1. 算法是对解题方案的准确而完整的描述,是构造性的数值方法。 2. 计算误差 1）计算有效数字的方法。 将近似值规格化为 x  .0 aa 21  na m  10 ，如果误差值  5.0  10 lm ，则 l 就是这个近似 数的有效数字。 例如：数字 3.1415926…的近似数为 3.1415 的有效数字为 4 位。 2）若 a=1.1235，b=0.178，c=986.8 是经过四舍五入后得到的近似值， a + b + c 的误差是 0.00005+0.0005+0.05=0.05055， a × b 的误差是|0.00005×b|+|0.0005×a|=0.00057065 a÷b 的误差是（|0.00005×b-0.0005×a|）÷b2=0.01744887 3）误差计算的原则：避免让极大和极小两个数相加，避免两个相近的数相减，应选用数值 稳定的计算公式或计算过程，尽量简化计算过程，减少计算步骤和运算次数。 4）相对误差的概念和计算方法。 5）秦九韶算法 P11 习题 2,3,7,8 3. 插值方法 1）能写出拉格朗日插值多项式 p n  n   ( k  0 n 0 j  j k  x x k   x j x j ) y k ，并且会用它计算。 例题：x0= -3 y0=-1 x1=M y1=2 x2=3 x3=6 y2=-2 y3=10 的拉格朗日插值公式为： )(3 ( )( xMx   3( )63)(33)( M   )6 x   P3(x)=  )1( + ( )(3 x x  )(3 M M  )(3 x   )(3 M  ( )6  )6  2 + ( )(3 x 3)(33(   )6 )( xMx  )63)(    M  )2( + ( )(3 x 6)(36(   )3 )( xMx  )36)(    M  10 2）能写出拉格朗日插值余项公式 ( ) f x  ( ) P x n  f ( ( n n n 1) ( )    1)!  0 k ( x  x k ) ，并计算 例 如 ： 函 数 f(x)=x3-3x2 在 结 点 x0=1,x1=2,x2=3, 的 拉 格 朗 日 插 值 余 项 公 式 为 f(x)-P2(x)=(x-1)(x-2)(x-3) 能理解拉格朗日插值公式来源的基本思路。包括线性插值，抛物前插值的基本思路。 3）龙格现象的含义 P55 习题 11,12,13 4. 求方程根 1）掌握两分法的计算方法，两分法的误差估计公式 * x  x k  1 ( 2 1  k b a    ) 

2）迭代过程 1 x k (   x k ) ( k  1,2,...) 收敛的充要条件是 x )(' 1 能写出方程的收敛迭代格式 3）收敛速度 e 第 k 轮迭代的迭代误差为 ke ，如果 1k   ，C 为不等于 0 的常数，则迭代过程是 p 阶收敛 p e k c 的。p=1 时为线性收敛。 e '(   1 k e k * x ) e ''(   ， 1 k 2 e k x k ) ，所以当 当 x  ， ) 0 '( * x  时，平方收敛。 ''( 0 ) * x  时，线性收敛。 0 '( ) * 例题：设有解方程 x-cos x=0 的迭代法 xn+1=cos xn，x≥0 （1）证明对于任意的 x0 上述迭代格式均收敛。 （2）此迭代的收敛阶是多少？试证明你的结论。 证明：1）证明: 因迭代函数 x )( Cosx , )( x   Sinx ，而对一切 x,均有:  x )(  1 故迭代过程收敛。（2）因  )( x  sin x ,  ( x *)  sin x *  0 ，此迭代格式只具  x k 有线性收敛性。 4）加速迭代格式     5）牛顿迭代格式（牛顿切线法） ( x  1 k 1  L  x k x k x k ， L L L 1 1   1  1  ) '( x )k 对于方程 ( ) 0 f x  ，牛顿迭代格式为 1 K   x x k  ( f x k '( f x k ) ) ，牛顿迭代格式在单根 *x 附近具有 平方收敛性。收敛性和收敛速度的证明同 2)3). P130 例 1，P154 习题 17,18,19 5. 数值积分 1）梯形公式 T  b  a ( ) f x dx  b a  2 [ ( ) f a  ( )] f b ， 复化梯形公式 T n  b  a ( ) f x dx  h [ 2 ( ) 2 f a  n 1   k 1  ( f x k )  ( )] f b [ , ]a b 中划分了 n 个子段，h 为字段 [ 其误差与步长的平方成正比。 x x  的长度， k ] , 1 k h  b a  n 。 2）辛甫生公式 S  b  a ( ) f x dx  b a  6 [ ( ) 4 ( f a f  a b  2 )  ( )] f b 

