2006年辽宁高考理科数学真题及答案.doc-资料库

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2006 年辽宁高考理科数学真题及答案第 I 卷（选择题共 60 分）参考公式：如果事件 A、B互斥，那么 P（A+B）=P（A）+P（B）如果事件 A、B相互独立，那么 P（A·B）=P（A）·P（B）如果事件 A 在一次试验中发生的概率 P，那么 n 次独立重复试验中恰好发生 k次的概率 )( kP n  k PC k n 1(  P ) kn  球的表面积公式 4 R S  球的体积公式 2 V 4 R 球 3 3 其中 R 表示球的半径一．选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，选择一个符合题目要求的选项. （1）设集合 A={1,2}，则满足 A∪B={1,2,3}的集合 B 的个数是（A）1 （B）3 （C）4 （D）8 （2）设 )(xf 是 R 上的任意函数，则下列叙述正确的是（A） )(xf ( x f  是奇函数 ) （B） )(xf | ( x f  | 是奇函数 ) （C） )(xf － ( x f  是偶函数 ) （D） )(xf + ( x f  是偶函数 ) （3）给出下列四个命题： ①垂直于同一直线的两条直线互相平行. ②垂直于同一平面的两个平面互相平行. 1,l 1,l l 与同一平面所成的角相等，则 2 l 互相平行. ③若直线 2 1,l 1,l l 是异面直线，则与 2 l 都相交的两条直线是异面直线. ④若直线 2 其中假．命题的个数是（A）1 （B）2 （C）3 （D）4 （4）双曲线 2 x 2  y  4 的两条渐近线与直线 3x 围成一个三角形区域，表示该区域的不等式组是（A） x   x   0     y y x 0 0 3 （B） x   x   0     y y x 0 0 3 （C） x   x   0     y y x 0 0 3 （D）（5）设○+ 是 R 上的一个运算，A是 R 的非空子集. 若对任意 , Aba  有, Ab 对运算○+ 封闭. 下列数集对加法、减法、乘法和法（除数不等于零）四则运算都封闭的是 y y x    x   x   0  a  0 3 3 ，则称 A

（A）自然数集（B）整数集（6）△ABC的三内角 A，B，C，所对边的长分别为（C）有理数集 , ，设向量 p cba , ( （D）无理数集 , ), bca  、q= ( acab   ). 若 p∥q，，则角 C的大小为（A）  6 （7）与方程 y y （A）（C） 2 x  e  1ln( y    1ln(  （B）  3 (1 x  )0 x  2 x e ) x ) （C）  2 （D） 2 3 的曲线关于直线   （B）（D） y y x  1ln(  y  对称的曲线的方程为 1ln( x ) x ) 2 y  m  (1 m  )6 与曲线 2 x  5 n  2 y  9 n  5(1  n )9 的（B）离心率相等（C）焦点相同 { na 前 n 项和为 nS ，若数列 1 a ,2 （D）准线相同也是等比数列，则 nS 等 }1 （8）曲线 2 x 10   6 m （A）焦距相等（9）在等比数列 }{ na 中，于（A） 2 1 n y 2 k （B）3n （C）2n （D） 3 n 1 （10）直线 2 与曲线 9 2 xk 2  2 y  18 k 2 | x (| Rk  , 且 k  )0 的公共点的个数为（A）1 （11）已知函数 )( xf  （B）2 1 2 (sin x （A）[－1，1] （B）[ （C）3 （D）4 sin| x  cos x |, 则 )(xf 的值域是  cos x )  1 2 2 2 1, ] （C） 2,1[ 2 ] （D） ,1[  2 2 ] （12）设 O（0，0），A（1，0），B（0，1），点 P 是线段 AB 上的一个动点， AP  AB . 若 OP  AB  PA  PB ，则实数的取值范围是（A）（C） 1 2 1 2    1   1  2 2 （B） 1  （D） 1  2 2 2 2    1   1  2 2 第 II 卷（非选择题共 90 分）二．填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分. （13）设 )( xg  x  e  ln  , ,0 x  , ,0 xx  则 1((gg 2 )) .

