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2019-2020年北京市东城区高二数学下学期期末试题及答案.doc
2019-2020 年北京市东城区高二数学下学期期末试题及答案
本试卷共 4 页，共 100 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试
卷上作答无试效。考结束后，将答题卡一并交回。
一、选择题 共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符
第一部分（选择题共 40 分）
合题目要求的一项。
(1)
(3
x
61
)
x
展开式中各项系数之和为
(
)2
A
6
(
B
6
)3
(
)4C （
6 D)1
（2）已知函数 y＝f（x）在
x
x 处的导数为 1，则
0
lim
0
x
(
f x
0
)
x
x
2
(
f x
0
)
(A) 0 (B)
1
2
(C) 1
(D)
2
（3）若变量 x，y之间是线性相关关系，则由以下数据表得到的回归直线必过定点
（A) (2，6)
(B) (3，8)
(C) (4，9)
（D） （5，10）
（4）3 位老师和 4 名学生站成一排，要求任意两位老师都不相邻，则不同的排法种数
为
(A)
7
A
7
(B)
4
A
4
3
A
3
(C)
4
3
A A
4
3
(D)
4
3
A A
1
5
（5）已知随机变量 X服从二项分布，即 X～B（n，p），且 E（X）＝2，D（X）＝1．6，
则二项分布的参数 n，p的值为
(A)
n
4,
p
(C)
n
8,
p
1
2
1
4
(B)
n
6,
p
1
3
1
5
(D)
n
10
,
p
（6）设两个正态分布
则有
N 和
0)
)(
(
,
N 的密度曲线如图所示，
0)
)(
(
,
2
1
1
1
2
2
2
2
)
(
A
2
1
)
(
C
2
,
,
2
1
1
2
1
(
(
)
B
2
1
)
D
2
,
,
1
2
1
2
1
（7）某小组有 5 名男生、3 名女生，从中任选 3 名同学参加活动，若 X表示选出女生
的人数，则 (
P X
2)
(A)
1
7
(B)
15
56
(C)
2
7
(D)
5
7
（8）若从 1，2，3，…， 9 这 9 个整数中同时取 3 个不同的数，其和为奇数，则不同
的取法共有
（A）36 种
（B）40 种
（C）44 种
（D） 48 种
(9)设函数 f(x)在 R上可导，其导函数为 ( )
x ，且函数 (1
y
f
)
x f
( )
x
的图象如图
所示，则下列结论中一定成立的是
(A)f(x)有极大值 f(－2)
（B） f（x）有极小值 f（－2）
(C)f(x)有极大值 f(1)
(D)f(x)有极小值 f(1)
（10）某企业拟建造一个容器（不计厚度，长度单位：米），该容器的底部为圆柱形，
高为 1，底面半径为 r，上部为半径为 r的半球形，按照设计要求容器的体积为
28
3
立方
米．假设该容器的建造费用仅与其表面积有关，已知圆柱形部分每平方米建造费用为 3 万元，
半球形部分每平方米建造费用为 4 万元，则该容器的建造费用最小时，半径 r的值为
(A) 1
(C) 4
3
3
(B) 2
D（
)2
第二部分（非选择题共 60 分）
二、填空题共 5 小题，每小题 4 分，共 20 分。
（11）在
(
x
2
的展开式中， 3x 的系数为________（用数字作答）
52
)
x
（12）给出下列三个结论：
①若 y
x ，则
y
1
2
x
②若
y
x
e ，则
y
x
；
e
③若 cos
y
x
，则
y
sin
x
．
其中正确结论的序号是________
（13）盒子中有 4 个白球和 3 个红球，现从盒子中依次不放回地抽取 2 个球，那么在
第一次抽出白球的条件下，第二次抽出红球的概率是________
（14）某年级举办线上小型音乐会，由 6 个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲
必须排在前两位，节目丙必须排在节目乙的下一个，则该小型音乐会节目演出顺序的编排方
案共有________种． （用数字作答）
（15）已知函数
( )
f x
x
e
3
,
( )
g x
1
2
ln
x
2
小值为________
，若 f（m）＝g（n）成立，则 n－m的最
