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2008年河北高考文科数学真题及答案.doc
2008 年河北高考文科数学真题及答案
本试卷分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分．第 I 卷 1 至 2 页，第 II
卷 3 至 9 页．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
第Ⅰ卷
注意事项：
1．答题前，考生在答题卡上务必用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考
证号、填写清楚 ，并贴好条形码．请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目．
2．每小题选出答案后，用 2Ｂ铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效
．．．．．．．．．．
3．本卷共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的．
参考公式：
如果事件 A B， 互斥，那么
(
P B
(
P A B
(
)
P A
)
)
如果事件 A B， 相互独立，那么
(
P A B
)
(
(
P A P B
)
)
球的表面积公式
S
2
4π
R
其中 R 表示球的半径
球的体积公式
如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 P ，那么
V
n 次独立重复试验中事件 A 恰好发生 k 次的概率
( )
P k
n
k
C P
k
n
(1
P
)
n k
(
k
0 1,2
n
， ， ，
)
一、选择题
1．函数
y
1
的定义域为
x
x
3
4 π
R
3
其中 R 表示球的半径
A．{ |
x x ≤
1}
B．{ |
x x ≥
0}
C．{ |
x x
x≥ 或 ≤
1
0}
D．{ | 0
x
x≤ ≤
1}
2．汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶
路程 s 看作时间t 的函数，其图像可能是
s
O
s
s
s
t
O
t
O
t
O
t
A．
B．
C．
D．
3．
5
x
1
2
的展开式中 2x 的系数为
A．10
B．5
C．
5
2
D．1
4．曲线
y
x
3 2
x
在点 (1 3)， 处的切线的倾斜角为
4
A．30°
B．45°
C．60°
5．在 ABC△
2 b+
3
A．
中， AB =c， AC =b．若点 D 满足
1 c
2 b-
3
3
5 c-
3
2 b
3
B．
C．
D．120°
DC
2
BD
1 c
3
，则 AD
1 b+
3
D．
=
2 c
3
6．
y
(sin
x
cos )
x
2
1
是
A．最小正周期为 2π 的偶函数
C．最小正周期为 π 的偶函数
a
7．已知等比数列{ }na 满足 1
a
2
B．最小正周期为 2π 的奇函数
D．最小正周期为 π 的奇函数
3
a
，
，则 7a
a
3
6
2
A．64
B．81
C．128
D．243
8．若函数
y
( )
f x
的图象与函数 ln
y
x
1
的图象关于直线 y
x 对称，则 ( )
f x
A．e2x-2
9．为得到函数
y
B．e2x
x
cos
C．e2x+1
D． e2x+2
π
3
的图象，只需将函数 y=sinx的图像
A．向左平移
B．向右平移
个长度单位
C．向左平移
D．向右平移
个长度单位
个长度单位
π
6
5π
6
1
与圆 x2+y2=1 有公共点，则
个长度单位
π
6
5π
6
10．若直线
x
a
y
b
A．a2+b2≤1
B．a2+b2≥1
C．
≤
1
D．
≥1
1
2
a
1
2
b
1
2
a
1
2
b
11．已知三棱柱 ABC-A1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面 ABC内的射影为 ABC△
中心，则 1AB 与底面 ABC所成角的正弦值等于
的
A．
1
3
B．
2
3
C．
3
3
D．
2
3
12．将 1，2，3 填入3 3 的方格中，要求每行、每列都没有重复数字，
下面是一种填法，则不同的填写方法共有
C．24 种
B．12 种
D．48 种
A．6 种
1
3
2
2
1
3
3
2
1
第Ⅱ卷
注意事项：
1．答题前，考生先在答题卡上用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填
写清楚，然后贴好条形码．请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目．
2．第Ⅱ卷共 7 页，请用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，
．．．．．．．．．．
在试题卷上作答无效
3．本卷共 10 小题，共 90 分．
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．把答案填在题中横线上．
（注意：在试题卷上作答无效
．．．．．．．．．）
y
x
x
y
0
y， 满足约束条件
≥
3
x
≤ ≤
13．若 x
0
，
则 2
0
≥
，
3
，
z
x
的最大值为
y
．
14．已知抛物线 y=ax2-1 的焦点是坐标原点，则以抛物线与两坐标轴的三个交点为顶点的三
角形面积为
．
15．在 ABC△
的离心率 e
中，
A
90
，
tan
．
B ．若以 A B， 为焦点的椭圆经过点C ，则该椭圆
3
4
16．已知菱形 ABCD 中，
AB ，
2
A
120
，沿对角线 BD 将 ABD△
折起，使二面角
A BD C
为120 ，则点 A 到 BCD△
所在平面的距离等于
．
三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分 10 分）
（注意：在试题卷上作答无效
设 ABC△
（Ⅰ）求边长 a；
（Ⅱ）若 ABC△
．．．．．．．．．）
的内角 A、B、C所对的边长分别为 a、b、c，且 a cosB=3，b sinA=4．
S ，求 ABC△
的面积 10
的周长l ．
18．（本小题满分 12 分）
（注意：在试题卷上作答无效
．．．．．．．．．）
四棱锥 A- BCDE中，底面 BCDE为矩形，侧面 ABC⊥底面 BCDE，BC=2，
CD ，AB AC
2
．
（Ⅰ）证明：AD⊥CE；
（Ⅱ）设侧面 ABC为等边三角形，求二面角 C - AD - E的大小．
A
B
E
C
D
19．（本小题满分 12 分）
（注意：在试题卷上作答无效
．．．．．．．．．）
在数列{an}中，a1=1, an+1=2an+2n.
