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2006年辽宁高考文科数学真题及答案.doc
2006 年辽宁高考文科数学真题及答案
第 I 卷（选择题 共 60 分）
参考公式：
如果事件 A、B互斥，那么
P（A+B）=P（A）+P（B）
如果事件 A、B相互独立，那么
P（A·B）=P（A）·P（B）
如果事件 A 在一次试验中发生的概率 P，那
么 n 次独立重复试验中恰好发生 k次的概率
)(
kP
n
k
PC
k
n
1(
P
)
kn
球的表面积公式
4 R
S
球的体积公式
2
V
4 R
球
3
3
其中 R 表示球的半径
一．选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，选择
一个符合题目要求的选项.
（1）函数
y
sin(
（A）
2
1
2
x
)3
的最小正周期是
（B）
（C）2
（D）4
（2）设集合 A={1,2}，则满足 A∪B={1,2,3}的集合 B 的个数是
（A）1
（B）3
（C）4
（D）8
（3）设 )(xf 是 R 上的任意函数，则下列叙述正确的是
（A） )(xf
( x
f 是奇函数
)
（B） )(xf
|
( x
f | 是奇函数
)
（C） )(xf －
( x
f 是偶函数
)
（D） )(xf
+
( x
f 是偶函数
)
（4）
C
1
6
C
2
6
C
3
6
C
4
6
C
5
6
的值为
（A）61
（B）62
（C）63
（D）64
（5）方程
2 2
x
5
x
2
0
的两个根可分别作为
（A）一椭圆和一双曲线的离心率
（C）一椭圆和一抛物线的离心率
（B）两抛物线的离心率
（D）两椭圆的离心率
（6）给出下列四个命题：
①垂直于同一直线的两条直线互相平行.
②垂直于同一平面的两个平面互相平行.
1,l
1,l
l 与同一平面所成的角相等，则 2
l 互相平行.
③若直线 2
1,l
1,l
l 是异面直线，则与 2
l 都相交的两条直线是异面直线.
④若直线 2
其中假．命题的个数是
（A）1
（B）2
（C）3
（D）4
（7）双曲线
2
x
2
y
4
的两条渐近线与直线 3x 围成一个三角形区域，表示该区域的不
等式
组是
（A）
x
x
0
y
y
x
0
0
3
（B）
x
x
0
y
y
x
0
0
3
（C）
x
x
0
y
y
x
0
0
3
（D）
x
x
0
y
y
x
0
3
3
（8）设○+ 是 R 上的一个运算，A是 R 的非空子集. 若对任意
,
Aba
有,
a
Ab
，则称 A
对运
是
算○+ 封闭. 下列数集对加法、减法、乘法和除法（除数不等于零）四则运算都封闭的
（A）自然数集
（B）整数集
（C）有理数集
（D）无理数集
（9）△ABC的三内角 A，B，C，所对边的长分别为
, ，设向量 p
cba ,
(
),
bca
、q=
若 p∥q，，则角 C的大小为
(
acab
,
).
（A）
6
（B）
3
（C）
2
（10）已知等腰△ABC 的腰为底的 2 倍，顶角的正切值是
（A）
3
2
（B） 3
（C）
15
8
（D）
2
3
（D）
15
7
x
2
（11）与方程
y
y
（A）
（C）
y
e
1ln(
1ln(
2
)
x
x
)
e
x
(
x
)0
y 对称的曲线的方程为
x
的曲线关于直线
1ln(
y
y
（B）
（D）
)
x
x
)
1ln(
2
（12）曲线
2
x
10
6
m
y
2
m
(1
m
)6
与曲线
2
x
5
n
9
y
n
5(1
n
)9
的
（A）离心率相等 （B）焦距相等
（C）焦点相同
（D）准线相同
第 II 卷（非选择题 共 90 分）
二．填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分.
（13）方程
log
2
(
x
)1
2
log
(
x
)1
2
的解为
.
（14）设
)(
xg
x
e
ln
,
,0
x
,
,0
xx
则
1((gg
2
))
.
（15）如图，半径为 2 的半球内有一内接正六棱锥 P—ABCDEF，
则此正六棱锥的侧面积是
.
