2006 年江西高考理科数学真题及答案
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。第Ⅰ卷 1 至 2 页。第Ⅱ卷 3 至 4
页。全卷满分 150 分,考试时间 120 分钟。
考生注意事项:
1.答题前,务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的座位号、姓名,并认真核对答
题卡上所粘贴的条形码中“座位号、姓名、科类”与本人座位号、姓名、科类是否一致。
2.答第Ⅰ卷时,每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。
3.答第Ⅱ卷时,必须用 0.5 毫米墨水签字笔在答题卡上书写。在试题卷上作答无效。
4.考试结束,监考人员将试题卷和答题卡一并收回。
参考公式:
如果时间 A、B 互斥,那么 (
P A B
)
(
)
P A
(
P B
)
如果时间 A、B 相互独立,那么 (
P A B
)
(
(
P A P B
)
)
如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 P,那么 n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概
率
P k
n
k
C P
k
n
1
n k
P
球的表面积公式
S
2
,其中 R 表示球的半径
球的体积公式
V
R
,其中 R 表示球的半径
4
R
4
3
3
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有
一项是符合题目要求的。
第Ⅰ卷(选择题 共 60 分)
1、已知集合 M={x|
},N={y|y=3x2+1,xR},则 MN=( )
3
( - )
x
x 1
C.{x|x1} D. {x| x1 或 x0}
0
A. B. {x|x1}
2、已知复数 z 满足( 3 +3i)z=3i,则 z=( )
A.
3
2
3
i-
2
B.
3
4
3
i-
4
C.
3
2
3
i+
2
D.
3
4
3
i+
4
3、若 a0,b0,则不等式-b 1
x
1
a
- x0 或 0x 1
a
B.-
1
b
A.
a 等价于(
x 1
b
C.x-
)
1
a
或 x 1
b
D.x
1
- 或 x 1
b
a
FA
4、设 O 为坐标原点,F 为抛物线 y2=4x 的焦点,A 是抛物线上一点,若 OA
=-4
则点 A 的坐标是( )
A.(2,2 2 ) B. (1,2)
C.(1,2)D.(2,2 2 )
5、对于 R 上可导的任意函数 f(x),若满足(x-1) f
A. f(0)+f(2)2f(1) B. f(0)+f(2)2f(1)
B. f(0)+f(2)2f(1) C. f(0)+f(2)2f(1)
x( )0,则必有( )
6、若不等式 x2+ax+10 对于一切 x(0,
A.0
B. –2
C.-
5
2
D.-3
7、已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若
(该直线不过原点 O),则 S200=( )
A.100
B. 101
C.200
D.201
1
2
〕成立,则 a 的取值范围是(
)
O
aB
=
1
OA a OC
+
200
,且 A、B、C 三点共线
8、在(x- 2 )2006 的二项展开式中,含 x 的奇次幂的项之和为 S,当 x= 2 时,S 等于
( )
A.23008
B.-23008
C.23009
D.-23009
9、P 是双曲线
2
x
9
- = 的右支上一点,M、N 分别是圆(x+5)2+y2=4 和(x-5)2+
2
y
16
1
B.7
C.8
D.9
y2=1 上的点,则|PM|-|PN|的最大值为( )
A. 6
10、将 7 个人(含甲、乙)分成三个组,一组 3 人,另两组 2 人,不同的分组数为 a,甲、
乙分到同一组的概率为 p,则 a、p 的值分别为( )
5
21
D.a=210 p=
A. a=105
5
21
4
21
4
21
C.a=210
p=
B.a=105
p=
p=
11、如图,在四面体 ABCD 中,截面 AEF 经过四面体的内切球(与四个面都相切的球)球心
O,且与 BC,DC 分别截于 E、F,如果截面将四面体分成体积相等的两部分,设四棱锥 A-BEFD
与三棱锥 A-EFC 的表面积分别是 S1,S2,则必有( )
A. S1S2
B. S1S2
C. S1=S2
D. S1,S2 的大小关系不能确定
12、某地一年的气温 Q(t)(单位:ºc)与时间 t
(月份)之间的关系如图(1)所示,已知该年的平
