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实验 5 利用 MATLAB 设计状态观测器 5.1 实验设备同实验 1。 5.2 实验目的 1、学习观测器设计算法； 2、通过编程、上机调试，掌握基于观测器的输出反馈控制系统设计方法。 5.3 实验原理说明 5.3.1 全阶观测器设计考虑如下的线性时不变系统 + Bu x& y = = Ax Cx (5.1) ⎧ ⎨ ⎩ y 和分别是系统的维状态向量、 m 维控制输入向量和维测量输出向量， ux, 其中： CBA, 和是已知的适当维数常数矩阵。根据系统模型（5.1）和输入输出信息来人为地构造一个系统，使得其输出随着时间的推移逼近系统的真实状态 p n ，即 )(~ tx )(tx )(~[ x t lim t ∞→ − x ( t )] = 0 )(~ tx 通常称观测器。为 )(tx 的重构状态或状态估计值，而这个用以实现系统状态重构的系统为状态龙伯格观测器具有以下结构： u y + Bu x =& y = Ax Cx L = ~ ~& xAx + Bu x~ y~ C －图 5.1 状态估计的闭环处理方法 L 其中的矩阵是误差信号的加权矩阵。观测器模型是 ( − Bu ~ ~& xAx A + − = = ( )~ xCyL Ly + Bu + ~) xLC pn× 维的待定矩阵。 + x~ e 状态估计误差 n ~−= xx e & 其中：是观测器的维状态， L 是一个的动态方程： ~ xx −= & & Ax = + Ax = − A ( = − Bu − A ( − eLC ) 16 (5.2) ~) A xLC ( − − ~) xLC LCx − Bu − Ly (5.3)

A − LC 根据线性时不变系统的稳定性结论，若矩阵 A − LC 矩阵任意的初始误差的所有特征值均在左半开复平面中，即的所有特征值都具有负实部，则误差动态系统（5.3）是渐近稳定的，从而对，误差向量都将趋向于零。即无论系统的初始状，随着时间 ∞→t )0(e )0(x 是什么，状态估计模型（5.2）的初始状态态态估计模型（5.2）的状态 LC L 只要通过适当选取矩阵，使得矩阵型（5.2）就是系统（5.1）的一个状态观测器。可以任意选取，随着时间的推移，状 x~ 将趋于系统的实际状态，从而实现系统状态的重构。由此可见，的所有特征值都具有负实部，则状态估计模 A − )(te )0(~x 由极点配置和观测器设计问题的对偶关系，也可以应用 MATLAB 中极点配置的函数来确定所需要的观测器增益矩阵。例如，对于单输入单输出系统，观测器的增益矩阵可以由函数 L=(acker(A’,C’,V))’ 得到。其中的 V 是由期望的观测器极点所构成的向量。类似的，也可以用 L=(place(A’,C’,V))’ 来确定一般系统的观测器矩阵，但这里要求 V 不包含相同的极点。 5.3.2 降阶观测器设计假定系统（5.1）的矩阵C 具有形式 1[ 0 ]（对一般结构的矩阵，需要作适当的变换）。 C 根据矩阵C 的结构，将系统状态分划成两部分： ⎤ ⎥ ⎦ ax x b ⎡ ⎢ ⎣ = x x 其中的是一个标量。由 ax y = Cx = ⎡ ]01[ ⎢ ⎣ x x a b ⎤ =⎥ ⎦ x a ax 可知：恰好是系统的输出，它能被直接测量得到。是bx 1−n 维向量，是状态向量中不能 A B 直接测量的部分。将状态空间模型（5.1）中的矩阵和作相应的分块，则该状态空间模型可以写成 x & x & ⎡ ⎢ ⎣ a b ⎤ =⎥ ⎦ A aa A ba ⎡ ⎢ ⎣ A A ab bb x x ⎤ ⎥ ⎦ ⎡ ⎢ ⎣ a b ⎤ +⎥ ⎦ B B ⎡ ⎢ ⎣ a b ⎤ ⎥ ⎦ u （5.4） bx 其中的是要估计的状态，将已知信号和未知信号分离，可以得到 ) Α + + x ( uB b ba a b x & xA bb xAuB ab = = a b b x & a − xA aa a − 进而，将其和全阶观测器设计时的标准模型（5.2）相比较，可得以下对应项之间的关系：表 5.1 状态空间模型的对应关系全阶观测器降阶观测器 x~ A Bu y bx~ bbA A bax + a uB b x −& a xA aa a − uBa 17

