第 1 章物理学力学数学 微积分初步习题解答 1 第 1 章物理学力学数学 微积分初步习题解答 1．求下列函数的导数 ⑴ y  3 2 x  4 x  10 ⑵ y  /1 x  sin7 x  8 cos x  100 ⑶ y  ( ax  b /() a  bx ) ⑷ y  sin 1  2 x ⑸ y  sin xe ⑹ y x   e  100 x ⑵ ⑶ ⑷ 解：⑴ ' y ' y ' y  '  '  6' y  2/(1  2 ( a   cos( 1  cos x sin x e e 4 x  7) cos xx x  2 2 /() ) a bx b  2/12 1( ) · x  1 2 1 1/ x   cos x )1(  100 100 y y ⑹ ⑸  x  2  x  sin8 x 2 ) 2/1  2· x x 2  x  e 2 ． 已 知 某 地 段 地 形 的 海 拔 高 度 h 因 水 平 坐 标 x 而 变 ， h=100-0.0001x2(1-0.005x2)，度量 x 和 h 的单位为米。问何处的高度将取 极大值和极小值，在这些地方的高度为多少？ 解：先求出 h(x)对 x 的一阶导数和二阶导数： 3 10( 2 x   d dh dx dx 2 2( 2 10   hd d dx 2 dx 5 10  4 10 2   2 )  10 6  10  6 10   10 6  x x ) x 3 x x 4 7 2 4 2 2 6    10 4   4 x 令 dh/dx=0，解得在 x=0,10,-10 处可能有极值。∵d2h/dx2|x=0<0,∴x=0 是 极 大 值 点 ， h(0)=100 ； ∵ d2h/dx2|x=10>0, ∴ x=10 是 极 小 值 点 ， h(10)=99.0005 米；显然，x=-10 亦是极小值点，h(-10)=h(10). 3．求下列不定积分  dx )1 3   x x ( 3 ⑴ ⑵ x 2(  2 x ) dx  ⑶ ⑸ ⑺ ⑼ )11(      ( 3 x  x 2 e  1 xx ) dx 2 2 x 2  x 1  e dx x dx x cos xdx 2 sin cos 2 xdx ⑷ ⑹ ⑻ ⑽ )12(      (sin sin( x  ax  ) dx x cos ) dxb dx ax  xe  b 2 x dx x ln x dx 2 x x 3 x   dx x  xdx dx   x 2 e 3 dx   2 x    解： 3 )1 3 ( x dx x x     2 2( 2 ) x dx dx   ) 3 2 ( dx e    3 1 x xx x ln3 2 x c e    2 x  (sin ) sin cos dx xdx x x       2 2 dx dx dx    1 1 x dx x   2 1 1 1 x x x     sin( sin( () ) ax axdb dxb ax    1 a  2 2 2 x x )2(    e e d x e dx    1 1 2 2  2/1 ( ) ) (  axd b ax     1 a sin (sin cos ) xdx xd x x    2 x ) ( dx d x e e    1 1 2 2  2 cos )2 1( x dx x xdx     1 1 2 2  2 ) (ln (ln ) ln xd c x x    1 2 dx ax b  2 sin  xe  cos  ln x x 2 a 1 3 x  b  dx 2  x x 2 2 2 ⑴ ⑵ ⑶ ⑷ ⑸ ⑹            ⑽ )11( )12( ⑼ ⑻ ⑺ cos cos xdx x  arctgx c x   cos( ) b   1 a c  ax 3 sin   x c b  c 2 c 2sin 1 4 x  c  3 2 2 x  x c 4   dx  3 x x  1 2 2ln 3   x dx  x 1 4 c  2/3 dx  sin x  c ax  b )  c 