（16）5 名乒乓球队员中，有 2 名老队员和 3 名新队员，现从中选出 3 名队员排成 1,2,3 号
参加团体比赛，则入选的 3 名队员中至少有 1 名老队员，且 1、2 号中至少有 1 名新
队员的排法有
种.（以数作答）
三．解答题：本大题共小题，共 74 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
（17）（本小题满分 12 分）
已知函数
)(
xf
2
sin
x
sin2
x
cos
x
3
cos
2
,
.
Rxx
求：
（Ⅰ）求函数 )(xf 的最大值及取得最大值的自变量 x的集合；
（Ⅱ）函数 )(xf 的单调增区间.
（18）（本小题满分 12 分）
甲、乙两班各派 2 名同学参加年级数学竞赛，参赛同学成绩及格的概率都为 0.6，且参
赛同学的成绩相互之间没有影响.求：
（Ⅰ）甲、乙两班参赛同学中各有 1 名同学成绩及格的概率；
（Ⅱ）甲、乙两班参赛同学中至少有 1 名同学成绩及格的概率.
（19）（本小题满分 12 分）
已知正方形 ABCD，E、F分别是边 AB、CD的中点，将△ADE沿 DE折起，如图所示，记
二面角 A—DE—C的大小为
0(
).
（Ⅰ）证明 BF∥平面 ADE；
（Ⅱ）若△ACD为正三角形，试判断点 A 在平面 BCDE 内的射影 G 是否在直线 EF 上，证
明你的结论，并求角的余弦值.
（20）（本小题满分 12 分）
已知等差数列 }{ na 的前 n 项和为
S n
2
pn
2
（Ⅰ）求 q的值；
NnRqpqn
),
(
,
).
（Ⅱ）若
a 与 的等差中项为 18， nb 满足
1
a
5
a
n
log2
b
n
，求数列{ nb }的前 n项和.
2
（21）（本小题满分 12 分）
已
知
函
数
)(
xf
a
,0
1
3
d
3
ax
(
a
2
)
xd
(
a
)2
xd
d
,
)(
xg
2
ax
(2
a
)2
axd
4
d
， 其 中
,0
设
0x
为
)(xf
的 极 小 值 点 ，
0x
为
)(
xg
,
的极值点
(
xg
)
2
(
xg
1
)
,0
并且
x
2
x
1
.
将
(
x
0
,
(
xf
)),
(
(
xgx
1
1
,
)),
(
x
2
0
(),0,
x
3
)0,
依次记为
（Ⅰ）求 0x 的值；
,
.
DCBA
,
,
（Ⅱ）若四边形 ABCD 为梯形，且面积为 1，求 da, 的值.
已 知 点
（22）（本小题满分 14 分）
(
),
(
,
xByxA
y
1
,
|
OB
OA
满足
,
1
是坐标原点，向量
.0
)
(
2
y
y
1
（Ⅰ）证明线段 AB 是圆 C 的直径；
y
2
)(
2
OA
xx
21
|
|
OB
)0
OA
是 抛 物 线
OB
.|
2
y
2
(
ppx
设圆 C的方程为
)0
2
x
上 的 两 个 动 点 ，O
x
x
y
)
(
2
2
x
1
（Ⅱ）当圆 C 的圆心到直线
x
y
2
0
的距离的最小值为
52
5
时，求 p 的值.
2006 年辽宁高考文科数学真题参考答案
一．选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.
（1）D （2）C （3）C （4）B （5）A
（6）D
（7）A （8）C （9）B （10）D （11）A （12）B
二．填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分.
（13） 5 （14）
1
2
（15） 76
（16）48
三、解答题
（17）本小题考查三角公式、三角函数的性制裁及已知三角函数值求角等基础知识，考查综
合运用三角函数有关知识的能力. 满分 12 分
（I）解法一：
)(
xf
1
2
2
cos
2
2sin
x
x
2sin
x
2
cos
x
1(3
)2
x
cos
2
2
2
sin(
2
x
2
当
x
4
).
4
2
k
2
,
即
x
k
8
……4 分
(
k
Z
,
)
时
)(
xf
取得最大值
2
.2
8
,
k
Z
}.
因此， )(xf 取得最大值的自变量 x的集合是
|{
xx
k
解法二：
)(
xf
x
2
cos
2
x
(sin
1
2
=
2
2
x
2sin
2
2sin2)
cos
x
1
cos
2
x
sin(
).
