doi:10．3969/j．issn．1001－358X．2015．04．30整体最小二乘(TLS)在数字化曲线拟合中的应用高笔清，廖彩艳，曾昭亮，杨明(江西理工大学大学，江西，赣州341000)摘要:整体最小二乘方法(TLS)以其同时考虑系数矩阵和观测值的误差而作为一种较新的平差方法出现。文中通过阐述整体最小二乘算法基本思想，然后对曲线方程进行线性化，最后结合实例详细解算并分析整体最小二乘在曲线拟合中的应用，验证了该方法的有效性和可行性。关键词:整体最小二乘;最小二乘;线性化;曲线拟合中图分类号:P228文献标识码:B文章编号:1001－358X(2015)04－0094－03在误差理论与测量平差基础［1］中，了解并学习了最小二乘方法(LS)基本思想，并应用于数字化曲线拟合中。在经典的最小二乘里，通常情况下是假设偶然误差仅存在于观测向量中，而系数矩阵不含误差。然而在实际生活中，往往由于观测条件的限制，观测向量、系数矩阵都有可能存在误差。无论是线性还是非线性，拟合的实质都是使其更接近于真实。整体最小二乘估计方法作为经典最小二乘估计方法的扩展［2－10］，已被广泛地应用于信号处理、计算机视觉、图像处理、通信工程以及大地测量与摄影测量等测绘相关领域，成为各专业领域进行数据处理的基本方法。同时，整体最小二乘理论和应用研究也是目前国内外研究的热点问题。本文结合实例详细解算并分析整体最小二乘在曲线拟合中的应用。1整体最小二乘算法基本思想整体最小二乘(TLS)问题的计算方法主要分为两大类:基于奇异值分解(SVD)的方法和基于拉格朗日求极值的迭代法。1980年由Golub和VanLoan提出了著名的SVD(singularvaluedecomposition)算法［11］，即奇异值分解算法。由于采用奇异值分解相对容易得到整体最小二乘解，略。2整体最小二乘数字化曲线函数的线性化同处理经典最小二乘中的非线性函数一样，需将非线性函数进行线性化。一般地，首先将非线性函数按泰勒公式展开，取至一次项，转换成线性方程。设有函数:Fc*1=F(L～n*1，X～u*1)(1)为了线性化，取X～的充分近似值X0，使X～=X0+x～(2)同时考虑到L～=L+Δ(3)x～和Δ均要求是微小量，故在按泰勒公式展开时可以略去二次和二次以上的项，而只取至一次项，于是有F=F(L+Δ，X0+x～)=F(L，X0)+FL～L，X0Δ+FX～L，X0x～(4)若令Ac*n=FL～L，X0=F1L～1F1L～2…F1L～nF2L～1F2L～2…F2L～nFcL～1FcL～2…FcL～nL，X0(5)Bc*u=FX～L，X0=F1X～1F1X～2…F1X～uF2X～1F2X～2…F2X～uFcX～1FcX～2…FcX～uL，X0(6)49第4期2015年8月矿山测量MINESUＲVEYINGNo.4Aug.2015中国煤炭期刊网 www.chinacaj.net

则函数Fc*1的线性形式为Fc*1=F(L，X0)+AΔ+BX～(7)这样，一些非线性的函数式就转换为线性函数问题了。一些特殊的非线性函数线性化很多则是通过变量代换的方法进行线性化，这种函数通过变量代换使问题更加清晰化、简易化。例如:(1)y=alogx+b通过变量代换得到y=ax'+b，其中x'=logx;(2)y=bax通过变量代换可得y'=a'x+b'，其中y'=lny，a'=lna，b'=lnb;(3)y=axb通过变量代换可得y'=b0+bx'，其中y'=lny，x'=lnx，b0=lna(即本文算例类型)。常见的圆、椭圆、抛物线等曲线拟合问题也可如此解决。曲线的拟合问题终究还是得转换为线性化的拟合问题，甚至可以说是直线拟合的问题。3算例应用分析以文献［13］139页的样本观测值数据作比较分析，共有15组数据如下表1所示。表1样本观测值序号xy1104．242153．513202．924252．525302．206352．007401．818451．709501．6010551．5011601．4312651．3713701．3214751．2915801．25首先把观测数据点在坐标纸上并用一条曲线拟合，可以看出该数据描绘出的曲线很像幂函数y=axb，因此，取函数类型为y=axb对等式两边取对数lny=lna+blnx令y'=lny，x'=lnx，b0=lna则此幂函数转换为:y'=b0+bx'，即为普通的直线方程，代换后算得的数据如下表2所示。表2转换后的变量数据值序号x'=lnxy'=lny12．30261．444622．70811．255632．99571．071643．21890．924353．40120．788563．55530．693173．68890．593383．80670．530693．91200．4700104．00730．4055114．09430．