自考高等数学(工本)00023讲义.PDF-资料库

（http://tieba.baidu.com/club/5346389）欢迎❤加入...欢迎❤交流...止不住的惊喜等着你......... 更多优质自考资料尽在百度贴吧自考乐园俱乐部自考高等数学 (工本)讲稿目录 1.函数与极限 2.导数与微分 3.不定积分 4.定积分及其应用 5.第一章空间解析几何与向量代数 6.第二章多元函数的微分学 7.第三章重积分 8.第四章曲线积分与曲面积分 9.第五章常微分方程自考乐园,自考学习交流、资料共享的好去处！自考乐园,自考人自己的家园.... 5346389 5346389 俱乐部 id：5346389 5346389（请牢记它哦~在百度贴吧的搜索框中输入俱乐部 id,可以直接进入俱乐部

函数与极限一、函数 (一)几个概念 1、邻域：点 a 的δ邻域-- U a δ ，点 a 的δ去心邻域-- ( , ) U a δ ) ( , 。 2、函数的有界性： X D M ⊂ ∃ , > ∀ ∈ x X f x M ( ) | < 0, ,| . 3、单调性 4、奇偶性 5、周期性(最小正周期) 6、反函数(求反函数的步骤，关于 (二)基本初等函数对称) x= y ± q p y = x xμ = 幂函数 cot x ,sec x , csc x ，反三角函数 arcsin x , arccos x ,arctan x , arccot x 。，指数函数 y x a= ，对数函数 loga y = x ，三角函数 sin x , cos x , tan x , 1 0.5 0 -0.5 -1 -2 5 0 -5 -1.5 sin(x) -1 0 1 2 tan(x) -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 sec(x) cos(x) 1 2 3 4 cot(x) 0.5 1 1.5 2 2.5 3 csc(x) 1 0.5 0 -0.5 -1 0 5 0 -5 0 10 5 0 -5 -1 0 1 2 3 4 arcsin(x) -10 0 1 3 2 4 arccos(x) 5 6 10 5 0 -5 -10 1 0 -1 -1 -0.5 0 0.5 1 3 2 1 0 -1 -0.5 0 0.5 1 1

arctan(x) arccot(x) 1 0 -1 -10 -5 0 5 10 3 2 1 0 -10 -5 0 5 10 由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次的函数复合运算的所构成并可用一个式子表示的函数称为初等函数。 (三)常用公式 1、幂指对公式：(1) a c b ⋅ b = ( ac ) b ；(2) b a c b b ⎛ = ⎜ ⎝ a c ⎞ ⎟ ⎠ ；(3) i a a b c a += b c ；(4)( a )cb a= c b (5) log a c b c= log b ；(6) log b = a a log log c c b a ；(7) log b a a b= ；(8) a loga b b= 3、三角公式 ● 三角函数基本关系 1 α+= cos sin α (1) 2 2 ； (2) tan α = ；(3) cot α = ；(4) tan α α= cot i 1 ； α α sin cos 1 cos sin α α 1 (5)sin csc α α= ；(6) cos 1 α α= ；(7) sec 2 sec α α− tan 2 = ；(8) 2 csc α α− cot 2 1 = ● 三角公式其它重要公式 sin sin cos ( ) α β ± = α β α cos ± sin β cos ( ) α β ± = cos α β α sin sin cos ∓ β tan ( ) α β ± = tan tan α β ± ∓ 1 tan an α β sin α β sin + = 2sin α β α − 2 cos + 2 β sin α β sin − = 2cos α β α − 2 sin + 2 β cos α + cos β = 2cos α β α − 2 cos + 2 β cos α − cos β = − 2sin α β α − 2 sin + 2 β sin sin α β = − 1 2 cos ⎡ ⎣ ( ) α β + − cos ( α ) −β ⎤ ⎦ cos cos α β = 1 2 cos ⎡ ⎣ ( ) α β + + cos ( α − ) ⎦β ⎤ sin cos α β = − 1 2 sin ⎡ ⎣ ( ) α β + + sin ( α ) −β ⎤ ⎦ sin 2 α = 2sin cos α α = 2 tan 1 tan + α 2 α tan 2 α = 2 tan 1 tan − α 2 α cos 2 α = 2 cos α − 2 sin = − 1 2sin 2 α = sin α 2 = ± 1 cos α− 2 2 = α 1 tan − 1 tan + 2cos α α 2 2 − α 1 2