（14） lim n  4( 5 5( 6   6 7 4 5 )  )  2 4( 5 5( 6 2   6 2 7 4 2 5 )    )    n 4( 5 5( 6 n   6 n 7 4 n 5 ) ) = . （15）5 名乒乓球队员中，有 2 名老队员和 3 名新队员，现从中选出 3 名队员排成 1,2,3 号参加团体比赛，则入选的 3 名队员中至少有 1 名老队员，且 1、2 号中至少有 1 名新队员的排法有种.（以数作答）（16）若一条直线与一个正四棱柱各个面所成的角都为，则 cos= . 三．解答题：本大题共小题，共 74 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（17）（本小题满分 12 分）已知函数 )( xf  2 sin x  sin2 x cos x  3 cos 2 , . Rxx  求：（Ⅰ）求函数 )(xf 的最大值及取得最大值的自变量 x的集合；（Ⅱ）函数 )(xf 的单调增区间. （18）（本小题满分 12 分）已知正方形 ABCD，E、F分别是边 AB、CD的中点，将△ADE沿 DE折起，如图所示，记二面角 A—DE—C的大小为 ).   0( （Ⅰ）证明 BF∥平面 ADE；（Ⅱ）若△ACD为正三角形，试判断点 A 在平面 BCDE 内的射影 G 是否在直线 EF 上，证明你的结论，并求角的余弦值. （19）（本小题满分 12 分）现有甲、乙两个项目，对甲项目每投资十万元，一年后剩是 1.2 万元、1.18 万元、1.17 万元的概率分别为 1 6 价格下降的概率都是 p 、 1 2 0( 、 1 3  p ；已知乙项目的利润与产品价格的调整有关，在每次调整中，  )1 ，设乙项目产品价格在一年内进行 2 次独立的调整，记乙项目产品价格在一年内的下降次数为ξ对乙项目每投资十万元，ξ取 0、1、2 时，一年后相应利润是 1.3 万元、1.25 万元、0.2 万元. 随机变量ξ1，ξ2 分别表示对甲、乙两项目各投资十万元一年后的利润. （Ⅰ）求ξ1，ξ2 的概率分布和数学期望 Eξ1，Eξ2；（Ⅱ）当 Eξ1

, OA OB 满足 | OA  OB | |  OA  OB .| 设圆 C的方程为 2 x  2 y  ( x 1  2 x ) x 是坐标原点，向量  .0 y ) ( y 1  （Ⅰ）证明线段 AB 是圆 C 的直径； y 2 （Ⅱ）当圆 C 的圆心到直线 x  y 2  0 的距离的最小值为 52 5 时，求 p 的值. （21）（本小题满分 12 分）知函数 3 2  bx  cx  d , 其中 , d 为公差的等差数列是以 a 且  ,0 d  .0 ]上， f 在 )( x x 1 处取得最大值，在 2x 取得最小 x 2 )) 依次记为 , CBA , . 已 )( xf  ax 1 3 )( xf 设 x 为的极小值点. 在[ 0 值. 将 ( x 0 , ( xf )), ( x 1 , 0 f  ( x 1 （Ⅰ）求 0x 的值； , , cba 0,21 b m , x ( f  ( 2 )), （Ⅱ）若△ABC 有一条边平行于 x轴，且面积为 2+ 3 ，求 da, 的值. （22）（本小题满分 2 分）已知 f 0 )( x  n x , )( xf 1   f 1 n  f n 1  )( x )1( , 其中 k  ,( Nknn  ).  设 2 ( x  0 fC n )( ) xF （Ⅰ）写出 )1(1f ； 0  ( xfC 1 n 1 2 )    m fC n m 2 ( x )    n fC n n 2 ( x ), x  ].1,1[ （Ⅱ）证明：对任意的 xx 1 ]1,1[ , 2 ，情有| ( xF 1 )  ( xF 2 2|)  n 1  ( n  )2  n .1 2006 年辽宁高考理科数学真题参考答案一．选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分. （1）C （2）D （3）D （4）A （5）C （6）B （7）A （8）A （9）C （10）D （11）C （12）B 二．填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分. （13） 1 2 三、解答题（14）－1 （15）48 （16） 6 3