均气温为 10ºc,令 G(t)表示时间段〔0,t〕的平
均气温,G(t)与 t 之间的函数关系用下列图象表
示,则正确的应该是(
)
G(t)
10ºc
G(t)
10ºc
t
A
O
D
F
B
E
C
G(t)
10ºc
O
6
12
图(1)
G(t)
10ºc
12
O
6
t
C
O
A
6
12
t
O
6
t
12
B
G(t)
10ºc
O
t
12
6
D
理科数学
第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分)
注意事项:
请用 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答,在试题卷上书写作答无效。
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分,把答案填写在答题卡的相应位置。
13、数列{
1
2
1-
4n
}的前 n 项和为 Sn,则
lim
n
Sn=______________
14、设 f(x)=log3(x+6)的反函数为 f-1(x),若〔f-1(m)+6〕〔f-1(n)+6〕=27
则 f(m+n)=___________________
15、如图,在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,底面为直角三角形,ACB=90,AC=6,BC=CC1= 2 ,
P 是 BC1 上一动点,则 CP+PA1 的最小值是___________
16、已知圆 M:(x+cos)2+(y-sin)2=1,
直线 l:y=kx,下面四个命题:
(A) 对任意实数 k 与,直线 l和圆 M 相切;
(B) 对任意实数 k 与,直线 l和圆 M 有公共点;
(C) 对任意实数,必存在实数 k,使得直线 l与
和圆 M 相切
(D)对任意实数 k,必存在实数,使得直线 l与
和圆 M 相切
其中真命题的代号是______________(写出所有真命题的代号)
A1
A
C
P
C1
B
B1
三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
17、(本小题满分 12 分)
已知函数 f(x)=x3+ax2+bx+c 在 x=-
2
3
(1) 求 a、b 的值与函数 f(x)的单调区间
与 x=1 时都取得极值
(2) 若对 x〔-1,2〕,不等式 f(x)c2 恒成立,求 c 的取值范围。
18、(本小题满分 12 分)
某商场举行抽奖促销活动,抽奖规则是:从装有 9 个白球,1 个红球的箱子中每次随机地摸
出一个球,记下颜色后放回,摸出一个红球可获得奖金 10 元;摸出 2 个红球可获得奖金 50
元,现有甲,乙两位顾客,规定:甲摸一次,乙摸两次,令表示甲,乙摸球后获得的奖金
总额。求:
(1)的分布列 (2)的的数学期望
19、(本小题满分 12 分)
如图,已知△ABC 是边长为 1 的正三角形,M、N 分别是
边 AB、AC 上的点,线段 MN 经过△ABC 的中心 G,
设MGA=(
3
2
3
)
(1) 试将△AGM、△AGN 的面积(分别记为 S1 与 S2)
表示为的函数
1
(2) 求 y= 2
S
1
+ 的最大值与最小值
1
2
S
2
M
B
A
D
N
C
20、(本小题满分 12 分)
如图,在三棱锥 A-BCD 中,侧面 ABD、ACD 是全等的直角三角形,AD 是公共的斜边,且 AD
= 3 ,BD=CD=1,另一个侧面是正三角形
(1) 求证:ADBC
(2) 求二面角 B-AC-D 的大小
(3) 在直线 AC 上是否存在一点 E,使 ED 与面 BCD 成 30角?若存在,
B
确定 E 的位置;若不存在,说明理由。
A
21、(本大题满分 12 分)
D
C
如图,椭圆 Q:
2
2
x
a
y
b
+ = (ab0)的右焦点 F(c,0),过点 F 的一动直线 m 绕点 F 转
2
2
1
动,并且交椭圆于 A、B 两点,P 是线段 AB 的中点
(1) 求点 P 的轨迹 H 的方程
(2) 在 Q 的方程中,令 a2=1+cos+sin,b2=sin(0
2
),确定的值,使原点
距椭圆的右准线 l最远,此时,设 l与 x 轴交点为 D,当直线 m 绕点 F 转动到什么
位置时,三角形 ABD 的面积最大?
y
O
B
F
A
D
X
l
n
2
,
n N
)
22、(本大题满分 14 分)
已知数列{an}满足:a1=
3
2
,且 an=
2a
3na
n 1
-
n 1
-
(
n 1
+ -
(1) 求数列{an}的通项公式;
(2) 证明:对于一切正整数 n,不等式 a1a2……an2n!