第 1 章物理学力学数学 微积分初步习题解答 2 第 1 章物理学力学数学 微积分初步习题解答 4. 求下列定积分 x  )1 dx ⑵ x  ) dx 1 x ⑹ x ( e 1  0 4/ π cos  6/ π 4  )1 e x dx ⑶ 2/1  2/1  dx 1 x  2 ⑷ e  1 x ln1  x dx 2 xdx ⑺ 1  0 1 1 x  2 dx π ⑻ 2/ 3(  0 x  sin 2 x ) dx 解：⑴ 2  （ 1 x  )1 dx  2/1 x dx  2  1 dx  2  1 x 4  )1 e x dx  1  0 x ( e 4  )1 ( ed x  )1  dx 1 x  2  arcsin x 2/1 | 2/1   π 3 60  3 2 x 2 | 1  x 2 | 1  24 3  5 3 x ( e 5  )1 1 | 0  1 5 ( e  )1 5 2 3 1 5 ln1  x x dx  e  1 1(  ln 1() dx  ln x )  1(  ln x ) 2 1 2 e | 1  5.1 e x  1 x ) dx  x ( e  ln x 2 |) 1  2 e  e 2ln 4/ cos  6/ 2 xdx  1 2   4/ cos  6/ 2 xd )2( x  1 2 |2sin  x  4/ 6/  1 2 3 4 dx  arctgx 2 1 | 0   4/  45  2  （⑴ 1 2  1 ⑸ ( e e ( ⑵ ⑶ ⑷ 1  0 2/1  2/1  e  1 2  1 π ⑹ π 1  0 π ⑻ ⑺ ⑸ ( 1 1 x  0  sin 2/   xdx  1   2/ sin 2/   xdx  0 6．计算由 y=3x 和 y=x2 所围成的平面图形的面积。 解：如图所示，令 3x=x2,得两 条曲线交点的 x 坐标：x=0,3. 面积 y A 3 xdx  3   0 (  3 2 2 x  1 3 3  0 x x 2 dx 3 |) 3 0  5.4 0 3 x 7．求曲线 y=x2+2,y=2x,x=0 和 x=2 诸线所包围的面积。 解：面积 A y 2 ( x  )2 dx  3 x  2 x  2 x 1 3 2  0 ( 8 3    2 2  0 2 |) 0 xdx A 0 2 x 8．一物体沿直线运动的速度为 v=v0+at,v0 和 a 为常量，求物体在 t1 至 t2 时间内的位移。  ( tv 0  1 2 2 at |) t 2 t 1  ( tv 0 2  t 1 )  2 1 2 ( ta 2  2 t 1 ) -π/2 - t t1 t2 y + 0 π/2 x 2/ 3(  0 x  sin 2 x ) dx  2/  3  0 xdx  1 2 2/  1(  0  cos )2 x dx  3 8 2   1 4  计算 2/ sin .5 0  、   xdx  0 x 的函数图形上用面积表 sin 2/ xdx 以及 )( xf  sin   2/ sin 2/   示这些定积分。 解：  2/ sin  0 xdx  cos x  2 0 |  1 xdx , 并在 解：位移 S  t 2  t 1 ( 0 v  at ) dt v v0 

第 1 章物理学力学数学 矢量习题解答 3 第 1 章物理学力学数学 矢量习题解答 1．2．3．4．5．6．7．略 0.5×4.5=0.5。 cos(  , BA )    BA AB  .0 , 0308 ( 夹角  , BA )  24.88  8．二矢量如图所示 A=4,B=5,α=25º,β=36.87º,直接根据矢量标积  定义和正交分解法求 BA  。  解：直接用矢量标积定义：  BA  AB cos( 90  )   4 用正交分解法：∵Ax=4cosα=3.6 B y β 0 A α x Ay=4sinα=1.7, Bx=5cos(90º+β)= - 5sinβ= -3,By=5sin(90º+β)=5cosβ=4  BABA  x  BA y y x  47.1)3(6.3   4 11．已知    CBA   ,0 证明：用已知等式分别叉乘       BCBBBA    CCBBAA  ,  ,     ,0 均为零， ,           . ACCBBA      ACABAA  求证  , CBA    CCCBCA      ACCBBA 有,      .0        0 其 中 ， ∴ A  9． 