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基于扩展的息票剥离法的国债收益率曲线的估计.pdf
Estimation on government bond yield curve with generalized b
基于扩展的息票剥离法的国债收益率曲线的估计
李彪 杨宝臣
1
天津大学管理学院，天津 300072
摘要：本文在一般息票剥离法（bootstrap method）的基础上进行了尝试性扩展：采用三次样
条插值方法，以便可以对任意可得到的国债报价数据进行即期收益率曲线估计。同时利用数
学软件 Maple 对插值方程和收益率曲线节点的非线性联立方程进行了求解。最后，利用该
方法以 2004 年 1 月 9 日上海证券交易所的 18 个国债报价数据（全价）为样本，估计出了我
国的国债收益率曲线，然后又根据估计出的国债收益率曲线对 010311 国债进行了定价，并
和当日实际报价进行了比较分析。
关键词：息票剥离法；收益率曲线；样条插值；
前 言
国债收益率曲线研究是资产定价、金融产品创新、资产保值和固定收益资产风险管理、
套利以及投资等的基础，对国债收益率的研究是当今国际金融研究领域的一个热点问题。
我国目前公布的利率水平属于政府的官定利率，和市场利率存在着很大差异。市场利率反映
了市场上资金的供求状况和资金的真实价格，这种资金的价格可以从市场上交易的债券，特
别是无违约风险的国债的价格中估计出来。因此，可以根据证券市场上的国债交易价格来估
计和分析收益率曲线。收益率曲线（yield curve），是指在某个时间点上不同期限的零息票债
券的到期收益率所组成的一条利率曲线。在存在零息票债券的市场上，可以通过直接求出零
息票债券的到期收益率来估计，但由于我国债券市场建立时间较短，国债品种较少，期限结
构不合理，上海证券交易所的现有国债几乎都是息票债券，因此，就不能直接求到期收益率
来估计收益率曲线。不过，如果我们拥有足够多的无违约风险的国债交易数据，就可以利用
息票剥离法来推导出收益率曲线，但传统的息票剥离法只能解决债券之间期限间隔是完美匹
配的，如 6 个月期限债券，12 个月期限债券，18 个月期限债券等等。为了解决这个问题，
在本文中传统的息票剥离法进行了扩展研究。本文的研究主要分为四个部分：第一部分是对
国债收益率曲线估计的有关文献综述；第二步部分则是在介绍传统息票剥离法的基础上着重
对其进行了扩展研究；第三部分则是利用扩展的息票剥离法以上海证券交易所的国债交易价
格为考察对象进行了实证分析；第四部分为有关结论和未来的研究展望。
1 李彪，男，24 岁，硕士生，天津大学管理学院, Email: libiao2002403@163.com。
杨宝臣，男，37 岁，博士后，天津大学管理学院教授，Email: bchyang@sina.com。
一、文献综述
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利率期限结构研究是目前固定收益以及金融工程领域的一个十分重要的基础性研究工
作。而利率期限结构的几何表现形式即为收益率曲线，目前，国外对收益率曲线的研究已相
当深入，主要分为两大类模型：均衡模型和经验模型。前者是由 Vasicek（1997），Dothan
（1978），Brennan 和 Schwartz（1979），Cox et al（1985）等先对某些变量进行假设，如假
设短期无风险利率服从一个随机过程，然后再利用套利定价技术得到整个利率期限结构。因
此，这种方法得到的利率期限结构只能是有效市场无套利条件下的理论探讨，很难用来拟合
实际观察到的债券价格和收益率数据。与均衡模型相对应，由 McCulloch（1971），Carleton
和 Cooper（1976），Schaefer（1982），Vasicek 和 Fong（1982），Nelson 和 Siegel（1987）提
出的经验模型，则对观测到的国债息票价格采用曲线拟合方法来估计即期收益率曲线。经验
模型可以刻画出许多现实中的利率曲线形状，用以利率或由要求权的定价，而且其目的就是
得到一个能够较好拟合观测数据的、平滑连续的利率期限结构函数。
与之相比，国内在这个领域的研究则相对落后，还处在从政策面的定性分析向定量分析