三、解答题共 5 小题，共 40 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
（16） （本小题 8 分）
已知函数
( )
f x
21
x
2
2
x
3ln
x
(Ⅰ)求曲线 y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；
(Ⅱ)求 f(x)的单调区间．
(17) （本小题 8 分）
为了迎接冬奥会，某中学推广冰上运动，从全校学生中随机抽取了 100 人，统计是否爱
好冰上运动，得到如下的列表：
参考附表：
参考公式：
2
K
(
(
)
n ad bc
)(
2
)(
a b c d a c b d
)(
，其中 n＝a＋b＋c＋d
)
(I) 补全 2x2 联表；
（Ⅱ）能否在犯错误的概率不超过 0．05 的前提下认为“爱好冰上运动与性别有关"？
请说明理由．
(18)(本小题 8 分)
2020 年 5 月 1 日起，《北京市垃圾分类管理条例》正式实施，某社区随机对 200 种垃
圾辨识度进行了随机调查，经分类整理得到下表：
辨识率是指：一类垃圾中辨识准确度高的数量与该类垃圾的种类数的比值．
（Ⅰ）从社区调查的 200 种垃圾中随机选取一种，求这种垃圾辨识度高的概率；
（Ⅱ）从可回收物中有放回的抽取三种垃圾，记 X为其中辨识度高的垃圾种数，求 X
的分布列和数学期望．
（19） （本小题 8 分）
已知函数
( )
f x
2
x
x
e
．
(Ⅰ)求 f(x)的极值；
（Ⅱ）若函数
y
( )
f x
在定义域内有三个零点，求实数 a的取值范围．
ax
(20)(本小题 8 分)
设集合
nS
{ ,
n n
1,
,2
n
1}
，若 X是 nS 的子集，把 X中所有数的和称为 X的“容
量”（规定空集的容量为 0），若 X的容量为奇（偶）数，则称 X为 nS 的奇（偶）子集．
（Ⅰ）当 n＝3 时，写出 nS 的所有奇子集；
（Ⅱ）求证：当 n≥3 时， nS 的所有奇子集的容量之和等于所有偶子集的容量之和；
（Ⅲ）当 n≥3 时，求 nS 的所有奇子集的容量之和．
2019-2020 年北京市东城区高二数学下学期期末试题参考答案
一、选择题（共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分）
（1）A
（6）C
（2）B
（7）C
（3）B
（8）B
（4）D
（9）A
（5）D
（10）C
二、填空题（共 5 小题，每小题 4 分，共 20 分）
（11）
5
8
（14） 42
（12）①③
（15） 1 ln 2
（13）
1
2
注：（12）题给出的结论中，有多个符合题目要求。全部选对得4分，不选或错选得0分，
其他得2分。
三、解答题（共 5 小题，共 40 分）
（16）（共 8 分）
解：由题意可知函数 ( )
21
x
2
（Ⅰ）因为
( )
f x
f x 的定义域为 (0,
2
x
3ln
x
，
所以
'( )
f x
因为
f
(1)
，
x
2
3
x
f
．
4
'(1)
3
2
，
) ．
………1 分
………2 分
………3 分
y
所以曲线
( )
f x
f x 的定义域为 (0,
在点 (1,
) ．
（Ⅱ） ( )
(1))
f 处的切线方程为8
x
2
y
．………4 分
5
0
………5 分
因为
'( )
f x
2
x
3
x
x
3
(
x
2
x
2
x
x
3)
，
1)(
x
由 '( )
x ，得 1
0
f
x ．
3
1
x ， 2
) ，
f x 的定义域为 (0,
因为函数 ( )
当 x 变化时， '( )
f
x ， ( )
f x 的变化情况如下表：
3
0
(0,3)
x
'( )
f
x
( )
f x
………6 分
(3,
)
单调递减
极小值
单调递增
………7 分
f x 的单调递增区间为 (3,
所以， ( )
( )
f x 的单调递减区间为 (0,3) ．
) ，
………8 分
（17）（共 8 分）
解：（Ⅰ）
男生
女生
共计
爱好
10
40
50
不爱好
20
30
50
共计
30
70
100
共需要填 6 个空，对 2 个空
对 4 个空
全对
（Ⅱ）由题可知，
……1 分
………2 分
………4 分
2
K
=
(
2
)
(
n ad bc
)(
a b c d a c b d
)(
)(
