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2006年江西高考文科数学真题及答案.doc
2006 年江西高考文科数学真题及答案
一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分）
1．（5 分）已知集合 { |
(
x x x
P
1) 0}
，
Q
x
1
1
x
0
，则 P Q 等于 (
)
A．
B．{ |
x x
1}
C．{ |
x x
1}
D．{ |
x x
或 0}
x
1
2．（5 分）函数 4sin(2
y
x
3
的最小正周期为 (
) 1
)
A．
2
B．
C． 2
D． 4
3．（5 分）在各项均不为零的等差数列{ }na 中，若
a
n
1
2
a
n
a
n
1
，则 2
nS
0(
2)
n
1
4
n
(
)
A． 2
B．0
C．1
D．2
4．（5 分）下列四个条件中， p 是 q 的必要不充分条件的是 (
)
A． :p a
b ， 2
:q a
2
b
B． :p a
b ， : 2
q
a
2
b
C．
:p ax
2
2
by
为双曲线， :
q ab
c
D．
:
p ax
2
bx
c
c
， 2
x
0
q
:
a
b
x
0
0
5．（5 分）若 ( )
f x 是定义在 R 上的可导函数，且满足 (
x
1)
( ) 0
，则必有 (
f x
)
A． (0)
f
f （2） 2 f （1）
B． (0)
f
f （2） 2 f （1）
C． (0)
f
f （2） 2 f （1）
D． (0)
f
f （2） 2 f
（1）
6．（5 分）若不等式 2
x
ax
1 0
对一切
x
1(0,
2
)
成立，则 a 的最小值为 (
)
A．0
B． 2
C． 5
2
7．（5 分）在
(
x
的二项展开式中，若常数项为 60，则 n 等于 (
)n
2
x
A．3
B．6
C．9
D． 3
)
D．12
8．（5 分）袋中有 40 个小球，其中红色球 16 个、蓝色球 12 个，白色球 8 个，黄色球 4 个，
从中随机抽取 10 个球作成一个样本，则这个样本恰好是按分层抽样方法得到的概率为 (
)
A．
B．
C．
D．
4
C C C C
16
3
12
1
4
2
8
C
10
40
4
C C C C
16
2
4
1
8
C
3
12
10
40
4
C C C C
16
1
12
2
4
3
8
C
10
40
2
C C C C
16
1
4
3
8
C
4
12
10
40
9．（5 分）如果四棱锥的四条侧棱都相等，就称它为“等腰四棱锥”，四条侧棱称为它的腰，
以下 4 个命题中，假命题是 (
)
A．等腰四棱锥的腰与底面所成的角都相等
B．等腰四棱锥的侧面与底面所成的二面角都相等或互补
C．等腰四棱锥的底面四边形必存在外接圆
D．等腰四棱锥的各顶点必在同一球面上
10．（5 分）已知等差数列{ }na 的前 n 项和为 nS ，若
点共线（该直线不过原点 )O ，则 200
S
(
)
OB a OA a OC
200
1
，且 A 、 B 、 C 三
A．100
11．（5 分） P 是双曲线
B．101
2
y
16
2
x
9
C．200
D．201
1
的右支上一点， M 、 N 分别是圆
(
x
2
5)
2
y
和
4
(
x
2
5)
2
y
1
上的点，则|
PM
|
PN
|
|
的最大值为 (
)
A．6
B．7
C．8
D．9
12．（5 分）某地一天内的气温 ( )Q t （单位： C)
与时刻 t （单位：时）之间的关系如图所示，
令 ( )C t 表示时间段[0 ， ]t 内的温差（即时间段[0 ， ]t 内最高温度与最低温度的差）． ( )C t
与 t 之间的函数关系用下列图象表示，则正确的图象大致是 (
)
A．
B．
C．
D．
二、填空题（共 4 小题，每小题 4 分，满分 16 分）