的过渡阶段。杨大楷、杨勇（1997），姚长辉、梁越军（1998）仅仅是利用几个时点上国债
收益率数据与到期期限直接连线得到了收益率曲线，估计方法相对粗糙。郑振龙、林海（2003）
分别利用息票剥离法和样条估计方法对我国的利率期限结构进行了静态估计分析，尽管效果
不错，但却没有将这两种方法进行有效结合。本文则是在传统的息票剥离法的基础上进行扩
展，利用样条估计方法根据国债报价构造出了我国的国债收益率曲线。
二、息票剥离法及其扩展
所谓息票剥离法，就是将息票从债券中进行剥离并在此基础上估计无息票债券利率水平
的一种方法，例如，一个三年期半年附息一次的息票债券可以认为是六个纯贴现债券。这就
意味着一个债券的价值可以看作是以到期收益率折现的未来现金流的现值，也可以认为是各
个纯贴现债券的折现价值之和。应用息票剥离法通常会遇到两个问题：债券非流通性和缺失
数据点。前者很容易导致所估计出的收益率曲线是不合理的波浪形状，解决办法是可采用平
均收益率数据来代替原始收益率数据，如可以利用三年期债券临近区间内的所有债券的平均
收益率作为三年期债券的理论收益率。至于缺失数据点问题，可对插值点施加某些限制条件
加以解决。传统的息票剥离法通常是求解非线性联立方程得到不同期限的收益率数据，比如
假定有四种债券，其有关数据如下表：
表 1
债券种类
到期期限（年）
年利息支付（元） 债券价格（元）
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1
2
3
4
0.5
1
1.5
2
0
4
8
12
92
94
96.8
101
以 表 示 到 期 期 限 为 的 债 券 的 收 益 率 ， 则 通 过 求 解 下 面 的 非 线 性 联 立 方 程
tr
t
−
r
5.0
×
5.0
×
5.0
r
5.0
×
+
5.0
e
100
92
⎧
=
⎪
r
e
2
94
−
=
⎪
5.0
⎨
e
4
8.96
=
⎪
⎪
e
6
101
−
=
⎩
−
−
r
5.0
0.1
×
r
5.0
0.1
×
e
102
e
4
−
+
e
6
−
+
r
5.0
×
5.0
r
5.0
0.1
×
r
5.0
104
+
r
e
6
−
+
5.0
−
e
5.1
×
5.1
×
+
106
e
−
r
5.0
×
0.2
即可得到各个期限的债券收益率。这种方法即是传统意义上的息票剥离法，有四个方程，
存在四个未知收益率，可以求解。但若是加入一个 2.75 年期限债券，且每季度支付一次利
息，则传统的息票剥离法就不再适用了。为此，本文对其进行扩展，则可以很容易的解决这
个问题。
假如我们有 K 个债券的报价数据，第i 个债券 可以以向量形式表示为： ＝
iB
iB
[
ptcn
i
,
,
,
i
i
]
i
,
i
,1 L=
,
K
in
，其中， 是该债券的息票支付次数， 是该债券的每次息票支
ic
t
付额，
i
t
[
L=
1,
,
i
,
t
ini
,
]
为该债券的息票支付时间向量，且假定
t
,1
n
1
<
t
,2
n
2
<
L
<
t
KnK
,
。
ip
是该债券的报价（净价）， 为该债券自上次附息日至当期日的应计利息， 为该债券的
iA
iP
面值， 表示期限 的债券的即期收益率，则有：
jr
jt
p
i
+
A
i
=
in
∑
j
1
=
c
i
exp(
r
⋅−
j
t
ji
,
)
+
P
i
exp(
−
r
ni
⋅
t
i
,
ni
),
i
=
,1
L （1）
K
,
如果未知量 个数等于
jr
K ，则由传统的息票剥离法即可求解。但是，若未知量 个数
jr
大于
K ，则必须引入附加方程来求解该非线性方程组。对每一个债券i ，定义一个集合
T
i
t
[
L=
1,
,
i
,
t
ini
,
]
，因此并集
T
=
K
i
1
=
T
i
=
t
,{
1
t
2
,
,
t
N
}
L
U
表示所有债券的息票和本金支付
时间点的集合，
T 的基数
T = 表示不同时间点的所有债券息票和本金支付的次数，以
N
t =
1
t
min{
t
,1, L,
2
,
Kt
1,
1,1
表示}
T 中最小的元素，
t
t
,=
Knk
N
表示T 中最大的元素，则债券 的
i
支付时间向量中的任何元素 都包含在集合