（17）本小题考查三角公式、三角函数的性制裁及已知三角函数值求角等基础知识，考查综合运用三角函数有关知识的能力. 满分 12 分（I）解法一：  )( xf  1   2 2 cos 2 2sin x  x   2sin x cos 2 x 1(3  )2 x cos 2  2 2 sin( 2 x   2 当 x   4   ). 4 2 k    2 , 即 x  k    8 ……4 分 ( k  Z , ) 时 )( xf 取得最大值 2  .2 因此， )(xf 取得最大值的自变量 x的集合是 |{ xx  k    8 , k  Z }. ……8 分解法二：  )( xf x  2 cos 2 x ……4 分 )( xf 取得最大值 2  .2  8 , k  Z }. ……8 分 2  (sin 1  2  x 2sin 2 = 2 x  2sin2) cos x  1 cos 2 x   sin( ). 2 x 4  ( 8 k    Z   k , ) 时  2 当 x   4  2 k    2 , 即 x 因此， )(xf 取得最大值的自变量 x的集合是 |{ xx  k     ). 4 k    2 ( k  Z 即),  2 （II）解： )( xf  2 2 sin( 2 x 由题意得 k     2  x k  2 3  8  2 x k     4  ( 8 k  Z ). 因此， )(xf 的单调增区间是[ k   3  8 , k    8 ]. …………12 分（18）本小题主要考查空间中的线面关系，解三角形等基础知识，考查空间想象能力和思维能力. 满分 12 分. （I）证明：E、F分别是正方形 ABCD的边 AB、CD的中点. ∴ED∥FD，且 EB=FD， ∴四边形 EBFD 是平行四边形， ∴EF∥ED. ∵BD 平面 AED，而 BF平面 AED. ∴BF∥平面 AED. …………4 分（II）解法一：点 A 在平面 BCDE 内的射影 G在直线 EF上，过点 A用 AG⊥平面 BCDE，垂足为 G，连结 GC，GD. ∵△ACD为正三角形. ∴AC=AD， ∴GC=GD， ∴G在 CD的垂直平分线上，

…………4 分又∵EF是 CD的垂直平分线， ∴点 A 在平面 BCDE内的射影 G在直线 EF上. 过 G作 GH⊥ED，垂足为 H，连结 AH，则 AH⊥DE. ∴∠AHG是二面角 A—DE—C的平面角，即∠AHG=θ. 设除正方形 ABCD的边长为 2a，连结 AF. 在折后图的△AEF中，AF= 3 a，EF=2AE=2 a， ∴△AEF为直角三角形，AG·EF=AE·AF， ∴AC= 3 2 a . 在 Rt△ADE中，AH·DE=AD·AE， ∴AH= 2a ，∴ 5 GH  a 52 ∴ cos GH AH   1 4 . ………12 分解法二：点 A在平面 BCDE内的射影 G在直线 EF上. 连结 AF，在平面 AEF内过点 A作 AG⊥EF，垂足为 G′ ∵△ACD为正三角形，F为 CD的中点， ∴AD⊥CD. 又∵EF⊥CD， ∴CD⊥平面 AEF， ∵A G′  平面 AEF， ∴CD⊥A G′，又∵A G′⊥EF，且 CD∩EF=F，CD 平面 BCDE，EF 平面 BCDE， ∴AC⊥平面 BCDE， ∴G为 A在平面 BCDE内的射影 G， ∴点 A在平面 BCDE内的射影 G在直线 EF上，过 G作 CH⊥ED，垂足为 H，连结 AH，则 AH⊥DE ∴∠AHG是二面角 A—DE—C的平面角，即∠AHG=θ. 设原正方形 ABCD的边长为 2a. 在折后图的△AEF中，AF= a3 ，EF=2AE=2a， ∴△AEF为直角三角形，AG·EF=AE·AF ∴AC= 3 2 a . 在 Rt△ADE中，AH·DE=AD·AE， …………8 分 ∴AH= 2a ，∴ 5 GH  a 52 ∴ cos GH AH   1 4 . ………12 分解法三：点 A在平面 BCDE内的射影 G在直线 EF上. 连结 AF，在平面 AEF内过点 A作 AG⊥EF，垂足为 G′ ∵△ACD为正三角形，F为 CD的中点， ∴AF⊥CD.