cos α 2 = ± 2 sin α = 1 cos α+ 2 1 cos 2 − α 2 1 cos − 1 cos + 1 cos 2 + α α α 2 tan α 2 = ± = α 1 cos − sin α = sin α 1 cos + α 2 cos α = 二、极限 1、无穷小：极限为 0 的变量称为无穷小运算法则：(1) 有限个无穷小相加是无穷小 (2)有界函数与无穷小的乘积是无穷小 ● 有极限的变量与无穷的乘积是无穷小 ● 常数与无穷的乘积是无穷小 ● 有限个无穷小的乘积是无穷小 = ⇔ 2、无穷小与函数极限的关系： f x ( ) A f x lim ( ) x → x 0 = + A α x ( ) ⇔ f x ( ) − = A α x ( ) x 3、极限存在准则：(1)夹逼准则： n ≤ y n ≤ z n (2)单调有界准则 1 4、两个重要极限：(1) x lim x 0 → sin x = ， (2) lim(1 x → 0 + 1 ) x x e = x ∈ (0, π ) 2 ，sin x < < x tan x 5、无穷小的比较：(1)β是比α高阶的无穷小 iff lim (2)β与α是同阶无穷小 iff lim ≠ 0) (3)β与α是等价无穷小 iff lim (4)β是α的 k 阶无穷小 iff lim ≠ 0) 0β = α C Cβ ( = α 1β = α β k C C ( = α x ， arcsin ~x (5)11 个重要的等价无穷小： sin ~x x ， tan ~x x ， arctan ~x x ， 1 cos ~ − x tan x − n 1 + − x x 31 x 2 1 ~ ((1 sin ~ x n + ， a x − 1 ~ ln x a ， xe − 1 ~ x ， log (a 1 + x ) ~ x a ln ， ln(1 + x x ) α α 1 ~ − ) 21 x 2 x ) ~x (6)等价无穷小替换：若 ~α α′ ， ~β β′ ，且 lim 例： lim x 0 → tan x − sin 2 3 sin x x ′ β ′ α = A or ∞ ，则 lim limβ α = ′ β ′ α 。三、连续函数 1、定义： f x lim ( ) x → x 0 = f x ( 0 ) 或 lim x 0 Δ → y Δ = 0 左、右连续 2、间断点：第一类间断点(跳跃型、可去型)；第二类间断点(无穷型、振荡型) 3、闭区间连续函数的性质 (1)最大最小值定理有界定理 (2)介质定理：在闭区间上连续的函数必须取得介于最大值 M 和最小值 m 之间的任何值。零点定理，， 3

导数与微分 f x ( 0 ) = lim x 0 Δ → y Δ x Δ = lim x x → 0 f x ( ) x − − ) f x ( 0 x 0 f x ( ) 左右导数导数连续一、导数的定义与几何意义 f x ( 0 f x ( ′ 0 ) = lim x 0 Δ → f x ( = f x ( ) ′ 求导函数： lim x 0 Δ → 几何意义：切线低斜率二、求导数法则 + Δ − x ) x Δ x ) x Δ + Δ − u x 1、四则运算：[ ( ) ± ′ v x ( )] = u x ( ) ′ ± v x ( ) ′ [ ( ) u x v x ′ ( )] ⋅ = u x v x ( ) ( ) ′ + u x v x ( ) ( ) ′ ′ u x ( ) v x ( ) ⎡ ⎢ ⎣ ⎤ ⎥ ⎦ = u x v x u x v x ( ) ( ) ( ) ( ) ′ ′ − v x ( ) 2 v x ( ( ) ≠ 0) 2、反函数的导数： f x ( ) ′ = 1 yϕ ( ) ′ 3、复合函数求导：{ [ ( )]} ′ ϕ x f = f x ( ) [ ( )] ′ ′ ϕ ϕ x ⋅ 或 df dx = df du u ( du dx ⋅ = ( ϕ x )) 4、基本求导公式 )x 0C′ = μ ( ′ = 1 μμ − x x ( a a′ = ) x ln a ( e )x ′ = x e (log a x ) ′ = 1 ln x a x (sin ) ′ = cos x x (cos ) ′ = − sin x (tan )x ′ = 2 sec x (cot x ) ′ = − csc 2 x x (sec ) ′ = tan sec x x (csc ) ′ = − cot csc x x (arc x sin ) ′ = 1 − 1 2 x x (arccos ) ′ = 1 − x 1 − 2 x (arctan ) ′ = 1 x + 2 1 (ln )x ′ = 1 x x ( carc ot) ′ = 1 三、高阶导数： x (sin ) n ( ) = sin( 2 1 − x + d y n dx n n x π ) + 2 = d d n 1 − dx dx ⎛ ⎜ ⎝ n y 1 − ⎞ ⎟ 基本公式如下： ⎠ x (cos ) n ( ) = cos( n x π ) + 2 x (ln ) n ( ) = − ( 1) n 1 ( − n !− 1) x n u x v x [ ( ) ( )] ⋅ n ( ) = n ∑ k = 0 ( n k − ) u x v ( ) ⋅ ( k ) x ( ) (莱布尼兹公式) 四、隐函数求导(关键是抓住是对什么变量求导，认清谁是函数) 例： xy − x e + y e = ，求0 2 ,dy d y dx dx 。 2 对数求导法： y = ( x ( + x 1) + 3 4) x e 2 − x 1 y x= sin x 1