jit ,
T
=
t
,{
1
t
2
,
,
Nt
}
L
中。同时以集合
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=Β
t
{
,1
n
1
,
t
,2
n
2
,
L
,
t
KnK
,
}
表示 K 个债券的到期期限的集合，且其基数
KB = ，以集合
R
b
=
rr
,{
1
2
,
,
r
K
L
表示}
K 个债券的到期期限的收益率值，以集合
R
=
rr
,{
1
2
,
B
,
r
N
}
表
L
示 K 个债券的所有期限时间点的收益率值。对每一个到期期限时间点，都有一个如（1）中
的非线性方程。对于余下的
KNL
−
=
个期限时间点可以通过采用三次样条插值引入
KNL
−
=
个附加方程，从而可求解含 个未知量的 个非线性方程和插值方程的方程组
N
N
以得到相应的收益率值。
所谓样条（Spline）是用来描绘光滑曲线的均匀有弹性的细木条，用压铁将样条固定并
使它通过各型值点后，沿木条可以画出光滑的样条曲线。样条曲线是光滑且有连续曲率的分
段三次函数，也称为三次样条函数。由于三次样条插值具有一致收敛、充分光滑和插值条件
简单的特点，故本文采用三次样条函数来拟合收益率曲线，如下：
tCS
)(
=
TRA
1
TRA
2
⎧
⎪
⎪
⎪
⎨
M
⎪
M
⎪
RA
⎪
K
⎩
,
,
t
t
≤
t
,2
n
2
n
,2
2
≤≤
t
t
,3
n
3
（2）
T
1
−
,
t
K
,1
−
n
K
1
−
≤≤
t
t
nK
,
K
其中，
)(tCS
函数可给出任意时间t 的三次样条函数插值，
R
=
[
rr
21
Kr
L
]
表示 K 个
债券到期期限的收益率值。
A
i
=
a
a
⎡
⎢
⎢
⎢
M
⎢
⎢
M
⎢
a
⎢
⎣
i
1,1
i
1,2
ik
1,
a
i
2,1
a
2,2
i
a
i
3,1
a
i
3,2
M
M
a
ik
2,
M
M
a
ik
3,
a
a
M
M
a
i
4,1
i
4,2
ik
4,
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
,
i
=
,2,1
L
,
K
−
1
；
T
=
1
⎡
⎢
t
⎢
⎢
t
⎢
t
⎢
⎣
2
3
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
注意到利用三次样条函数插值可以将收益率曲线上的任一点表示成 K 个债券到期期限
收益率值的线性组合。故将（1）和（2）式联合求解，则既可解决传统的息票剥离法的缺陷，
又同时拟合出了债券的收益率曲线。
三、实证分析
本文选取 2004 年 1 月 9 日上海证券交易所国债当日收盘价对我国的国债收益率曲线进
行估计分析。由于自 2002 年 3 月 25 日起，国债报价是以扣除掉累积利息的净价法表示的，
但仍以成交价格和应计利息之和作为结算价格，因此首先要加上债券的应计利息，得出真实
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的国债价格，然后再利用本文的扩展息票剥离法估计收益率曲线。2004 年 1 月 9 日上海证
券交易所的国债报价如表 2 所示。
表 2 2004 年 1 月 9 日上海证券交易所的国债报价
国债代码
到期日
到期时间 债券本金 年息票率 债券市价 付息次数
000696
009704
009908
010004
010010
010103
010110
010112
010115
010203
010210
010213
010214
010215
010301
010303
010307
010308
2006-06-14
2007-09-05
2009-09-23
2010-05-23
2007-11-14
2008-04-24
2011-09-25
2011-10-30
2008-12-18
2012-04-18
2009-08-16
2.43
3.66
5.71
6.37
3.85
4.38
7.71
7.81
4.94
8.28
5.60
2017-09-20
13.70
2007-10-24
2009-12-06
2010-02-19
3.79
5.91