13．（4 分）已知向量 (1,sin )
a
b
， (1,cos )
，则|
a b
|
的最大值为
．
14．（ 4 分 ） 设
( )
f x
log (
3
x
(
f m n
)
．
的 反 函 数 为 1( )
x ， 若 1
f m
6)
[
(
f
) 6][
1
f
( ) 6] 27
n
， 则
15．（4 分）如图，已知正三棱柱
ABC A B C
1 1
1
的底面边长为 1，高为 8，一质点自 A 点出发，
沿着三棱柱的侧面绕行两周到达 1A 点的最短路线的长为
．
16．（4 分）已知 1F ， 2F 为双曲线
2
2
x
a
2
2
y
b
1(
a
0,
b
0
且
a
b
)
的两个焦点， P 为双曲线右
支上异于顶点的任意一点， O 为坐标原点．下面四个命题 (
)
A 、△ 1 2
PF F 的内切圆的圆心必在直线 x
a 上；
B 、△ 1 2
PF F 的内切圆的圆心必在直线 x
b 上；
C 、△ 1 2
PF F 的内切圆的圆心必在直线 OP 上；
D 、△ 1 2
PF F 的内切圆必通过点 ( ,0)a ．
其中真命题的代号是
（写出所有真命题的代号）．
三、解答题（共 6 小题，满分 74 分）
17．（12 分）已知函数
( )
f x
3
x
2
ax
bx
在
c
（1）求 a 、 b 的值与函数 ( )
f x 的单调区间；
x 与 1x 时都取得极值．
2
3
（2）若对 [ 1
x ， 2] ，不等式
( )
f x
2
c 恒成立，求 c 的取值范围．
18．（12 分）某商场举行抽奖促销活动，抽奖规则是：从装有 9 个白球、1 个红球的箱子中
每次随机地摸出一个球，记下颜色后放回，摸出一个红球获得二得奖；摸出两个红球获
得一等奖．现有甲、乙两位顾客，规定：甲摸一次，乙摸两次．求
（1）甲、乙两人都没有中奖的概率；
（2）甲、两人中至少有一人获二等奖的概率．
19．（12 分）在锐角 ABC
中，角 A ， B ，C 所对的边分别为 a ，b ，c ，已知
sin
A
2 2
3
，
（1）求 2
tan
B C
2
2
sin
A
2
的值；
（2）若 2
a ，
S
ABC
，求 b 的值．
2
20．（12 分）如图，已知三棱锥 O ABC
的侧棱 OA ， OB ， OC 两两垂直，且
OA ，
1
OB OC
， E 是 OC 的中点．
2
（1）求 O 点到面 ABC 的距离；
（2）求异面直线 BE 与 AC 所成的角；
（3）求二面角 E AB C
的大小．
21．（12 分）如图，椭圆
Q
:
2
2
x
a
2
2
y
b
1(
绕点 F 转动，
a b
的右焦点为 ( ,0)
F c ，过点 F 的一动直线 m
0)
并且交椭圆于 A ， B 两点， P 为线段 AB 的中点．
（1）求点 P 的轨迹 H 的方程；
（2）若在 Q 的方程中，令 2
a
1 cos
sin
， 2
b
sin (0
．
)
2
设轨迹 H 的最高点和最低点分别为 M 和 N ．当为何值时， MNF
为一个正三角形？
22．（14 分）已知各项均为正数的数列{ }na ，满足： 1
a
a ，且 1
n
a
n
2
2
3
a
n
a
n
1
a a
n n
1
，
n N ．
*
（1）求数列{ }na 的通项公式；
（2）设
S
n
2
a
1
2
a
2
，
2
a
n
T
n
1
2
a
1
1
2
a
2
a
1
2
a
n
S
，求 n
T ，并确定最小正整数 n ，
n
S
使 n
T 为整数．
n
2006 年江西高考文科数学真题参考答案
一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分）
1．（5 分）已知集合 { |
(
x x x
P
1) 0}
，
Q
x
1
1
x
0
，则 P Q 等于 (
)
A．
B．{ |
x x
1}