3577124．17440．3148134．24850．2776144．31750．2546154．38200．22313．1最小二乘通过经典最小二乘算得的线性方程为:^y'=2．8865－0．6147x'，得其曲线方程为:y=17．93x－0．6147。3．2整体最小二乘通过整体最小二乘的奇异值分解法求得的线性方程为:，^y'=2．8888－0．6153x'，得其曲线方程为:y=17．88x－0．6153。整体最小二乘的求解过程:首先计算(x'，y'):x'=115∑i=1x'i=3．6543，y'=115∑i=1y'i=0．6403，故有增广矩阵B=［XY］=x'1－x'y'1－y'x'n－x'y'n－y'=－1．35170．8043－0．94620．6153－0．65860．4313－0．43540．2840－0．25310．1482－0．09900．05280．0346－0．04700．1524－0．10970．2577－0．17030．3530－0．23840．4400－0．28260．5201－0．32550．5942－0．36270．6632－0．38570．7277－0．417259第4期高笔清等:整体最小二乘(TLS)在数字化曲线拟合中的应用2015年8月中国煤炭期刊网 www.chinacaj.net

BTB=XTXXTYYTXYT[]Y=5．4215－3．3346[]－3．33462．0572BTB的特征值为λ1=7．4757，λ2=0．0020。由此推出b=XTYXTX－λ2=－3．33465．4215－0．0020=－0．6153，b0=y'－bx'=0．6403－(－0．6153)×3．6543=2．8888。推出此拟合的直线方程为y'=2．8888－0．6153x'，相对应的曲线方程为y=17．88x－0．6153。本例中，最小二乘的参数估计结果(没有给出详细求解过程)和整体最小二乘的参数估计结果存在一定的差别，在同时顾及系数矩阵误差的情况下得到的整体最小二乘估计显然表现出更加合理且接近真值。与经典最小二乘相比，整体最小二乘是以正交距离残差平方和最小为约束条件。4结语由于系数矩阵在大多数情况下都是含有误差的，因而整体最小二乘方法得到的参数估值也更加合理且接近真值。本文通过实例计算介绍了整体最小二乘在数字化曲线拟合中的应用，说明了整体最小二乘的有效性和可行性。整体最小二乘的算法研究在理论上已经取得了较为丰富的成果，但由于整体最小二乘属于非线性估计，模型和算法的复杂性要远高于最小二乘估计，通过上述实例可知，整体最小二乘的计算量极大。因此，在应用上尚受到一定的限制，如何进一步简化算法和提高算法的效率是今后整体最小二乘估计算法研究的重要目标。参考文献:［1］武汉大学测绘学院测量平差学科组．误差理论与测量平差基础［M］．武汉:武汉大学出版社，2003．［2］鲁铁定，陶本藻，周世建．基于整体最小二乘的线性回归建模和解法［J］．武汉大学学报:信息科学版，2008，33(5):504－507．［3］丁克良．整体最小二乘理论及其在测量数据处理中的若干应用研究［D］．武汉:中国科学院测量与地球物理研究所，2006．［4］李红伟，魏少春，陈安平，等．总体最小二乘在直线拟合中的应用［J］．地矿测绘，2010，26(2):4－5．［5］鲁铁定，周世建．总体最小二乘的迭代解法［J］．武汉大学学报:信息科学版，2010，35(11):1351－1354．［6］朱晓东，鲁铁定，陈西江．正交多项式曲线拟合［J］．东华理工大学学报:自然科学版，2010，33(4):398－400．［7］万保峰，程新文，欧龙．TLS与LS数据处理方法对比研究［J］．城市勘测，2007(4)．［8］许超钤，姚宜斌，张豹，等．基于整体最小二乘的参数估计新方法及精度评定［J］．测绘通报，2011，(10):1－4．［9］崔希璋，等．广义测量平差［M］．武汉:武汉测绘科技大学，2001．［10］刘经南，曾文宪，徐培亮．整体最小二乘估计的研究进展［A］．武汉大学学报:信息科学版，2013．［11］魏木生．广义最小二乘问题的理论和计算［M］．北京:科学出版社，2006:107－114．［12］费业泰．误差原理与数据处理［M］．北京:机械工业出版社，2004．［13］徐长海，等.补偿最小二乘在GPS高程拟合中的应用及平滑参数的选取［J］.矿山测量，2009(1).［14］蔡庆立.基于二次曲面拟合的区域似大地水准面确定［J］.矿山测量，2011(4).［15］张俊，等.半参数估计用于分离系统误差的试验研究［J］.矿山测量，2011(5).作者简介:高笔清(1991－)，男，汉族，江西九江人，研究生，主要研究方向为`精密工程测量。(收稿日期:2015－05－04)69第4期矿山测量2015年8月中国煤炭期刊网 www.chinacaj.net