2
x
4
x
2
当
x
4
2
k
2
,
即
x
k
8
(
k
Z
,
)
时
)(
xf
取得最大值
2
.2
因此， )(xf 取得最大值的自变量 x的集合是
|{
xx
k
8
,
k
Z
}.
……
……
……
8 分
4 分
8 分
（II）解：
)(
xf
2
2
sin(
2
x
由题意得
k
2
x
k
2
3
8
2
x
k
4
(
8
).
4
k
2
(
k
Z
即),
2
k
Z
).
因此， )(xf 的单调增区间是[
k
12 分
3
8
x
k
8
].
…………
（18）本小题主要考查相互独立事件的频率乘法公式和互斥事件的概率加法公式等基础知
（I）解：甲班参赛同学中恰有 1 名同学成绩及格的概率为
识，考查学生运用概率知识解决实际问题的能力. 满分 12 分.
4.06.01
.48.0
C
2
4.06.01
.48.0
C
2
故甲、乙两班参赛同学中各有 1 名同学成绩及格的概率为
乙班参赛同学中恰有 1 名同学成绩及格的概率为
P
48.0
48.0
.0
2304
.
……………………6 分
（II）解法一：甲、乙两班 4 名参赛同学成绩都不及格的概率为
4.0 4
.0
,
0256
故甲、乙两班参赛同学中至少有 1 名同学成绩及格的概率为
P
.01
0256
.0
9744
.
………………6 分
解法二：甲、乙两班 4 名参赛同学成绩都不及格的概率为
1536
.
甲 、 乙 两 班 参 赛 同 学 中 至 少 有 1 名 同 学 成 绩 及 格 的 概 率 为
4.06.01
4
C
.0
C
2
4
2
6.0
C
2
4
2
6.0
.
2
2
.0
3456
.
.0
3456
4.0
甲 、 乙 两 班 参 赛 同 学 中 恰 有 3 名 同 学 成 绩 及 格 的 概 率 为
4.0
甲、乙两班 4 名参赛同学成绩都及格的概率为
1296
故甲、乙两班参赛同学中至少有 1 名同学成绩及格的概率为
.0
………………12 分
6.0 4
.0
9744
.0
1296
.0
3456
.0
3456
1536
.0
，
..
P
（19）本小题主要考查空间中的线面关系，解三角形等基础知识，考查空间想象能力和思维
能力.
满分 12 分.
（I）证明：E、F分别是正方形 ABCD的边 AB、CD的中点.
∴ED∥FD，且 EB=FD，
∴四边形 EBFD 是平行四边形，
∴EF∥ED.
∵BD 平面 AED，而 BF平面 AED.
∴BF∥平面 AED. …………4 分
（II）解法一：点 A 在平面 BCDE 内的射影 G在直线 EF上，
过点 A作 AG⊥平面 BCDE，垂足为 G，连结 GC，GD.
∵△ACD为正三角形.
∴AC=AD，
∴GC=GD，
∴G在 CD的垂直平分线上，
又∵EF是 CD的垂直平分线，
∴点 A 在平面 BCDE内的射影 G在直线 EF上.
过 G作 GH⊥ED，垂足为 H，连结 AH，则 AH⊥DE.
∴∠AHG是二面角 A—DE—C的平面角，即∠AHG=θ.
设除正方形 ABCD的边长为 2a，连结 AF.
在折后图的△AEF中，AF= 3 a，EF=2AE=2 a，
∴△AEF为直角三角形，AG·EF=AE·AF，
∴AC=
3
2
a
.
在 Rt△ADE中，AH·DE=AD·AE，
…………4 分
∴AH=
2a ，∴
5
GH
a
52
∴
分
cos
GH
AH
1
4
.
………12
解法二：点 A在平面 BCDE内的射影 G在直线 EF上.
连结 AF，在平面 AEF内过点 A作 AG⊥EF，垂足为 G′
∵△ACD为正三角形，F为 CD的中点，
∴AD⊥CD.