已知  A  ˆ i  j  ,ˆ iBj  BA  ,ˆ2ˆ2ˆ k   , BA cos( AB )  A 与求  cos(  B 的夹角。  , BA ) 解：由标积定义 2 1  cos( 2 )1(   , BA )   3  23 ,2   2 2 , B  2 1  )2( 2 两矢量夹角（ 2 2   , BA ,3  ) 135  12．计算以 P (3,0,8)、Q (5,10,7)、R (0,2,-1)为顶点的三角形的面积。 解：据矢积定义，△PRQ 的面积 |2 1 R(0,2,-1) PQ OP OR PR PR    |, = y Q(5,10,7) A  3 ,ˆ9ˆ2ˆ3 i k   j  ˆ2 i  ˆ10 j  ˆ k . PQ  OQ  OP  o x z P(3,0,8) ，而   BA AB  BA   10．已 知   BA   ˆ5ˆ3 i j     ˆ BAk ，  的夹角。 解：将已知两式相加，可求得  A   ˆ4ˆ4 i j     BA 与求 ,ˆ k PR  PQ ˆ i 3  2 ˆ j 2 10 ˆ k 9  1   ˆ88 i  ˆ21 j ˆ34 k  ˆ5.0ˆ5.3 j  i ；再将已知两式相 | PR  PQ |  2 88  2 21  2 34  ,6.96  PRQ 面积 A  6.96 2  3.48 减，可求得  B  ˆ5.4ˆ5.0 j  i  .ˆ k  A 2 5.3  2 5.0  5.3 ， B  )5.0(  2  2 5.4  )1( 2  ,64.4  BA  )5.0(5.3   13． 化简下面诸式 解：⑴ (    BACCCBA        ( )  A  ) (    BCBA    ) 

第 1 章物理学力学数学 矢量习题解答 4 第 1 章物理学力学数学 矢量习题解答   BCBAABACCBCA            ˆ i  ˆ( j  )ˆ k  ˆ j ˆ( i  )ˆ k  ˆ k ˆ( i  ˆ j )ˆ k ⑵ 0 j k ) ˆ j ˆ j ˆ i     ˆ k 2(    ( ) ( AC     ) ACB  ˆ ˆ i k   ( BA  ⑶      ( ( ) 2 ACA CBA         2 BCACABABCBCA    CA ˆ2ˆ2 k i   CB   B          BA         ) ( ( ) )   BA  ) i i 求 16． 已知  A  ˆ)21( i  t 2  t  e ˆ j  ˆ k ，求  Ad dt ,  2 Ad 2 dt . 解：  Ad dt  d dt ˆ)21[( i  t 2  t  e ˆ j  ]ˆ k  ˆ4 it  t  e ˆ j  2 Ad 2 dt  d dt ˆ4( it  t  e )ˆ j  ˆ4 i  t  e ˆ j 17．已知  A  ˆ t 3  ie  4( t 3  ˆ) j t   ,ˆ Bkt  2 4 t ˆ3ˆ i jt  ，  ( BAdt  d 解： )  BABA  x  BA y y  BA z z x     BA  ) ( d dt t  4 3 t e 2 12  et 2 t 3 4(3 t t  4 12 t    3 t ) t 2 12( 2 et  t  12 t 4  2 )3 t d dt j k  0  2(12 t  t 2 ) e  t  48 t 3  6 t 14．计算下面诸式 )ˆ k ˆ(ˆ j i  解：⑴  ˆ(ˆ i k  )ˆ j ˆ(ˆ j k   )ˆ i ˆ j ˆˆ i i 3    ) AAB  ˆ ˆ ˆ j kk    ) ABA ⑵    ( (  ) (     [( )] 证明：   BCA    ) ) BA  15．求证：     )] [( ) ( BCA BA              ( ) BCBAA BCBAB             ) ) ( BCA BAB BAA             ) ( ) BCA AAB BBA          ) BCA CBA    )  )  )      ( ( ( (     ( ( (       CBA    ( ) )   BCB    BBC       ( ( ) )