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《随机过程》考研考博专业课总结.pdf
1 序言
1.1 简介
1.2 版权
2 公共基础知识
2.1 不定积分
2.2 定积分
2.3 Gama函数
2.4 级数
2.5 排列组合
2.6 三角函数
3 电容电感的压流关系
3.1 电容
3.2 电感
4 几个分布
5 简答题
5.1 随机变量、过程定义
5.2 随机过程统计特征
5.3 随机过程分类
5.3.1 二阶矩过程
5.3.2 独立过程
5.3.3 正交增量过程
5.3.4 独立增量过程（可加过程）
5.3.5 平稳过程
5.3.6 平稳增量过程
5.3.7 平稳独立增量过程
5.3.8 马尔科夫过程（马氏过程）
5.4 二阶矩过程均方微积分
5.4.1 均方收敛性
5.4.2 均方连续
5.4.3 均方可导
5.4.4 均方可积
5.4.4.1 定积分
5.4.4.2 不定积分
5.5 平稳过程均方遍历性（各态历经性）
5.6 平稳信号的PSD与功率
5.7 马尔科夫过程特性
5.7.1 马尔科夫性
5.7.2 离散参数马氏链定义
5.7.3 齐次马氏链
5.7.3.1 定义与分布
5.7.3.2 齐次马氏链状态特征量
6 证明题
6.1 正态过程
6.2 维纳过程
6.2.1 维纳过程定义
6.2.2 维纳过程判别
6.3 泊松过程
6.3.1 泊松过程定义
6.3.2 泊松过程的等价定义
6.3.3 泊松过程的几个概念
6.4 均方微积分
6.5 平稳信号通过LTI系统
6.6 马尔科夫过程
6.6.1 C-K方程
6.6.2 齐次马氏链状态分类
6.6.3 齐次马氏链状态周期
7 计算题
7.1 马氏链状态空间
7.2 C-K方程的矩阵形式
7.3 概率分布的矩阵形式
7.4 概率转移矩阵
7.4.1 理论基础
7.4.2 例题
7.5 齐马链遍历性与极限分布
7.6 齐马链遍历性定理
7.7 平稳信号通过LTI系统
7.7.1 结论总结
7.7.2 例题
7.8 参数随机的正余弦信号
7.8.1 类型1
7.8.2 类型2
7.8.3 种类3
7.8.4 种类4
7.9 时间相关、平均及遍历性定理
7.9.1 一般过程
7.9.2 各态历经充要充分条件
7.10 平稳过程均方微积分与充要条件
7.10.1 充要条件
7.10.2 例题
7.11 二阶矩过程均方微积分与充要充分条件
7.11.1 充要条件与定义
7.11.2 例题
随机过程总结
目次
1 序言 .................................................................................................................................. 1
1.1 简介 ........................................................................................................................ 1
1.2 版权 ........................................................................................................................ 1
2 公共基础知识 ................................................................................................................... 2
2.1 不定积分 ................................................................................................................ 2
2.2 定积分 .................................................................................................................... 3
2.3 Gama 函数 .............................................................................................................. 4
2.4 级数 ........................................................................................................................ 5
2.5 排列组合 ................................................................................................................ 5
2.6 三角函数 ................................................................................................................ 5
3 电容电感的压流关系 ......................................................................................................... 8
3.1 电容 ........................................................................................................................ 8
3.2 电感 ........................................................................................................................ 8
4 几个分布 ........................................................................................................................... 9
5 简答题 ............................................................................................................................ 11
5.1 随机变量、过程定义 ............................................................................................. 11
5.2 随机过程统计特征 ................................................................................................ 11
5.3 随机过程分类 ....................................................................................................... 12
5.3.1 二阶矩过程 ................................................................................................. 12
5.3.2 独立过程 .................................................................................................... 13
5.3.3 正交增量过程 ............................................................................................. 13
5.3.4 独立增量过程（可加过程） ........................................................................ 13
5.3.5 平稳过程 .................................................................................................... 13
5.3.6 平稳增量过程 ............................................................................................. 13
5.3.7 平稳独立增量过程 ...................................................................................... 14
5.3.8 马尔科夫过程（马氏过程） ........................................................................ 14
5.4 二阶矩过程均方微积分 ......................................................................................... 14