C L （ 1×n 维矩阵） abA ×−n 1)1 L （ ( 维矩阵）根据上表给出的对应关系及全阶观测器的模型 ~) xLC − + Bu + yL (~& Ax = bx 可以得到估计不可直接测量状态的观测器 x ~) Ax b LA A ~ x & − = + bb ( b + LuB + ( ab （ 5.5） ax 然而，方程（5.5）还不是所要的降阶观测器。因为在方程（5.5）中，用到了的微分。 ax 由于就是测量输出信号，而测量信号往往含有噪声和误差，对这样的信号进行微分会放大噪声和误差，这在实际应用中是应该避免的。因此有必要消除式（5.5）中的。 ax& 通过将式（5.5）中的微分项放在一起可以克服上面讲到的困难，即得到： ba a a b a xA aa − uB a ) x & − x &% b − y L & = 定义则式（5.6）可以写成 (A − bb (B + b LA )(x % b ab LB )u − a − y L ) + [(A − bb LA )L A + ab − A y L ] aa ba （ 5.6） b x L y = − ~ L x y − = b LA A − ˆ ALA + ba LB B − bb a b w ~ w ˆ A = ab L A − aa ˆ F = ˆ B = ~ ˆ BwAw & ~ˆ + = y + ˆ uF （5.7）式（5.7）就是要设计的降阶观测器，不可直接测量的状态分量的估计量由下式给出： bx ~ x b = ~ Lw + y 由于记则 ~ x = x ~ x ⎡ ⎢ ⎣ a b ⎤ =⎥ ⎦ ⎡ ⎢ ⎣ y + ~ Lw y ⎤ =⎥ ⎦ ~0 ⎤ w +⎥ I ⎦ ⎡ ⎢ ⎣ 1 L ⎡ ⎢ ⎣ ⎤ ⎥ ⎦ y ˆ C = 0 I ⎡ ⎢ ⎣ ⎤ ⎥ ⎦ ， ˆ D = 1 L ⎡ ⎢ ⎣ ⎤ ⎥ ⎦ 上式用降阶观测器的状态和测量值给出了系统状态的估计值 x~ 。 w~ = ~ˆ ~ ˆ yDwCx y + x 基于状态估计值的反馈控制器是 = − = − − 因此，基于降阶观测器的输出反馈控制器是 Kx % K w (K u % b + K L) b y a ~ ⎧ LKKFBwKFAw& ⎪ ⎨ u ⎪⎩ ˆ( = − LKKwK −= ˆ − (~ − ˆ[~) (ˆ y ) + + + b a b b a b 18 )] y （5.8）

基于降阶观测器的输出反馈控制系统结构图如下： u B x ∫ y C A Fˆ ∫ Aˆ w~ Bˆ 降阶观测器 x~ -K Cˆ Dˆ 图 5.2 基于降阶观测器的反馈控制系统容易证明，误差向量 e = x b − ~ ~ wwx = − b Ae =& bb − ( 满足方程 e LA ) ( A （5.9）完全能观，则一定可以通过选取一个适当的矩阵 L ，使得误差动态系因此，若统（5.9）具有任意给定的极点，这样的矩阵 L 可以应用全阶观测器的设计方法来设计。矩阵也称为是系统的降阶观测器增益矩阵。 ab A , ab bb ) L 对于降阶观测器的设计，使用 MATLAB 软件中的函数 L=(acker(Abb’,Aab’,V))’ 或 L=(place(Abb’,Aab’,V))’ 可以得到观测器的增益矩阵。其中的 V 是由降阶观测器的期望极点所组成的向量。 5.4 实验步骤 L 1、基于观测器的输出反馈控制系统的设计，采用 MATLAB 的 m-文件编程； 2、在 MATLAB 界面下调试程序，并检查是否运行正确。例 5.1 给定线性定常系统 0 0 ⎡ ⎢ ⎢ 244.1 ⎢ ⎣ [ 001 x =& y = 1 0 3965 .0 ]x 0 ⎤ ⎥ 1 ⎥ 145.3 ⎥ ⎦ − x + 0 0 ⎡ ⎢ ⎢ 244.1 ⎢ ⎣ ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ u 试应用 MATLAB 软件，设计一个全维观测器，使得观测器极点是 j−−=μ −=μ 35 10 。， 5 1 3 j+−=μ 5 1 35 ，配置全阶观测器极点的M-文件为： a=[0 1 0;0 0 1;1.244 0.3965 -3.145]; 19

