2009年云南昆明理工大学高等数学考研真题A卷.doc

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2009 年云南昆明理工大学高等数学考研真题 A 卷一、填空题(1~12 小题，每题 4 分,共 48 分) (1) 已知函数 y  a x  x a  x x ,则 y ______________________. (2) 函数 )( xf      2 x ax sin 2  ,1 x x , xb   0 0 在, (  ,  ) 连续、可导,则 a ______, b ______. (3) 定积分  0  sin x  3 sin dxx  ______________________. (4) d dx (  x 0 ( x  t ) ( xf  t ) dt )  ______________________. (5) 函数 1 x 2 1)(  4 x ) 1(  x 1)(  展开成麦克劳林级数 , 则该级数的 9x 的系数为 ______________. (6) 函数 y x ln x 的拐点坐标是______________________. (7) 改变积分次序 1 0  dx  4 x x ,( yxf ) dy  ______________________. (8) 已知两点 )0,2,0(),0,0,1( 连成一条直线 l , 求点 )0,0,0(A 到直线 l 的距离 d ______________. (9) 已知微分方程 y sin y y * 2  x e  1 2  1 10 cos ,2 yx * 3  x  e  ______________________. 2 x 1 2  1 10 cos ,2 x 的三个特解为 * y 1  x e  e  x  1 2  1 10 cos ,2 x 则该方程的通解为 (10) 幂级数  n 1  )1(  n 2( x n  1 2)1  n 的收敛域______________________.

(11) 已知 f 具有二阶连续偏导数 , z  ,( yxf , xy ) , 则 z  x   _________. z2  yx   _____________. (12) 已知曲面  为上半球面 2 x  2 y  2 z  2 a 与 xoy 平面上的圆面 x 2  2 y  2 a 所围, 方向为外侧,则   3 x dydz  3 zdxdy  z 3 dxdy =______________________. 二、解答题：13~21 小题，共 102 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （13）（本题满分 10 分）求极限 x 2( lim 0 x   2 x 4 1 x ) . （14）（本题满分 10 分） x 求积分  b 2  D 2  2 y dxdy ,其中 D ,{(: yx |) a 2  2 x  2 y  b 2 } . (15) （本题满分 10 分）求微分方程 dy dx  e  1 y y xe 的通解. (16) （本题满分 12 分）已知幂级数  )1(  2( nn 1  n n 1  )1  2 n x ,求其和函数，并求  n 1  )1(  2( nn n 1  )1  的和值. (17)（本题满分 13 分）在第一象限求曲线 y   上一点，使该点处的切线与所给曲线及两坐标轴所围面 1 2 x 4 积最小，并求此最小面积. (18) （本题满分 13 分）抛物面 z  2 x  2 y 被平面 x 距离. (19) （本题满分 12 分） 0 y z 截成一椭圆,求 )0,0,0( 到椭圆的最长与最短

求曲线积分  L (cos x  xy ) dx  ( 2 x 2  sin y ) dy , 其中 L 是曲线 y  sin  2 x 上由点 )0,0( 到点 )1,1( 的一段弧. (20) （本题满分 12 分）设 )(xf 在 ],[ ba 上连续,证明下面不等式：  b a 1(  f 2 ( x )) dx  b a ( 1  1 2 f )( x ) dx  ( ab  ) 2 （21）（本题满分 10 分）设 ( ) f x 在 0,1 上三阶连续可导，且 f (0) 0,  f (1)  1 2 , f ' ( 1 2  ，证明在 ) 0 0,1 内至少存在一点，使 |  f |)(  12 .

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