（Ⅰ）设
b
n
a
n
12
n
．证明：数列 nb 是等差数列；
（Ⅱ）求数列 na 的前 n 项和 nS ．
20．（本小题满分 12 分）
（注意：在试题卷上作答无效
．．．．．．．．．）
已知 5 只动物中有 1 只患有某种疾病，需要通过化验血液来确定患病的动物．血液化验
结果呈阳性的即为患病动物，呈阴性的即没患病．下面是两种化验方案：
方案甲：逐个化验，直到能确定患病动物为止．
方案乙：先任取 3 只，将它们的血液混在一起化验．若结果呈阳性则表明患病动物为这
3 只中的 1 只，然后再逐个化验，直到能确定患病动物为止；若结果呈阴性则在另外 2 只中
任取 1 只化验．
求依方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数的概率．
21．（本小题满分 12 分）
（注意：在试题卷上作答无效
．．．．．．．．．）
已知函数
( )
f x
3
x
2
ax
， a R ．
1
x
（Ⅰ）讨论函数 ( )
f x 的单调区间；
（Ⅱ）设函数 ( )
f x 在区间
2
3
， 内是减函数，求 a 的取值范围．
1
3
22．（本小题满分 12 分）
（注意：在试题卷上作答无效
．．．．．．．．．）
l
双曲线的中心为原点O ，焦点在 x 轴上，两条渐近线分别为 1
l， ，经过右焦点 F 垂直于 1l
2
l
的直线分别交 1
2
l， 于 A B， 两点．已知 OA AB OB
、 、 成等差数列，且 BF
与 FA
同向．
（Ⅰ）求双曲线的离心率；
（Ⅱ）设 AB 被双曲线所截得的线段的长为 4，求双曲线的方程．
参考答案
题号
答案
题号
答案
1
D
9
C
17、解：
（I）依题设得
由正弦定理得
所以
即
依题设知
所以
（II）因为 S=
2
A
3
C
4
B
5
A
6
D
7
A
8
A
10
11
12
13
14
15
16
D
B
B
9
2
1
2
3
2
3
4
cos
a
B
sin
A
b
sin
A
sin
B
3
B
4
B
a
b
cos
sin
2
cos
B
2
sin
B
9
16
1(
cos
2
B
)
9
16
9
25
cos 2
B
a2cos2B=9
a2=25，得 a=5
1
2
,2
c
sin
bc
A
所以，由 S=10 得 c=5
应用余弦定理得
b=
2
a
2
c
2
ac
cos
B
52
故△ABC 的周长
l =a+b+c=2(5+ 5 )
18．解法一：
(I)作 AO⊥BC，垂足为 O，连接 OD，由题设知，AO⊥底面 BCDE，且 O 为 BC 中点，
由
OC
CD
CD
DE
1
2
知，Rt△OCD∽Rt△CDE，
从而∠ODC=∠CED，于是 CE⊥OD，
由三垂线定理知，AD⊥CE
（II）作 CG⊥AD，垂足为 G，连接 GE。
由（I）知，CE⊥AD，
又 CE∩CG=C，故 AD⊥平面 CGE，AD⊥GE，
所以∠CGE 是二面角 C-AD-E 的平面角。
DE
2
AD
GE=
AD
1(
2
DE
)
2
2
5
10
3
,
CE
,6
cos∠CGE=
CG
2
GE
2
CG
2
GE
2
CE
4
3
2
6
10
3
2
3
10
10
6
10
3
所以二面角 C-AD-E 为 arccos(
10
10
)
解法二：
（I）作 AO⊥BC，垂足为 O，由题设知 AO⊥底面 BCDE，且 O 为 BC 的中点，以 O 为坐标原点，
射线 OC 为 x 轴正向，建立如图所示的直角坐标系 O-xyz.
