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数值逼近课后答案（第二版）- 蒋尔雄赵风光苏仰锋著 - 复旦大学出版社.pdf
1.用 3 位数字计算出方程：
第一章 绪论
的解 x，y，再用 6 位数字计算出 x 与 y，已知正确解为练习练习 x=1,y=-1,
计算结果说明什么？
解：用 3 位浮点计算：
，即
得：
，解得：
用 6 位浮点计算：
，即
得：
，解得：
此例说明，在计算过程中，选取有效数字位数越多，相对误差越小，计算结
果越精确。
10．
都是
中的数，试给出
的向前误差分析和向后误差分析。
解：（1）由定理 5，向前误差分析为
其中
，
。
（2）向后误差分析，仍由定理 5
其中：
。
11．将（2，4，-2，2）中的数全部列出来，且在实轴上表示出来，问总共有多
少？
解：(2,4,-2,2)系统中的所有正数为：
共有
个，再加上
中的 80 个负数以及 0，
故共有 161 个。
14．假设有一种算法，求 可得到 6 位有效数字，问为了使 有 4 位有效数
字， 应取几位有效数字？
解：因为
其中： 为 取近似值时的相对误差， 为求开方运算的相对误差，由题设
和定理 1 知
所以：
若
，即对 取 6 位有效数字时，
有 4 位有效数字（由定理 1）。
15．求
的误差分析。
解：
其中
。
16． 有误差 ，
，问
的传播误差是多少？
解：因为若
，则
，又由于：
当
当
当
时，
时，
时，
，则：
，
，
。
第二章 函数的插值
1．下列函数表（表 18）中的数字都是有效数字。
（1）通过 ctgx 的函数表，进行插值，求 ctg(0.0015)，并估计误差；
解：先作差分表：
取
：
又由：
所以误差为：
2．给定
的函数值如表 19 所示，用 3 种途径求 3 次插值多项式。
解：（1）用牛顿方法。先作差商表：
所以：
（2）用 Lagrange 方法
化简得：
（3）用内维尔方法
再由：
得：
3．给定
的函数值如表 20 所示，求
解：先作差商表：
即：
故：
4．求 ，利用
，取节点
作插值，并估计截断误差。
解：先作差商表：
所以，
。故：
其截断误差：
由于
，所以
5．证明：在两个节点：
上作线性插值，当
时，余项为
证：因为
其中：
6．若 是小量，则
三个函数值应怎样线性组合，才能得
到较好的
的近似值。
解：由于
所以：
即：
，
。
7．证明
。
证：设
，则
11．用拉格朗日途径导出如下
的
次埃尔米特插值
，满足：
解：先构造次数不高于
的多项式
满足下列 2n 个条件：
。
满足上述条件的
的多项式
可以写成：
其中 A 为待定系数，再由条件
得：
即：
再构造次数不高于
的多项式
满足下列 2n 个条件：
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