6.11
2023-04-17
19.27
2010-08-20
2013-09-17
6.61
9.69
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
11.83%
129.787
9.78%
128.079
3.3%
2.6%
2.36%
3.27%
2.95%
3.05%
3%
2.54%
2.39%
2.6%
2.65%
2.93%
2.66%
3.4%
2.66%
3.02%
100.662
103.532
100.561
103.816
96.362
96.583
99.783
94.152
95.469
93.407
100.373
98.129
97.864
92.934
96.247
94.440
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
1
1
1
2
1
1
资料来源：上海证券交易所http://www.sse.com.cn
根据扩展的息票剥离法，18 个债券的到期期限的集合 Β ＝{ 2.43, 3.66, 3.79, 3.85, 4.38,
4.94, 5.60, 5.71, 5.91, 6.11, 6.37, 6.61, 7.71, 7.81, 8.28, 9.69, 13.7, 19.27 }，其基数
18=Β
；18
个债券息票和本金支付不同时间点的集合 =T { 0.11，0.2，0.27，0.28，0.37，0.38，0.43，
0.6，0.61，0.66，0.69，0.7，0.71，0.77，0.79，0.81，0.85，0.91，0.94，1.11，1.2，1.27，
1.28，1.37，1.38，1.43，1.6，1.61，1.66，1.69，1.7，1.71，1.77，1.79，1.81，1.85，1.91，
1.94，2.11，2.2，2.27，2.28，2.37，2.38，2.43，2.6，2.61，2.66，2.69，2.7，2.71，2.77，
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2.79，2.81，2.85，2.91，2.94，3.11，3.2，3.27，3.28，3.37，3.38，3.6，3.61，3.66，3.69，
3.7，3.71，3.77，3.79，3.81，3.85，3.91，3.94，4.11，4.2，4.27，4.28，4.37，4.38，4.6，
4.61，4.69，4.7，4.71，4.77，4.81，4.91，4.94，5.11，5.2，5.27，5.28，5.37，5.6，5.61，
5.69，5.7，5.71，5.77，5.81，5.91，6.11，6.2，6.27，6.28，6.37，6.61，6.69，6.7，6.71，
6.77，6.81，7.2，7.27，7.28，7.69，7.7，7.71，7.77，7.81，8.2，8.27，8.28，8.69，8.7，
8.77，9.2，9.27，9.69，9.7，9.77，10.2，10.27，10.7，10.77，11.2，11.27，11.7，11.77，
12.2，12.27，12.7，12.77，13.2，13.27，13.7，13.77，14.27，14.77，15.27，15.77，16.27，
16.77，17.27，17.77，18.27，18.77，19.27 }，其基数 =T
160。为解决上文提到的债券的非
流通性问题和减少运算量，采用如下数据处理：在息票和本金支付不同时间点T 的集合中，
时间间隔在 0.1 年之内的用一个时间点来代替，但保留债券到期期限时间点，而且从小到大
进行处理；在求解方程组时，被替换掉的息票支付期限时间点用与其距离最近的时间点逆替
换代入非线性方程组进行计算。因此，处理后的集合 =′T
{ 0.11，0.27，0.37，0.6，0.7，0.81，
0.91，1.11，1.27，1.37，1.6，1.7，1.81，1.91，2.11，2.27，2.37，2.43，2.6，2.7，2.81，
2.91，3.11，3.27，3.37，3.6，3.66，3.77，3.79，3.85，4.11，4.27，4.37，4.38，4.6，4.7，