设 A（0,0,t），由已知条件有
C(1,0,0), D(1, 2 ,0), E(-1,
2 ,0),
CE
),0,2,2(
AD
,2,1(
t
)
所以
CE
AD
0
，得 AD⊥CE
（II）△ABC 为等边三角形，因此 A（0，0， 3 ）
作 CG⊥AD，垂足为 G，连接 GE，在 Rt△ACD 中，求得|AG|=
2
3
|AD|
故 G（
2
3
22,
3
3,
3
）
GC
1
3
22,
3
,
3
3
,
GE
5
3
2,
3
,
3
3
AD
,2,1(
又
)3
GC
AD
,0
GE
AD
0
所以
GC与 的夹角等于二面角 C-AD-E 的平面角。
GE
由 cos(
GC,
GE
)=
GC
|
GC
GE
|
GE
|
|
10
10
知二面角 C-AD-E 为 arccos(
10
10
)
（19）
解：
（I）由已知 an+1=2an+2n 得
bn+1=
a
1
n
n
2
2
a
n
n
2
n
2
n
1
a
n
2
1
b
n
1
又 b1=a1=1，因此{bn}是首项为 1，公差为 1 的等差数列
（II）由（I）知
a n
1
n
2
,
n
a
即
n
n
2
n
1
Sn=1+2×21+3×22+…+n×2n－1
两边乘以 2 得 2Sn=2+2×22+…+n×2n
两式相减得 Sn=－1－21－22－…－2n－1+n×2n
=－(2n－1)+n×2n
=(n－1)2n+1
（20）解：
记 A1、A2 分别表示依方案甲需化验 1 次、2 次，
B 表示依方案乙需化验 3 次，
A 表示依方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数。依题意知 A2 与 B 独立，
且
AA
1
BA
2
)A(P
1
1
1
C
5
1
5
，
P( A )=P(A1+A2·B)
A)A(P
A
2
1
4
2
5
1
5
，
(
BP
)
CC
CC
2
4
3
5
1
2
1
3
2
5
。
=
=P(A1)+P(A2·B)
=P(A1)+P(A2)·P(B)
1
5
7
25
1
5
2
5
=
所以 P(A)=1-P( A )=
18
25
=0.72
（21）解：
（I）f '(x)=3x2+2ax+1 判别式△=4(a2-3)
2
(i)若 a> 3 或 a<－ 3 ，则在(
a
,
a
3
3
)上 f '(x)>0，f(x)是增函数；
a
在（
a
在（
2
,
3
a
a
3
32
，a
3
2
3
a
3
）内 f '(x)<0, f (x)是减函数；
）上 f '(x)>0， f(x)是增函数
(ii)若
3
a
3
，则对所有 x R 都有 f '(x)>0，故此时 f(x)在 R 上是增函数
(iii)若 a=± 3 ，则 f '(
a )=0，且对所有的 x≠
3
a 都有 f '(x)>0，故当
3
a=± 3 时，f(x)在 R 上是增函数
（II）由（I）知，只有当 a> 3 或 a<
3 时，
2
3
a
,
2
3
a
3
）内是减函数
≤
2
3
f(x)在（
a
因此
a
a
3
32
a
3
32
a
且
a
3
≥
1
3
①
②
(a>0,b>0)，右焦点为 F(c,0)(c>0)，则 c2=a2+b2
当|a|> 3 时，由①、②解得 a≥2
因此 a 的取值范围是[2,+ )
22、解：
（Ⅰ）设双曲线方程为
2
2
x
a
2
2
y
b
1
不妨设 l1：bx-ay=0，l2：bx+ay=0
则
|FA|
cb|
|0a
2
2
b
a
b
，
|OA|
2
OF
AF
2
a
因 为
| AB 2+
|
| OA 2=
|
| OB 2 ， 且
|
| OB =2
|
| AB -
|
| OA ，
|
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