b=[0;0;1.244]; c=[1 0 0]; v=[-5+j*5*sqrt(3) -5-j*5*sqrt(3) -10]; l=(acker(a',c',v))' 执行以上程序可得： L 16.855 ⎡ ⎢ 147.3875 = ⎢ 544.3932 ⎢ ⎣ ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ % ) = = + 相应的全维观测器是： x + &% 1 0 − 0 0 A LC x Bu Ly ( ⎛ ⎡ ⎜ ⎢ ⎜ ⎢ ⎜ 1.244 0.3965 ⎢ ⎣ ⎝ 16.855 −⎡ ⎢ 147.3875 = − ⎢ 543.1492 0.3965 ⎢ − ⎣ 1 0 0 1 3.145 − ] [ − + x % 0 0 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ 0 1 3.145 16.855 ⎤ ⎡ ⎥ ⎢ 147.3875 1 0 0 ⎥ ⎢ 544.3932 ⎥ ⎢ ⎦ ⎣ 0 ⎤ ⎥ 0 ⎥ ⎥ ⎦ ⎡ ⎢ ⎢ 1.244 ⎢ ⎣ ⎞ ⎡ ⎟ ⎢ ⎟ ⎢ ⎟ 1.244 ⎢ ⎣ ⎠ 16.855 ⎤ ⎡ ⎥ ⎢ 147.3875 ⎥ ⎢ 544.3932 ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ x % + + u y − u + ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ 16.855 ⎡ ⎢ 147.3875 ⎢ 544.3932 ⎢ ⎣ ⎤ ⎥ ⎥ ⎥⎦ y 例 5.2 考虑例 5.1 给出的系统。假设输出 y 可准确量测。试应用 MATLAB 软件，设计一个降阶观测器，使得其极点是 35 。 0 0.3965 ⎡ = ⎢ ⎣ 1 3.145 − ⎤ ⎥ ⎦ , j−−=μ35 5 ，因此可得： 1 0 ， ⎤ ⎥ ⎦ ⎡ = ⎢ 1.244 ⎣ ⎡ bB = ⎢ 1.244 ⎣ 0 ， bbA ⎤ ⎥ ⎦ y 由于输出可准确量测，同时 ] aaA = abA = [ ]0 ， 1 5 y j+−=μ x= 1 baA [ 1 0 ， aB = 0 执行以下的M-文件： Aaa=[0]; Aab=[1 0]; Aba=[0;1.244]; Abb=[0 1;0.3965 -3.145]; Ba=[0]; Bb=[0;1.244]; v=[-5+j*5*sqrt(3) -5-j*5*sqrt(3)]; l=(acker(Abb',Aab',v))' Ahat=Abb-l*Aab Bhat=Ahat*l+Aba-l*Aaa Fhat=Bb-l*Ba 可得： 20

L ⎡ = ⎢ ⎣ 6.855 78.8375 6.855 −⎡ = ⎢ 78.441 − ⎣ 即所设计的降阶观测器为： ⎤ ⎥ ⎦ ˆ A ， ˆ w Aw By Fu &% = + + ˆ % ˆ = 5.5 实验要求 6.855 −⎡ ⎢ 78.441 − ⎣ 1 3.145 − ⎤ ⎥ ⎦ ， B ⎡ ˆ = ⎢ −⎣ 31.8465 784.4132 ⎤ ⎥ ⎦ ， 0 F ⎡ ˆ = ⎢ 1.244 ⎣ ⎤ ⎥ ⎦ 1 3.145 ⎤ ⎥ ⎦ − w % + 31.8465 784.4132 − ⎤ ⎥ ⎦ ⎡ ⎢ ⎣ y + 0 ⎡ ⎢ 1.244 ⎣ ⎤ ⎥ ⎦ u 在运行以上例程序的基础上，考虑图 5.3 所示的调节器系统，试针对被控对象设计基于全阶观测器和降阶观测器的输出反馈控制器。设极点配置部分希望的闭环极点是 j±−=λ 2,1 32 2 （a）对于全阶观测器，（b）对于降阶观测器，，希望的观测器极点是 8 −=μ 8−=μ 1 和。 8 −=μ 2 ；比较系统对下列指定初始条件的响应：（a）对于全阶观测器： ,1)0( （b ）对于降阶观测器： )0( x 1 ,0 = = x 2 ,1)0( = 进一步比较两个系统的带宽。 x 1 e 1 ,1)0( = e 2 )0( = 0 = ,0 e 1 ,1)0( = x 2 )0( 0r = y− − u 控制器 y 4 s s + ( 2) 图 5.3 调节器系统 21

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