又∵EF⊥CD，
∴CD⊥平面 AEF，
∵A G′ 平面 AEF，
∴CD⊥A G′，
又∵A G′⊥EF，且 CD∩EF=F，CD 平面 BCDE，EF 平面 BCDE，
∴AC⊥平面 BCDE，
∴G为 A在平面 BCDE内的射影 G，
∴点 A在平面 BCDE内的射影 G在直线 EF上，
过 G作 CH⊥ED，垂足为 H，连结 AH，则 AH⊥DE
∴∠AHG是二面角 A—DE—C的平面角，即∠AHG=θ.
设原正方形 ABCD的边长为 2a.
…………8 分
在折后图的△AEF中，AF=
a3 ，EF=2AE=2a，
∴△AEF为直角三角形，AG·EF=AE·AF
∴AC=
3
2
a
.
在 Rt△ADE中，AH·DE=AD·AE，
∴AE=
2a ，∴
5
GH
a
52
∴
分
cos
GH
AH
1
4
.
………12
解法三：点 A在平面 BCDE内的射影 G在直线 EF上.
连结 AF，在平面 AEF内过点 A作 AG⊥EF，垂足为 G′
∵△ACD为正三角形，F为 CD的中点，
∴AF⊥CD.
又∵EF⊥CD，
∴CD⊥平面 AEF，
∵CD 平面 BCDE，
∴平面 AEF⊥平面 BCDE.
又∵平面 AEF∩平面 BCDE=DEF，A G′⊥EF.
∴A G′⊥平面 BCDE，即 G′为 A在平面 BCDE内的射影 G，
∴点 A在平面 BCDE内的射影 G在直线 EF上.……………………8 分
过 G作 GH⊥DE，垂足为 H，连结 AH，则 AH⊥DE，
∴∠AHG是二面角 A—DE—C的平面角，即∠AHG=θ.
∴△AEF为直角三角形，AG·EF=AE·AF
∴AC=
3
2
a
.
在 Rt△ADE中，AH·DE=AD·AE，
∴AH=
2a ，∴
5
GH
a
52
∴
cos
GH
AH
1
4
.
………12
分
（20）本小题考查数列的概念，等差数列，等比数列，对数与指数互相转化等基础知识，考
查综合运用数学知识解决问题的能力. 满分 12 分
（I）解法一：当
n
,1
时
a
1
S
1
p
2
q
,
当
n
,2
时
a
S
n
n
}{ na
解法二：当
当
n
是等差数列，
,1
a
时
1
S
a
n
,2
时
n
n
n
a
当
a
2
又
,3
2
n
a
时
1
n
3
2
2
q
p
p
2
2
2
a
p
p
2
2
3
p
p
所以
3
q
2
n
n
1
1
1
S
2
pn
2
p
pn
=
2
2
p
q
p
,
2
q
S
p
2
2
pn
qn
S
.2
2
p
pn
=
(2[2
p
np
.
2
q
,2
p
得
pn
p
3
,2
)1
(
np
qn
.2
p
,2
q
2
(2
n
)1
q
.0
………………4 分
(
np
)1
2
(2
n
)1
q
)1
p
]2
.2
p
.0q
………………………………4 分
（II）解：
a
1
a
1
a
5
2
,
a
3
.18
又
a
3
6
p
p
,2
,18
.4
2
6
a
p
p
p
n
8
n
.6
………………8 分
又
a
n
log2
b
n
得
b
n
2
2
nb
3
.
b
1
,2
1
b
n
b
n
(4
n
1)1
2
n
3
2
4
2
16
，即 }
{ nb 是等比数列.
所以数列 }
{ nb 的前 n 项和
nT
n
)
1(2
1
16
16
2
15
n
16(
).1
………………12 分
（21）本小题考查函数的导数，函数，函数极值的判定，闭区间上二次函数的最值，等差数
列等基础知识的综合运用，考查用数形结合的数学思想分析问题，解决问题的能力.
满分 12 分.
（I）解：
f
)(
x
2
ax
(2
axda
)
2
令
f n
)(
x
,0
由
a
0
得
x
1
或
x
(
d
x
.21
d
a
)(1
ax
a
).2
d
…………2 分
21
d
a
)(
x
,1
时
f
.1
,0
.0
当
当
a
,0
d
21
d
a
,1
时
x
x
f
)(
x
,0
所以
)(xf 在 x=－1 处取极小值，即
x
0
.1
………………6 分
（II）解：
)(
xg
2
ax
2(
a
)4
axd
.4
d
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