5.4.1 均方收敛性 ................................................................................................. 14
I
5.4.2 均方连续 .................................................................................................... 14
5.4.3 均方可导 .................................................................................................... 14
5.4.4 均方可积 .................................................................................................... 15
5.4.4.1 定积分 .......................................................................................................... 15
5.4.4.2 不定积分 ...................................................................................................... 15
5.5 平稳过程均方遍历性（各态历经性） .................................................................... 15
5.6 平稳信号的 PSD 与功率 ....................................................................................... 16
5.7 马尔科夫过程特性 ................................................................................................ 16
5.7.1 马尔科夫性 ................................................................................................. 16
5.7.2 离散参数马氏链定义 .................................................................................. 17
5.7.3 齐次马氏链 ................................................................................................. 17
5.7.3.1 定义与分布................................................................................................... 17
5.7.3.2 齐次马氏链状态特征量 ................................................................................. 18
6 证明题 ............................................................................................................................ 19
6.1 正态过程 .............................................................................................................. 19
6.2 维纳过程 .............................................................................................................. 20
6.2.1 维纳过程定义 ............................................................................................. 20
6.2.2 维纳过程判别 ............................................................................................. 20
6.3 泊松过程 .............................................................................................................. 21
6.3.1 泊松过程定义 ............................................................................................. 21
6.3.2 泊松过程的等价定义 .................................................................................. 21
6.3.3 泊松过程的几个概念 .................................................................................. 23
6.4 均方微积分 ........................................................................................................... 26
6.5 平稳信号通过 LTI 系统 ......................................................................................... 29
6.6 马尔科夫过程 ....................................................................................................... 30
6.6.1 C-K 方程 ..................................................................................................... 30
6.6.2 齐次马氏链状态分类 .................................................................................. 31
6.6.3 齐次马氏链状态周期 .................................................................................. 32
7 计算题 ............................................................................................................................ 35
7.1 马氏链状态空间 .................................................................................................... 35
II
7.2 C-K 方程的矩阵形式 ............................................................................................. 38
7.3 概率分布的矩阵形式 ............................................................................................. 39
7.4 概率转移矩阵 ....................................................................................................... 39
7.4.1 理论基础 .................................................................................................... 39
7.4.2 例题 ........................................................................................................... 41
7.5 齐马链遍历性与极限分布 ..................................................................................... 42
7.6 齐马链遍历性定理 ................................................................................................ 43