又∵EF⊥CD， ∴CD⊥平面 AEF， ∵CD 平面 BCDE， ∴平面 AEF⊥平面 BCDE. 又∵平面 AEF∩平面 BCDE=DEF，A G′⊥EF. ∴A G′⊥平面 BCDE，即 G′为 A在平面 BCDE内的射影 G， ∴点 A在平面 BCDE内的射影 G在直线 EF上.……………………8 分过 G作 GH⊥DE，垂足为 H，连结 AH，则 AH⊥DE， ∴∠AHG是二面角 A—DE—C的平面角，即∠AHG=θ. ∴△AEF为直角三角形，AG·EF=AE·AF ∴AC= 3 2 a . 在 Rt△ADE中，AH·DE=AD·AE， ∴AH= 2a ，∴ 5 GH  a 52 ∴ cos GH AH   1 4 . ………12 分（19）本小题主要考查二项分布、分布列、数学期望等基础知识，考查学生运用概率知识解决实际问题的能力.满分 12 分. （I）解法一：ξ1 的概率分布为 1.18 1 2 1.2 1 6 ξ1 P Eξ1=1.2× +1.18× +1.17× 1 6 1 2 1.17 1 3 1 3 =1.18. …………3 分由题设得 B ,2( p ) ，即ξ的概率分布为 ξ2 P 1.3 1.25 1( p 2) 1(2 p  p ) 0.2 2p Eξ2=1.3× 所以ξ2 的数学 2) 1( p +1.25× 2p 21( ) p   =1.3－ =－ 2p －0.1p+1.3. 1(2 p  ( +2.5× ) p p  +0.2× 2p 2p ) +0.2× 2p ξ1 解法二：ξ1 的概率分布为 1.2 1 6 P 1.18 1 2 1 2 1.17 1 3 1 3 Eξ1=1.2× +1.18× +1.17× 1 6 =1.18. 设 Ai表示事件“第 i次调整，价格下降”（i=1,2），则 …………6 分 …………9 分 …………3 分

P P (  (    )0 )1 P (   )3     ( ( ) APAP 2 ( ( ) APAP 1 2 1(2 ). p p ( ( APAP 2 ) 1 )  ) ) 1 2 .) 1(  ( ( APAP  2 p ) 1 )  p 2 . 故ξ2 的概率分布为 1.3 ξ2 1.25 P 1( p 2) 1(2 p  p ) 0.2 2p Eξ2=1.3× 所以ξ2 的数学 2) 1( p +1.25× 21( ) p   =1.3－ 2p =－ 2p －0.1p+1.3. 1(2 p  ( +2.5× ) p p  +0.2× 2p 2p ) +0.2× 2p …………6 分 …………9 分（II）解：由 1  E E  2 ，得  2 p  1.0 p  18.13.1  ，整理得 ( p  )(4.0 p  )3.0  0 ，解得  4.0  p  .3.0 因为 0  p  ,1 所以，当 E  1  E 2 时，p 的取值范围是 0  p  .3.0 …………12 分（20）本小题主要考查平面向量的基本运算，圆与抛物线的方程，点到直线的距离等基础知识，以及综合运用解析几何知识解决问题的能力，满分 14 分. （I）证法一： |  OA  OB | |  OA  OB |,  2 OB )  ( OA  ( OA 2 OA  2 OA  OB  OB  OA 2 ,) OB  2 即 2  2 OA  OB  OB 2 , 整理得 OA OB .0  xx 21  yy 1 2  .0 ① ……3 分设点 M（x，y）是以线段 AB 为直径的圆上的任意一点，则 MA  MB .0 即 ( x  x 1 )( x  x 2 )  ( y  y 1 )( y  y 2 )  .0 展开上式并将①代入得 2 x  2 y  ( x 1  x 2 ) x  ( y 1  y 2 )  .0 故线段 AB 是圆 C 的直径. 证法二： |  OA  OB | |  OA  OB |,

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