五、参数方程确定的函数求导：例： x = ⎧ ⎨ = y ⎩ a t t sin ) ( t a (1 cos ) − − ，求 x t ( ) y t ( ) ⇒ = dy dx dy dt dt dx ⋅ = y t ( ) ′ x t ( ) ′ x = ⎧ ⎨ y =⎩ ,dy d y dx dx 。 2 2 六、函数的微分 1、定义： y Δ = f x ( 0 + Δ − x ) f x ( 0 ) = ⋅ Δ + Δ A x⋅ Δ 称为线性主部，记为 dy。 A x o x ( ) 2、与导数关系：可微 iff 可导 dy ′= f x dx ( ) 3、微分基本公式与运算法 (由求公式直接得到) 如： d x (ln ) = 1 x dx d uv ( ) = vdu udv + d u v ⎛ ⎜ ⎝ ⎞ = ⎟ ⎠ vdu udv − v 2 4、微分形式不变性： dy ′= f u du ( ) --- u 可为任意变量或中间函数如： d [sin(2 x + 1)] = cos(2 x + 1) (2 d x + 1) 七、微分中值定理 1、罗尔定理：若 ( ) f x C a b D a b ( , ) [ , ] ∈ ∩ f a ，且 ( ) = f b ( ) ，则 ξ∃ ∈ ( , )a b ，使 ( ) 0 f ξ′ = 。 2、拉格朗日中值定理：若 ( ) f x C a b D a b ( , ) [ , ] ∈ ∩ ，则 ξ∃ ∈ ( , )a b ，使 f ( ) ′ ξ = f b ( ) f a ( ) − − b a y Δ = f xξ′ ( ) Δ 3、柯西中值定理：若 ( ), f x g x C a b D a b ( , ) [ , ] ( ) ∈ ∩ ，且 ∀ ∈ x a b ( , ) g x′ ， ( ) ≠ ，则 0 ξ∃ ∈ ( , )a b ，使 f g ( ) ′ ξ ( ) ′ ξ = f b ( ) g b ( ) − − f a ( ) g a ( ) 八、洛必达法则 ⋅∞ ∞ ∞ 七种未定式：， 0 ， ∞ − ，，1 0 0 ， x x − x tan f x 在含有 0x 的某开区间内具有直到 n+1 阶的导数，则当在(a,b)时， ( ) 九、泰勒公式：若 ( ) x lim x x → ∞ ， 0∞ tan x 2 lim x 0 → 例： 00 ∞ 0 f x 可以表示成 ()x x− 的 n 阶多项式与一个余项 ( ) nR x 之和(其中ξ介于 x 和 0x 之间)： 0 f x ( ) = f x ( 0 ) + f x ( ′ 0 )( x − x 0 ) + + f ) x ( n ( ) 0 n ! ( x − x 0 n ) + f ( n ( n ( ) 1) ξ+ 1)! + ( x − x 0 ) n 1 + 拉格朗日余项： R x ( ) n = f ( n ( n ( ) 1) ξ+ 1)! + ( x − x 0 ) n 1 + 皮亚诺余项： nR x ( ) = o x [( − x 0 ) ]n 2