【解答】解： { |
x x
P
1
或 0}
x ， { |
Q x x
C．{ |
x x
1}
D．{ |
x x
或 0}
x
1
，所以
1}
P Q
{ |
x x
1}
故选： C ．
2．（5 分）函数 4sin(2
y
x
3
的最小正周期为 (
) 1
)
A．
2
B．
C． 2
D． 4
【解答】解：
y
4sin(2
x
3
) 1
T
2
2
，
故选： B ．
3．（5 分）在各项均不为零的等差数列{ }na 中，若
a
n
1
2
a
n
a
n
1
，则 2
nS
0(
2)
n
1
4
n
(
)
A． 2
B．0
C．1
D．2
【解答】解：设公差为 d ，则 1n
a
a
n
， 1n
d
a
a
n
，
d
由
a
n
1
2
a
n
a
n
1
可得
2)
0(
n
2
a
n
2
a
n
，
0
解得
na （零解舍去），
2
nS
故 2
1
4
n
2 (2
n
1) 4
n
，
2
故选： A ．
4．（5 分）下列四个条件中， p 是 q 的必要不充分条件的是 (
)
A． :p a
b ， 2
:q a
2
b
B． :p a
b ， : 2
q
a
2
b
C．
:p ax
2
2
by
为双曲线， :
q ab
c
D．
:
p ax
2
bx
【解答】解：
c
c
， 2
x
0
q
:
a
b
x
0
0
A ． p 不是 q 的充分条件，也不是必要条件；
B ． p 是 q 的充要条件；
C ． p 是 q 的充分条件，不是必要条件；
D ．正确
故选： D ．
5．（5 分）若 ( )
f x 是定义在 R 上的可导函数，且满足 (
x
1)
( ) 0
，则必有 (
f x
)
A． (0)
f
f （2） 2 f （1）
B． (0)
f
f （2） 2 f （1）
C． (0)
f
f （2） 2 f （1）
D． (0)
f
f （2） 2 f
（1）
【解答】解： (
x
1)
f x
( ) 0
1x 时， ( ) 0
f x
； 1x 时， ( ) 0
f x
( )
f x
在 (1,
) 为增函数；在 (
上为减函数
,1)
f （2） f
（1）
f
(0)
f
（1）
f
(0)
（2） 2 f
（1）
f
故选： D ．
6．（5 分）若不等式 2
x
ax
1 0
对一切
x
A．0
B． 2
1(0,
2
)
成立，则 a 的最小值为 (
)
C． 5
2
D． 3
【解答】解：设
( )
f x
2
x
ax
1
，则对称轴为
x
a
2
a 时，则 ( )
1
f x 在[0 ， 1]
2
上是减函数，
a
，即
2
若
1
2
应有 1
(
2
) 0
f
5
2
a
1
0
若
a ，即 0a
时，则 ( )
2
f
恒成立，
应有 (0) 1 0
f x 在[0 ， 1]
2
上是增函数，
故 0a
若
a
0
2
则应有
(
f
1
2
a
2
，即 1
，
0a
)
2
a
4
2
a
2
1 1
恒成立，
0
2
a
4
故 1
0a
综上，有 5
2
故选： C ．
．
a
7．（5 分）在
(
x
的二项展开式中，若常数项为 60，则 n 等于 (
)n
2
x
A．3
B．6
C．9
【解答】解：
T
r
1
C
r
n
(
n r
x
)
(
r
)
r
2
r
C x
n
n
r
3
2
2
x
，
n N ，
*
r N
*
，解得 6
n ，
由
n
2
0
3
r
r
r
60
C
n
故选： B ．
)
D．12
8．（5 分）袋中有 40 个小球，其中红色球 16 个、蓝色球 12 个，白色球 8 个，黄色球 4 个，
从中随机抽取 10 个球作成一个样本，则这个样本恰好是按分层抽样方法得到的概率为 (
)
A．
4
C C C C
16
3
12
1
4
2
8
C
10
40
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