7.7 平稳信号通过 LTI 系统 ......................................................................................... 45
7.7.1 结论总结 .................................................................................................... 45
7.7.2 例题 ........................................................................................................... 45
7.8 参数随机的正余弦信号 ......................................................................................... 46
7.8.1 类型 1 ......................................................................................................... 47
7.8.2 类型 2 ......................................................................................................... 47
7.8.3 种类 3 ......................................................................................................... 47
7.8.4 种类 4 ......................................................................................................... 47
7.9 时间相关、平均及遍历性定理 .............................................................................. 48
7.9.1 一般过程 .................................................................................................... 48
7.9.2 各态历经充要充分条件 ............................................................................... 48
7.10 平稳过程均方微积分与充要条件 ......................................................................... 50
7.10.1 充要条件 .................................................................................................. 50
7.10.2 例题 ......................................................................................................... 50
7.11 二阶矩过程均方微积分与充要充分条件 .............................................................. 57
7.11.1 充要条件与定义 ........................................................................................ 57
7.11.2 例题 .......................................................................................................... 59
III
随机过程总结
1 序言
1.1 简介
本文档是根据电子科技大学（成都）2016 年博士生入学考试《随机过程》大纲所总结的
知识点。针对每个知识点，都以若干道题目作出解释。本文档不仅给欲求学成电的同学一个
参考，也可作为考取其他目标院校同学的一份参考资料。此外，本文档也是所有教学《随机
过程》这门课的老师和学生的参考资料。
本文档没有非常正式的格式和排版，内容上也难免出现纰漏甚至不当，欢迎广大师生和专
家给作者指出，谢谢！
1.2 版权
严格来讲，这个世界上任何作品都没有版权，所谓的版权也只在一个有限的空间和时间
内，表面上属于某个人或某个团体。所以本文档也没有永久的版权。
作者在上传该作品后，会给下载者设置一定的障碍，如果您觉得本文档对您的帮助很大，
想进一步给予作者酬劳，或有其他任何疑问和需要，请致信作者。
联系方式：doudouamtf@qq.com
作者：怪味豆
2018 年 10 月于四川成都
1
2 公共基础知识
这一部分内容可直接背诵，因为当时作者在同时复习《信号与系统》和《随机过程》这 2
门课，发现这部分内容 2 门课均会常常涉及到，直接背诵能省很多事，所以命名为：“公共基
础知识”。
2.1 不定积分
, n
∀ ≥ ∈
0
( )
f x
=
( )
x
=
′
f
n
( )
h x
( )
g x
( )
( )
′
h x g x
−
( )
g x
′
( )
( )
nh x g x
1
+
n
{
e
e
( )
g x
ax
( )
f x
( )
g x
=
e
ax
e
⋅
′
f
f
⋅
( )
x
′
( )
x
+
( )
′
g x f x
( )
+
( )
af x
,
∀ ∈
a
}
′
( )
f x
′
=
(
(
sin
cos
∫
∫
∫
∫
(
(
x
x
cos
sin
2
2
)
x dx
)
x dx
=
=
1
2
1
2
x
+
x
−
1
4
1
4
sin 2
x
sin 2
x
x
+
=
=
cos
sin
x
sin
x
cos
x
x
−
x
)
x dx
)
x dx
1
a
1
a
x
x
ax
e
x
)
dx
=
e
ax
ax
x
2
e
)
dx
=
e
ax
(
(
∫
∫
−
1
2
a
2
−
,
2
2
a
∀ ≠ ∈
a
0
x
+
2
3
a
,
∀ ≠ ∈
a
0
e sin
ax
(
bx dx
)
=
e cos
ax
(
bx dx
)
=
∫
∫
b
+
b
+
2
a
2
a
ax
e
2
b
ax
e
2
b
a
b
a
b
sin
(
bx
)
−
cos
(
bx
cos
(
bx
)
+
sin
(
bx
b
≠ ∈
0
,
a
∈
)
b
≠ ∈
0
,
a
∈
)
) (
) (
∫
1
x
dx
=
2
x
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
2
2.2 定积分
1
1
π θ θ=
(
sin
d
)
∫
0
2
(8)
sinθ
2
2
2
2
1
−
2
2
0
π
4
1
−
2
2
3
π
4
π
2
π
θ
图 1
(
2
sin
)
θ θ=
d
π
2
π
∫
0
2
sin θ
π
8
−
1
4
π
4
0
π
8
+
1
4
π
8
+
1
4
π
2
图 2
−
1
4
π
8
3
π
4
π
θ
(9)
3
2.3 Gama 函数
+∞ −
e
0
ax
dx
=
+∞
−
ax
e
x
dx
1
a
=
1
2
a
∫
∫
0
(
a
>
0
)
t
α
−
dt
+∞
⋅
t
β
e
∫
0
(
α β
0,
>
∈
!
β
=
1
β
+
α
)
+
+∞ −
e
−∞
2
t
dt
=
π
2
−
t
t
2
e
dt
=
∫
∫
+∞
−∞
π
2
+∞
−∞
∫
sin t dt
t
=
π
+∞
−∞
∫
k
π
Sa
(
kt dt
)
=
+∞
−∞
∫
)
k
π
(
sin
kt
kt
dt
=
1
(
k
>
0
)
k
lim Sa
π→∞
k
(
kt
)
=
( )
tδ
)
(
α
=
Γ
(
1
α
≥ ∈
1
2
3
2
Γ
Γ
t
⋅
t
1
dtα
−
=
(
α
−
)
1 !
+∞ −
∫
e
0
)
dt
=
π
1
t
=
+∞ −
e
0
∫
t
=
+∞ −
e
0
∫
t
⋅
⋅
tdt
=
π
2
n
+
1
2
≥ ∈
0
+∞ −
e
0
∫
t
⋅
t
n
1/2
−
dt
=
(
)
2 !
n
π
4
!
n
n
⋅
=
)
n
Γ
(
(10)
(11)
(12)
(13)
(14)
(15)
(16)
(17)
(18)
4
2.4 级数
k
+∞
+∞
=
=
e
λ
∑
k
λ
!
k
∑
0
k
≥
(
∈ −∞ +∞
λ
∑
0
=
k
λ
!
k
k
λ
!
k
,
0
+∞
=
偶数
奇数
≥
k
λ
−
e
)
λ
+
1 e
(
2
1 e -e
(
2
)
λ λ
−
)
1
−
α
α
)
−
α
2
α
−
(
1
(
1
3
)
α
2
+∞
∑
0
n
=
+∞
∑
n
=
0
n
α
=
1
n
n
α
=
=
+∞
∑
0
n
=
α
n
2
n
α
<
1
2.5 排列组合
C
m
n
=
!
n
−
m n m
(
!
)
!
2.6 三角函数
常用三角函数表
Fun
Rad
sin
cos
tan
0
0
1
0
π
6
1
2
3
2
3
3
π
4
2
2
2
2
1
π
3
3
2
1
2
3
π
2
1
0
2
π
3
3
2
1
−
2
π
0
1−
3−
0
3
π
2
1−
0
(19)
(20)
(21)
5
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