常用的麦克劳林公式： x e = + + 1 x + x n n ! + e x θ n 1)! + ( n 1 + x ( 0 θ < < 1) sin x = − x cos x 1 = − x 3 3! x 2 2! + + − ( 1) m 1 − x 2 m (2 m 1 − 1)! − + R 2 m x ( ) ( R 2 m x ( ) = x ( 1) cos θ − 1)! (2 + m m 2 m 1 + x ) + + − ( 1) n x n 2 n (2 )! + o ( x 2 n 1 + ) ln(1 + x ) = − x x 2 2 + x 3 3 − + − ( 1) n 1 − x n n + n o ( x ) 1 x 1 − x (1 + = + + 1 x 2 x + ) α 1 = + x α + ( + 1) o ( x n) − αα ( 1) 2 x + + n − + n ( α ! 1) n x + n o ( x ) n + x − αα 2! 十、导数的应用 1、判断函数的单调性，求单调区间 2、求函数极值：驻点、奇点 f x ( ′ 0 定理 1 定理 2： ) 0, = f ( ′′ x 0 ) ≠ ，则 0 f x′′ 0( ) 0 > 极小。求最值。 3、判定函数的凸性，求拐点： f x′′ ( ) 0 < ，上凸； f x′′ ( ) 0 > ，下凹。 3

一、定义与基本公式 f x ( ) F x ( ) ′ 1、若 = ，则 f x dx F x C ( ) ( ) + ⇔ = ∫ 不定积分 F x dx F x C ( ) ′ ( ) + ⇔ = ∫ dF x ( ) = ∫ F x C ( ) + x 2 = + = + = ln dx dx 1 x kdx x C arcsin kx C 1 x 1 − e C e dx x = + xdx x C sin cos + = x C xdx cot 2csc = − + x xdx csc cot csc = − 2、基本积分公式 ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 二、换元积分法 (一)第一类换元法 x dx ( ) [ ( )] ′ ϕ ϕ 1 x − a 1 ln − a a 2 + arcsin x a 1 a − 1 − ∫ 例：1、 ln csc ln sin x C xdx xdx csc cot cot dx dx = = + = = a x x = 2 2 2 2 ∫ f 1 ∫ dx x 1 e x + 1 ∫ x 3 2 + − ∫ x cos sin 2 ⋅ x dx sin 2 +∫ x 4 cos 4 5 3、 5、 7、 1 x 2 − xdx x C + x C + = − ln | csc | x C + x C + x x + C + C x ( ) x x ∫ = e + 1 + dx f x d [ ( )] ϕ ϕ e − e x (有理化) dx (求 dx cos 2 ) 8、 + C ( μ ) 1 ≠ − = 1 μ + dx = 2 1 μ + x 1 arctan x C + = + ( C a > 0, a ≠ ) 1 a x a ln = − = xdx = − xdx sin xdx sec 2 x sec tan xdx tan x C cos + x C tan + sec = ln cos x C + x C + = ln | sec | x C + = ln sec 2 x xdx 1 + 1 x − 1 ± 2 2 a dx = dx = dx 2 x + tan 1 arctan x a a 1 ln + a 2 − ln a a + x x C + + C x x x + C 2 ± 2 a + C = x dx μ ∫ 1 +∫ x 1 ∫ a dx x ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ sec ∫ ∫ ∫ a a 2 2 x = F 2、 4、 F x ( ) x C+ [ ( )] ，设 ′ ϕ 1 1 ) x + xe x 2 1 dx dx ( 1 cos + x 6、 cos3 cos 2 xdx −∫ (1 +∫ 1 cos ∫ x ∫ 4 x− 1 arcsin 2 dxx 2 = f x ( ) x = 2cos 2 x 2 ) 9、 ∫ x 1 1 ln + dx x ● 常见的 12 种凑微分形式： 1、 ∫ f ax b dx ( + ) = f ax b d ax b ( + ) () + ∫ 2、 ∫ f ax ( n + n b x dx ) 1 − 1 a = 1 na ∫ f ax ( n + b d ax ) ( n + b ) 1

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