北航 2010《应用数理统计》考试题及参考解答 一、填空题（每小题 3 分，共 15 分） 1，设总体 X 服从正态分布 (0, 4) N 服从的分布是_______ . 解： (10,5) F ． ，而 1 X X ( , X , 2 15 ) 是来自 X 的样本，则 U  2， ˆ n 是总体未知参数的相合估计量的一个充分条件是_______ . 2 X 1 2( X 2 11 2 X    10 2 X    15 ) 解： E    ) , lim Var( ) 0  ． lim ( n  ˆ n ˆ  n n  3，分布拟合检验方法有_______ 与____ ___. 解： 2 检验、柯尔莫哥洛夫检验． 4，方差分析的目的是_______ . 解：推断各因素对试验结果影响是否显著． 5，多元线性回归模型  Y βX 中，β的最小二乘估计 ˆβ的协方差矩阵  ˆβCov( ) = _______ . 解： Cov(β) = ˆ  2 ( )XX ．  1  二、单项选择题（每小题 3 分，共 15 分） 1，设总体 ~ X X N X X (1, 9) ， 1 ( , , , 2 9 （A） （C） 1 ~ 1 ~ X X  3  9 N (0, 1) ； N (0, 1) ； ) 是 X 的样本，则___B___ . （B） （D） 1 ~ X  1 X 1 ~  3 N (0, 1) ； N (0, 1) ． 2，若总体 2 X N   (  , ) ，其中 2 已知，当样本容量 n 保持不变时，如果置信度1  减小，则的 置信区间____B___ . （B）长度变小； （A）长度变大； 3，在假设检验中，就检验结果而言，以下说法正确的是____B___ . （A）拒绝和接受原假设的理由都是充分的； （B）拒绝原假设的理由是充分的，接受原假设的理由是不充分的； （C）拒绝原假设的理由是不充分的，接受原假设的理由是充分的； （D）拒绝和接受原假设的理由都是不充分的. （C）长度不变； （D）前述都有可能. 4，对于单因素试验方差分析的数学模型，设 TS 为总离差平方和， eS 为误差平方和， AS 为效应平方 和，则总有___A___ . S （A） T  S e  ； S A （B） AS 2   2 ( r  1) ； 1 

（C） S S A e 1) /( r  ) /( n r   ( F r  1, n r  ) ； （D） AS 与 eS 相互独立. 5，在多元线性回归分析中，设 ˆβ是β的最小二乘估计， ˆ    Y βX 是残差向量，则___B____ . ˆ （A） ˆ    0 ； n （B） Cov( ˆ  ) = 2  [ I n  X ( XX )   1 X  ] ； （C） ˆ ˆ   p   1 n 是 2 的无偏估计； （D）（A）、（B）、（C）都对. 三、（本题 10 分）设总体 2 X N   1(  , ) 、 2 Y N   2(  , ) ， ( X X 1 , 2 , X , )n 1 和 ( , Y Y 1 2 , , Y )n 2 分别 是来自 X 和Y 的样本，且两个样本相互独立，X Y、 和 2 S X S、 分别是它们的样本均值和样本方差，证明 2 Y  1 n 1 1 (   2   1 n 2 )  ( t n 1  n 2  2) ， ( ) X Y  S 其中 2 S   ( n 1  1) S n 1 2 X   n 2 ( n  2 2  1) S 2 Y . 证明：易知 X Y N   (   2  1 , 2 2   n n 1 2  ) ， U  ( X Y   )  1 n 1 (   2 )  N (0,1) ．  1 1 n 2  由定理可知 ( n 1 S 2 X 1)  2   2 ( n 1  1) ， ( n 2 S 2 Y 1)  2   2 ( n 2  1) ． 由独立性和 2 分布的可加性可得 (  V n 1 1)  2  由U 与V 得独立性和t 分布的定义可得  1 n 2 ) X Y  S (   2   1 n 1 ( 1 S 2 X ( n 2  S 2 Y 1)  2   2  ( n  n 2 1  2) ． )  U  /( V n 1 n 2  2)  ( t n 1  n 2  2) ． 四、（本题 10 分）设总体 X 的概率密度为 ( ; f x )          2 1 , 0 2  1 2(1  0, , )   其他，   x ,    x 1, 其中参数 0    （ 1) 

