杭州电子科技大学研究生考试卷（A 卷） 课程名称： 工程矩阵理论 学 院 自动化 考试日期 2014 年 12 月 20 日 专 业 控制科学与工程 考生姓名 班 级 学 号 （完 整） 一、单项选择题（每题4分，共20分） 任课教师 姓 名 成 绩 1. 设ACmn ，对A的奇异值分解，下列说法正确的是： （1）存在且唯一 （3）可能不存在 （2） 存在但不唯一 （4） 可能存在但不唯一 2. 设ACnn ，则A的幂序列 E，A，A2/2!, Ak/k!,  （1）收敛于零 （3）收敛与否与具体A有关 （2）发散 （4）收敛 3. 设ACnn 满足A3  E，则下列说法正确的是： （1）A的最小多项式与特征多项式相同 （2）A不可对角化（3）A的约当标准型中约当块的数目为n （4）不能确定A是否可对角化 4. 设A为n阶方阵，则有： （1）R(A)  N(A)= Cn , （2）R(A) + N(A)= Cn （3）R(A)  N(AT)= Cn, （4）R(AT)  N(AT)= Cn 5. 设A为n阶Hermite矩阵，则： （1）A的n个特征值全大于零 （2）存在可逆矩阵P使得PHAP  E （3）存在正线上三角矩阵R使得A  RHR （4）存在酉矩阵U使得UHAU  ，其中为实对角矩阵 二、填空题（每题4分，共20分） 1. 设1, 2, 3 为3维线性空间V的一组基，是V到自身的一个线性变换。在基1, 2, 3 下的 第 1 页 共 2 页 

矩阵为 a a a      11 21 31 a a a 12 22 32 a a a 13 23 33      ，则在基3, 22, 31 下的矩阵为 。 2. 设方阵A满足A2  3A, 则sin (3A )  3 1 0 3 3. 矩阵A  diag 2 1 0 2 2, ,             。 ，则A的最小多项式为       4. 设X  (x1, x2, , xn)T为变向量，  (a1, a2, , an)T为常向量，H  (hij)nn为常矩阵，则：  HXX T D X D 。 。 ， 5. 设ACnn为Hermite矩阵，XCn，A的n个特征值为1，2，，n，满足1  2    n， 则： max X 0  AXX H XX H  。 三、计算和证明题(1-4题，每题10分，第五题20分，共60分) ， 1. 已知矩阵A  1   1  1   （1）求多项式 ) ( Ap p （2）说明多项式 )(p 是二次多项式的理由 （3）利用（1）的结果计算 Ate 0 1 1  )(   2 0   1  3   2  使得  1 0 2. 设矩阵A的奇异值分解为： UA    0 2 A   2 A  1 I  Ate . 0   00   HV   ，其中  diag ( r  , , 1 ) 。验证  A  V 1    0  0 0  HU   是矩阵A的Penrose-Moore 逆。 3. 证明： ( A 1  )( A B 2 1 4 利用初等变换把-矩阵 ) B  2 (     0   0   )1 A B 1 1 0  (0  0 0   A B 2 2      2)1 化为Smith 标准型。 5 设方阵A、B 满足AB  BA 证明 ( 1 ) N(A) 是B不变子空间 ) ( A B t e  （2） At Bt e e  第 2 页 共 2 页