复化辛甫生公式 S n  b  a ( ) f x dx  h 6 [ ( ) 4 f a  n 1   k  0 ) 2  ( f x k  1 2 n 1   k 1  ( f x k )  ( )] f b x x  的长度， k ] , 1 k h  b a  n x k ， 1  2 为子段 [ x x  的 k ] , 1 k [ , ]a b 中划分了 n 个子段，h 为子段 [ 中点。 其误差与步长的四次方成正比。 3）四阶牛顿-科特斯公式 C  b  a ( ) f x dx  b a  90 [7 ( f x ) 32 ( f x  ) 12 ( f x  ) 32 ( f x  ) 7 ( f x  )] 4 3 2 1 0 x 其中 0  , a x 4  ， 1 2 3 x x x 是内等分点。 b 复化科特斯公式 C n  b  a ( ) f x dx  h 90 [7 ( ) 32 f a  n 1   k  0 ) 12  ( f x k  1 4 n 1   k  0 ( f x k  1 2 ) 32  其中[ , ]a b 中划分了 n 个子段，h 为子段 [ x x  的长度， k ] , 1 k h  n 1   0  b a k  n ) 14  ( f x k  3 4 n 1   k  0 ( f x k ) 7 ( )]  f b ，子段 [ x x  被四等 k ] , 1 k x k x k x k 。 ， 1  2 分，内分点为 1  4 ， 3  4 其误差与步长的 6 次方成正比。 能根据复化公式推算出插值点的个数，然后算出节点间距 h 4）龙贝格公式 1 S T n 3 64 63 16 15 1 15 4 3 R n T 2 C C ， ，       S S 1 63 2 2 n n n n n n C n 例题：已给数据表： x f(x) x f(x) 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.00000 0.90909 0.83333 0.76923 0.71429 1.5 1.6 1.7 1.8 0.66667 0.62500 0.58824 0.55556 （1）用复化梯形法计算积分的近似值。 （2）用复化辛卜生法计算积分的近似值。 （3）用柯特斯法计算积分的近似值。 [f(a) + 2 )( xf 解：（1）Tn = b dx ( kxf 1 n a = h 2 k 1  ) + f(b)] = [1.00000 + 2×(0.90909 + 0.83333 + 0.76923 + 0.71429 + 0.66667 + 0.62500 1.0 2 +0.58824) + 0.55556] = 0.588363 

（2）Sn = b  a )( dxxf  afh [ 6 4)(  n 1   k  0 2)  ( xf k  1 2 n 1   k 1  ( xf k )  ( bf )] = [1.00000 + 4×0.90909 + 2×0.83333 + 4×0.76923 + 2×0.71429 2.0 6 + 4×0.66667 + 2×0.62500 + 4×0.58824 + 0.55556] = 0.5877906 （3）Cn = h 90 n [7f(a) + 32 1 k  0 ( xf 1 ) 4 k  1 n + 12 k  0 ( xf 1 ) 2 k  1 n + 32 k  0 ( xf 3 ) 4 k  1 n + 14 k 1  ( kxf ) + 7f(b)] = [7×1.00000 + 32×0.90909 + 12×0.83333 + 32×0.76923 + 14×0.71429 4.0 90 + 32×0.66667 + 12×0.62500 + 32×0.58824 + 7×0.55556] = 0.587788 5）如果有 n 个插值点，那么插值点间距 h 等于积分区间除以 n。 P95 习题 9 6. 常微分方程 1）欧拉迭代格式 y   1 n y n  , hf x y ( n ) n ， 例 如 ： y′=x2-y2,y(0)=1 ， h=0.2 的 欧 拉 迭 代 格 式 是 y  1 n y n  (2.0  x 2 n  y 2 n ) ， y 0 01, x  0 2）像欧拉法和改进的欧拉法这样的计算公式在计算 yi+1 时，只用到 yi ，而不直接依赖于 yi-1 ， yi-2 等，即在后一步的计算中，只用到前一步的计算结果，而不利用更前各步的结果， 具有这一特征的方法叫做一步法。 所谓多步法，即在计算 yi+1 时，不仅直接利用到 yi，而且还要用到 yi-1 ，yi-2 等。 y y  3） 改进的欧拉公式  , hf x y   h  2    y y 1  1  ( [ n n n n n n ) n ( , f x y )  n ( f x n 1  , y n 1  )] 4) 像隐式的欧拉格式 y n 1   y n  ( xhf , y ) 这样右端也含有未知的 1ny ，实际上是一 n 1  n 1  个关于 1ny 的函数方程，这类格式称为是隐式的。 Euler 公式是显式公式。改进的欧拉公式是显式公式。四阶龙格-库塔公式是显式公式。 5）知道龙格库塔法的思路，2 阶龙格库塔法的截断误差是 O（h3）。3 阶的是 O（h4）。4 阶龙 格库塔法的精度是 O（h5）。 

P124 习题 1,2 7. 解方程组 1）简单迭代法 2）高斯-塞德尔迭代法 例题： 5   4  x 1 x 1   3 8 x 2 x 2   17 21 1)    1)    3 5 4 8 k ) ( x 2  k ) ( x 1  17 5 21 8 k k ( x 1 ( x 2      17 5 21  8 的简单迭代格式为 高斯-塞德尔迭代格式为      k 1)  ( x 1   k 1)  ( x 2   3 5 4 8 k ) ( x 2  k 1)  ( x 1 例题： 5 2 11 x x   1  10 x x   2 1  2 3 x x   1  2 x x   1 4  2 x  3 8 x  3 2 x   3 2 x 4   3 x 4 3  6 x 4 的简单迭代为  0  8            k )1  ( x 1  )1  x ( k 2  k )1  x ( 3  )1  x ( k 4  x 2 11 1 10 2 ( x 1 8 1 6 ( x 1 k )  k )  ) ( k 2  x ) ( k 4  k ) ( x 1  x k ) ( 3 4 11 1 10 3 ( k x 2 8 2 6 x ( k 2 ) )   5 11 3 10 ) x ( k 4 k ) x ( 3  8 6  3 8 1 6 高斯-塞德尔迭代格式：            k )1  ( x 1  )1  x ( k 2  k )1  x ( 3  )1  x ( k 4  x 2 11 1 10 2 ( x 1 8 1 6 ( x 1 ) ( k 2  k )1  ( x 1 k )1  k )1    ( k 4 x 4 11 1  10 3 ( k x 2 8 2 6 x ( k 2 5 11  )  x k ) ( 3 )1   )1   3 10 3 8 1 6 x ) x ( k 4 k )1  ( 3  8 6 3）方程组的系数矩阵为主对角线占优阵，即满足 1 j  j i  由定理 5 可知上述两个迭代格式均收敛。 n  a ij , ia ii  3,2,1  , n 8. 编程题 9. 实验题里的程序