2006 年江西高考理科数学真题参考答案
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有
一项是符合题目要求的。
1、已知集合 M={x|
},N={y|y=3x2+1,xR},则 MN=( C )
3
( - )
x
x 1
C.{x|x1} D. {x| x1 或 x0}
0
A. B. {x|x1}
解:M={x|x1 或 x0},N={y|y1}故选 C
2、已知复数 z 满足( 3 +3i)z=3i,则 z=( D )
A.
3
2
3
i-
2
B.
3
4
3
i-
4
C.
3
2
3
i+
2
D.
3
4
3
i+
4
解:
z
=
3
i
3 3
i
+
=
3
3
i
( - ) +
=
3 3
i
12
3
i
4
故选 D
a 等价于( D )
x 1
b
C.x-
1
a
或 x 1
b
D.x
- 或 x 1
a
1
b
3、若 a0,b0,则不等式-b 1
x
1
a
b
- x0 或 0x 1
a
1
b
解:
B.-
A.
+
b
a
1
x
-
故选 D
1
x
1
x
0
-
a
0
1
1
bx
+
x
ax
-
x
0
0
x
( + )
x 1
( - )
bx 1
ax
0
0
x
0
或 -
x
x
1
a
x
或
0
1
b
x
x
- 或
1
b
1
a
4、设 O 为坐标原点,F 为抛物线 y2=4x 的焦点,A 是抛物线上一点,若 OA
FA
=-4
则点 A 的坐标是(B )
A.(2,2 2 ) B. (1,2)
C.(1,2)D.(2,2 2 )
解:F(1,0)设 A(
,y0)则 OA
=(
2
0y
4
2
0y
4
,y0), FA
=(1-
2
0y
4
,-y0),由
OA
FA
=-4y0=2,故选 B
5、对于 R 上可导的任意函数 f(x),若满足(x-1) f
C. f(0)+f(2)2f(1) B. f(0)+f(2)2f(1)
f(0)+f(2)2f(1) D. f(0)+f(2)2f(1)
C.
解:依题意,当 x1 时,f(x)0,函数 f(x)在(1,+)上是增函数;当 x1 时,
f(x)0,f(x)在(-,1)上是减函数,故 f(x)当 x=1 时取得最小值,即有
f(0)f(1),f(2)f(1),故选 C
x( )0,则必有( C )
)成立,则 a 的取值范围是( C )
6、若不等式 x2+ax+10 对于一切 x(0,
A.0
B. –2
C.-
5
2
D.-3
1
2
解:设 f(x)=x2+ax+1,则对称轴为 x=
-
若
-
,即 a-1 时,则 f(x)在〔0,
- 1
a
2
2
5
x-1
2
- 0,即 a0 时,则 f(x)在〔0,
若
a
2
故 a0
a
2
〕上是减函数,应有 f(
1
2
)0
1
2
1
2
〕上是增函数,应有 f(0)=10 恒成立,
若 0
- 1
2
a
2
-1a0
,即-1a0,则应有 f(
- )=
a
2
2
a
4
- + = -
1 1
2
a
2
2
a
4
0
恒成立,故
综上,有-
5
2
a 故选 C
7、已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若
O
aB
=
1
OA a OC
+
200
,且 A、B、C 三点共线
(该直线不过原点 O),则 S200=( A )
A.100
B. 101
C.200
D.201
解:依题意,a1+a200=1,故选 A
8、在(x- 2 )2006 的二项展开式中,含 x 的奇次幂的项之和为 S,当 x= 2 时,S 等于
(B )
A.23008
B.-23008
C.23009
D.-23009
解:设(x- 2 )2006=a0x2006+a1x2005+…+a2005x+a2006
