m x
(
2
2
2
mnx n
2
2
k d
2
2
d
0
由直线 l 与曲线 C 有两个不同交点，可知 k2－m2≠0 且
△=
(2
mn
)
2
4(
2
k m
2
)
(
n
2
2
k d
2
d
2
)
>0
设 M1，M2 的坐标分别为(x1, y1)，(x2, y2)，
x
则 1
x
2
2mn
2
k m
2
,
y
1
(
y m x
2
1
x
2
) 2
n
,
设 M3，M4 的坐标分别为(x3, y3)，(x4, y4)，
由
y
kx
y mx n
x
从而 3
x
4
及
2mn
2
k m
kx
y
y mx n
x
得 3
n
k m
,
x
4
n
k m
x
1
x
2
，
2
所以 y3+y4=m(x3+x4)+2n＝m(x1+x2)+2n＝y1+y2,
于是△OM1M2 的重心与△OM3M4 的重心也重合．
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