4.81，4.91，4.94，5.11，5.27，5.37，5.6，5.7，5.71，5.81，5.91，6.11，6.27，6.37，6.61，
6.71，6.81，7.2，7.69，7.71，7.81，8.2，8.28，8.69，9.2，9.69，10.2，10.7，11.2，11.7，
12.2，12.7，13.2，13.7，14.27，14.77，15.27，15.77，16.27，16.77，17.27，17.77，18.27，
18.77，19.27 }，其基数 =′T
81。令
rb
=
rr
,{
2
1
,
,
r
18
}
L
表示 18 个债券的到期期限时间点的
收益率值；
RB
=
{
RR
1
,
2
,
,
R
81
}
L
表示 18 个债券的所有期限时间点的收益率值。因此，根
据（1）式就会得到 18 个非线性方程，对于余下的
81
−
18
=
63
个期限时间点可以通过采用
三次样条插值引入 63 个附加方程，从而可求解含 81 个未知量的 81 个非线性方程和插值方
程的方程组得收益率值
RB
=
rr
,{
2
1
,
,
r
81
}
L
的解向量。
尽管经过数据处理，运算量还是相当大，故本文采用数学软件 Maple 生成 63 个插值方
程以及求解 81 个非线性方程和插值方程的方程组。编写 Maple 计算分析程序，运算结果如
下：
18 个债券的到期期限时间点的收益率值 =br
{0.1624, 0.0807, 0.1157, 0.1082, 0.0403,
0.1049, 0.0745, 0.1110, 0.0910, 0.0481, 0.0289, 0.0741, 0.0881, 0.0950, 0.0377, 0.0833, 0.0427,
0.0592}。据此再进行三次样条插值即可得到收益率值
RB
=
rr
,{
2
1
,
,
r
81
}
L
的解向量，同时
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利用 Maple 软件估计出国债收益率曲线，如图 1：
图 1 2004 年 1 月 9 日上海证券交易所国债收益率曲线
从图 1 中可以发现，我国的国债收益率曲线并不表现为明显的正向或反向走势，而是呈
现出锯齿状的剧烈波动，同时由于短期和长期债券的发行品种较少，使得国债收益率曲线在
两端出现了异常变动形状。相对而言，由于我国发行的国债多为 3 年以上的中期国债，因此
这一期间收益率曲线的走势基本正常，因此我国的国债市场还有待从各个方面进行完善。
为检验扩展的息票剥离法的有效性和利用国债收益率曲线进行资产定价研究，故本文对
2004 年 1 月 9 日上海证券交易所的 010311 国债进行理论定价，并将得到的结果和当日该债
券的收盘价进行比较分析，见表 3。
表 3 2004 年 1 月 9 日上海证券交易所 010311 国债的理论定价和实际价格比较
国债代码
实际价格
理论估价
绝对价差
相对价差
010311
100.766
95.2403
5.5257
5.48％
由表 3 易见，利用扩展的息票剥离法可以很容易估计出国债的理论价格，至于最后的得
到估计结果的绝对价差和相对价差都比较大，并不是因为该方法无效，而是由于我国国债市
场目前无论从发行品种、发行期限等各个方面还很不完善，尤其是我国目前短期国债品种发
行不够，一年以内的短期国债和零息国债更是从来没有发行过，这就很容易导致较大估计偏
差的存在。因此，从资产定价的角度而言，发行一年以内的短期国债势在必行，也是与国际
债券市场接轨的使然。
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四、结论
本文将传统的息票剥离法和样条估计方法有效结合，提出了扩展的息票剥离法，并将其
用于对国债收益率曲线的估计。实证分析结果表明该方法计算简便，误差相对较小，同时又
可以较好的体现复杂的利率期限结构的形状。
总之，本文利用扩展的息票剥离法估计出的国债收益率曲线还仅仅是对利率期限结构静
态的估计和考察，至于其动态模型的研究和实证分析及与其相关的利率衍生产品定价则是今
后的研究方向。
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