，经过计算， 4.762
k
，………7 分
)
参照附表，所以在犯错误的概率不超过 0.05 的前提下，
可以认为“爱好冰上运动与性别有关”．
………8 分
（18）（共 8 分）
解：（Ⅰ）由题意可知，样本中垃圾种类一共 200 种，
辨识度高的垃圾种数是： 70 0.9 60 0.6 30 0.9 40 0.6 150
+
+
+
=
．………1
分
所求概率为 150
200
0.75
．
（Ⅱ） X 的可能取值为 0,1, 2,3 ．
(3,0.6)
依题意可知，
B
X
………3 分
………4 分
．
(
P X
0)
0
C
3
(1 0.6) 0.064
=
3
，
(
P X
1)
1
C
3
0.6(1 0.6)
2
0.288
=
，
(
P X
2)
2
C
3
2
0.6 (1 0.6) 0.432
=
，
(
P X
3)
3
C
3
3
0.6 0.216
=
．
………6 分
所以 X 的分布列为
X
P
0
0.064
1
0.288
2
0.432
3
0.216
………7 分
………………8 分
2)
x
． ………1 分
E X
3 0.6 1.8
．
(
)
（19）（共 8 分）
解：由题意可知函数 ( )
f x 的定义域为 R ．
（Ⅰ）因为
( )
f x
x
2
ex
，
所以
'( )
f x
2
x
e
x
2
x
x
e
e
x
2
x
(
e
x ， 2
2 )
x
2
x
(
x
0
f
0
x ．
由 '( )
x ，得 1
当 x 变化时， '( )
x ， ( )
f x 的变化情况如下表：
, 2)
(
f
x
'( )
x
f
( )
f x
单调递增
2
0
4
2
e
( 2,0)
单调递减
………2 分
0
0
0
(0,
)
单调递增
………3 分
4
2
e
．
0
因此，当
x 时， ( )
f x 有极大值，并且极大值为
2
( 2)
f ；
当 0
x 时， ( )
f x 有极小值，并且极小值为 (0)
f
（Ⅱ）因为
y
( )
f x
，
ax
………4 分（全对给 1 分）
x
)
a
．
2
x
x
x
y
e
(
x
ax
所以
e
所以 0x 为一个零点．
a
x
所以“函数
2exx
y
在定义域内有三个零点”可以转化为
“方程
a
x 有两个非零实根”．
ex
………5 分
令 ( )
h x
x ，则 '( )
e x
x
h
x
e
x
x
e
(
x
1) e
，
x
所以，当
x 时， '( ) 0
h x ， ( )h x 在 (
1
h x ， ( )h x 在 ( 1,
x 时， '( ) 0
上单调递减；
)
上单调递增．
, 1)
1
当
当
x 时， ( )h x 有最小值
1
( 1)
h ．
1
e
若方程
a
x 有两个非零实根，则
ex
( 1)
h
………6 分
1
e
a ，即
a ．
1
e
恒成立，不存在零点，………7 分
a
0
x ， e
, 1)
x
又 0a ， (
所以 0a ．
x
综上，
．
a
0
1
e
所以当
1(
a
e
,0)
时，函数
y
( )
f x
在定义域内有三个零点．
ax
………8 分
（20）（共 8 分）
（Ⅰ）解：当 3
n 时，
nS
{3,4,5}
．
nS 的所有奇子集为{3}{5} {3,4} {4,5}
， ， ， ． ………3 分（少写或写错扣 1 分）
（Ⅱ）证明：首先证明 nS 的奇子集与偶子集个数相等．
S ，对于 nS 的每个奇子集 A ，
k ．
且
设奇数
}
x
k
n
当 k A 时，取 { |
B A
当 k A 时，取
x x A
{ }
k
B
，则 B 为 nS 的偶子集．
反之，亦然．
所以， nS 的奇子集与偶子集是一一对应的．
所以， nS 的奇子集与偶子集个数相等．
对于
S ， 1i ，含 i 的 nS 的子集共有 12 n 个，
i
n
…4 分
其中必有一半是奇子集，一半是偶子集，从而对于每个数i ，在奇子集的和与
偶子集的和中，i 所占的个数是一样的．
所以 nS 的所有奇子集的容量的和与所有偶子集的容量的和相等． …6 分
（Ⅲ）解：由于每个元素在奇子集中都出现 22 n 次，故奇子集的容量和为
(
n n
1
L
2
n
1) 2
n
2
(3
n n
1) 2
n
3
．
………8 分
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