未知， 1 2 ( X X X， ， ， 是来自总体的一个样本， X 是样本均值，（1）求参数 )n 的矩估计量  ˆ （2）证 ；  明 24X 不是 2 的无偏估计量． 解：（1） E X ( )     ( , xf x )  dx   0  x 2  dx  1   x  )  2(1 dx   1 4  2 ， ，代入上式得到 的矩估计量为 ˆ X 2 )  ． 1 2 令 X E X  ( （2） (4 E X 2 )  4 EX 2  4[ DX  ( EX 2 ) ] 4     1 n DX  ( 1 4  1 2 2 )      4 n DX      1 4 ， 因为 ( D X ) 0  ， 0 ，所以 E X  ．故 24X 不是 2 的无偏估计量． (4 ) 2 2 五、（本题 10 分）设总体 X 服从[0, 样本，试求参数的极大似然估计． 解： X 的密度函数为 ] (   上的均匀分布， 1 , X X 0) ( , X 是来自总体 X 的一个 )n 2 似然函数为 ( , f x )      1 , 0  0, ;  x   其他, L ( )     1 , 0 n  0,  ix  ,  i  1,2, ,  , n 其它 显然 0 时， ( )L  是单调减函数，而  max  , x x 1 2 ,  ，所以 x ,  n ˆ max   , X X 1 2 ,  , X  n 是的 极大似然估计． 六、（本题 10 分）设总体 X 服从 (1, B 个 UMVUE． 证明： X 的分布律为 ) p 分布， 1 , X X ( , X 为总体的样本，证明 X 是参数 p 的一 )n 2 ( ; f x p )  p x (1  p ) 1 x x ,  ． 0,1 容易验证 ( ; f x p 满足正则条件，于是 ) 另一方面 ( I p )  E     p  ln ( ; f x p ) 2     1 (1  p ． p ) Var( X )  1 n Var( X )  ) p  (1 p  n 1 ( nI p ) ， 3 

即 X 得方差达到 C-R 下界的无偏估计量，故 X 是 p 的一个 UMVUE． 七、（本题 10 分）某异常区的磁场强度服从正态分布 N   ，由以前的观测可知 0 0( 56  ．现有 ) , 2 一台新仪器, 用它对该区进行磁测, 抽测了 16 个点, 得 x  61, s 2  400 , 问此仪器测出的结果与以往相 比是否有明显的差异(α=0.05)．附表如下： t 分布表 χ2 分布表 n 14 15 16 α=0.1 1.3450 1.3406 1.3368 α=0.05 α=0.025 1.7613 1.7531 1.7459 2.1448 2.1315 2.1199 n 14 15 16 α=0.1 21.064 22.307 23.342 α=0.05 α=0.025 23.685 24.996 24.296 26.119 27.488 28.845 解：设 0H ：   0  56 ．构造检验统计量 X t  )15(~0 t ，  s n 确定拒绝域的形式  t      t 2 ．由 05.0 ，定出临界值 t 2/  t .0 025  .2 1315 ，从而求出拒绝域 .2t  1315 ． 而 n  ,16 x  60 ，从而 | t |  x  0 s n   60 56 20 16  0.8 2.1315  ，接受假设 0H ，即认为此仪器测 出的结果与以往相比无明显的差异． 八、（本题 10 分）已知两个总体 X 与Y 独立， X   ， ~ ( ) , 2 1 1 Y   ， ~ ( ) , 2 2 2     未知， 1 , , , 2 1 2 2 2 ( X X 1 , 2 , X , )n 1 和 ( , Y Y 1 2 , , Y )n 2 分别是来自 X 和Y 的样本，求 2  1 2  2 的置信度为1  的置信区间. 解：设 S 2 1 , S 2 2 分别表示总体 YX ， 的样本方差，由抽样分 布定理知  P F  / 2 ( n 1  1, n 2 1)   F F 1    / 2 ( n 1  1, n 2  1)  1   ，  则 所求 2  1 2  2 P    2 S 1 ( n 1 2 / S 2 1,  F 1   / 2 n 2  1)  2  1 2  2  2 S 1 n 1 /  S 1, 2 2 n 2     1) F  / 2 ( 1    ， 的置信度为 1 的置信区间为    2 S 1 ( n 1 2 / S 2 1,  F 1   / 2 n 2  1) , 2 S 1 n 1 /  S 1, 2 2 n 2    ．  1) F  / 2 ( 九、(本题 10 分)试简要论述线性回归分析包括哪些内容或步骤． 4