则当 x= 2 时,有 a0( 2 )2006+a1( 2 )2005+…+a2005( 2 )+a2006=0 (1)
当 x=- 2 时,有 a0( 2 )2006-a1( 2 )2005+…-a2005( 2 )+a2006=23009 (2)
(1)-(2)有 a1( 2 )2005+…+a2005( 2 )=-230092=-23008
故选 B
9、P 是双曲线
2
x
9
- = 的右支上一点,M、N 分别是圆(x+5)2+y2=4 和(x-5)2+
2
y
16
1
y2=1 上的点,则|PM|-|PN|的最大值为( D )
A. 6
B.7
C.8
D.9
解:设双曲线的两个焦点分别是 F1(-5,0)与 F2(5,0),则这两点正好是两圆的圆
心,当且仅当点 P 与 M、F1 三点共线以及 P 与 N、F2 三点共线时所求的值最大,此时
|PM|-|PN|=(|PF1|-2)-(|PF2|-1)=10-1=9 故选 B
10、将 7 个人(含甲、乙)分成三个组,一组 3 人,另两组 2 人,不同的分组数为 a,甲、
乙分到同一组的概率为 p,则 a、p 的值分别为( A )
5
21
D.a=210 p=
B. a=105
4
21
4
21
C.a=210
p=
p=
B.a=105
p=
5
21
2
3
C C C
4
7
2!
解:a=
2
2
=105
甲、乙分在同一组的方法种数有
(1) 若甲、乙分在 3 人组,有
2
2
1
2
C C C
5
4
2!
=15 种
(2) 若甲、乙分在 2 人组,有 3
5C =10 种,故共有 25 种,所以 P=
25
105
=
5
21
故选 A
11、如图,在四面体 ABCD 中,截面 AEF 经过四面体的内切球(与四个面都相切的球)球心
O,且与 BC,DC 分别截于 E、F,如果截面将四面体分成体积相等的两部分,设四棱锥 A-BEFD
与三棱锥 A-EFC 的表面积分别是 S1,S2,则必有( )
A. S1S2
B. S1S2
C. S1=S2
D. S1,S2 的大小关系不能确定
解:连 OA、OB、OC、OD
则 VA-BEFD=VO-ABD+VO-ABE+VO-BEFD
VA-EFC=VO-ADC+VO-AEC+VO-EFC 又 VA-BEFD=VA-EFC
而每个三棱锥的高都是原四面体的内切
球的半径,故 SABD+SABE+SBEFD=SADC+SAEC+
A
O
D
F
B
E
C
SEFC 又面 AEF 公共,故选 C
12、某地一年的气温 Q(t)(单位:ºc)与时间 t(月份)之间的关系如图(1)所示,已知
该年的平均气温为 10ºc,令 G(t)表示时间段〔0,t〕的平均气温,G(t)与 t 之间的函数
关系用下列图象表示,则正确的应该是( A )
G(t)
10ºc
O
A
G(t)
10ºc
O
6
t
12
图(1)
G(t)
10ºc
12
O
6
t
C
解:结合平均数的定义用排除法求解
G(t)
10ºc
6
12
t
O
6
t
12
B
G(t)
10ºc
O
t
12
6
D
理科数学
第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分)
注意事项:
请用 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答,在试题卷上书写作答无效。
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分,把答案填写在答题卡的相应位置。
13、数列{
a
13、解: n
}的前 n 项和为 Sn,则
1
2
1-
1
2
- ( - )( + )
2n 1
2n 1
Sn=
1
lim
2
n
1
1
= (
2 2n 1
-
1
4n
=
=
1
a
= + +…+
4n
a
a
1
2
n
S
故 n
-
1
2n 1
+
)