第1-10届全国大学生数学竞赛（非数学类）预赛试题参考解析汇总.pdf

发布时间：2022-06-12 发布人：admin 分类：说明书资料大小：1.66M 资料格式：pdf 举报版权申诉

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省市：学校：姓名：准考证号：装订线内不要答题绝密?启用前试卷类型：数学竞赛第十届全国大学生数学竞赛预赛参考答案非数学类,2018年10月27日八一杯网络数学竞赛CMC八一数学竞赛官方微信公众号:八一考研数学竞赛考试形式：闭卷考试时间：150分钟满分：100分题号一二三四五六七总分满分2481412141414100得分注意：1:所有答题都须写在试卷密封线右边,写在其他纸上一律无效:2:密封线左边请勿答题,密封线外不得有姓名及相关标记:3:如答题空白不够,可写在当页背面,并标明题号:得分评卷人复核人一、填空题(本题满分24分，每题6分)1.设2(0;1);则limn!+1(n+1)n=.【答案】0.【解析】等价无穷小(1+x)1∽x，得limn!1((n+1)n)=limn!1n((1+1/n)1)=limn!1nn=02.若曲线y=f(x)是由8<:x=t+costey+ty+sint=1确定，则此曲线在t=0对应点处的切线方程为.【答案】x+y1=0.科目名称：非数类八一考研数学竞赛第1页共8页

【解析】易知t=0处上的曲线为点(1;0)，即方程组对t求导得dxdt=1sint，dydt=y+costey+t)dydt=dydt/dxdt=y+cost(ey+1)(1sint))dydxjt=0=1故曲线在t=0对应点处的切线方程为x+y1=0.3.żln1+p1+x21+x232dx=.【答案】xp1+x2lnx+p1+x212ln1+x2+C.【解析】简单的凑微分，如下żlnx+p1+x21+x232dx=żlnx+p1+x2dxp1+x2=xp1+x2lnx+p1+x2żx1+x2dx=xp1+x2lnx+p1+x212ln1+x2+C4.limx!01cosxpcos2x3pcos3xx2=.【答案】3.【解析】这题方法很多，简单的等价无穷小，或拆项、洛必达以及泰勒都可以.limx!01cosxpcos2x3pcos3xx2=limx!0 1cosxx2+cosx1pcos2x3pcos3xx2!=12+limx!01pcos2x3pcos3xx2=12+limx!0 1cosp2xx2+cosp2x13pcos3xx2!=12+limx!0 1p1+(cos2x1)x2+13p1+(cos3x1)x2!=12+limx!01cos2x2x2+limx!01cos3x3x2=3科目名称：非数类八一考研数学竞赛第2页共8页

得分评卷人复核人二、解答题(本题满分8分)设函数f(t)在t⁄0时一阶连续可导，且f(1)=0，求函数f(x2y2)，使得曲线积分żLy2fx2y2dx+xfx2y2dy与路径无关，其中L为任一不与直线y=x相交的分段光滑闭曲线.【解析】记8<:P(x;y)=y2fx2y2Q(x;y)=x+xfx2y2，于是8<:@P(x;y)@y=2fx2y2+2y2f0x2y2@Q(x;y)@x=fx2+y2+2x2f0x2y2由题设可知，积分与路径无关，于是有@Q(x;y)@x=@P(x;y)@yH)x2y2f0x2y2+fx2y2=1.......................................5分记t=x2y2，即微分方程tf0(t)+f(t)=1,(tf(y))0=1)tf(t)=y+C又f(1)=0，可得C=1，f(t)=11t，从而fx2y2=11x2y2.......................................8分科目名称：非数类八一考研数学竞赛第3页共8页

装订线内不要答题得分评卷人复核人三、解答题(本题满分14分)设f(x)在区间[0;1]上连续，且1f(x)3.证明：0ż10f(x)dxż101f(x)dx43【证明】由Cauchy-Schwarz不等式：ż10f(x)dxż101f(x)dxż10qf(x)r1f(x)dx2=1.......................................4分又由基本不等式得：ż10f(x)dxż103f(x)dx14ż10f(x)dx+ż103f(x)dx2再由条件1f(x)3，有(f(x)1)(f(x)3)0，则f(x)+3f(x)4)ż10f(x)+3f(x)dx4......................................10分即可得1ż10f(x)dxZ101f(x)dx43......................................14分得分评卷人复核人四、解答题(本题满分12分)计算三重积分żżż(V)x2+y2dV，其中(V)是由x2+y2+(z2)24，x2+y2+(z1)29及z0所围成的空间图形.【解析】(1)计算打球(V1)的积分，利用球坐标换元，令(V1):8<:x=rsin’cos;y=rsin’sin;z1=rcos’0r3;0⩽’;0⩽2科目名称：非数类八一考研数学竞赛第4页共8页

省市：学校：姓名：准考证号：装订线内不要答题于是有żżż(V1)x2+y2dV=ż20dż0d’ż30r3sin2’r2sin’=81535.......................................4分(2)计算小球(V2)的积分，利用球坐标换元，令(V2):8<:x=rsin’cos;y=rsin’sin;z2=rcos’0r2;0’;02于是有żżż(V2)x2+y2dV=ż20dż0d’ż20r2sin2’r2sin’=81525.......................................8分(3)计算大球z=0下部分的积分V3，利用球坐标换元，令(V3):8<:x=rcos;y=rsin;1p9r2z00r2p2;02于是有żżż(V3)x2+y2dV=żżr2p2rdrdż01p9r2r2dz=ż20dż2p20r3p9r21=1242535+25综上所述有żżż(V)x2+y2dV=żżż(V1)x2+y2dVżżż(V2)x2+y2dVżżż(V3)x2+y2dV=81535+81525+1242535+25=2563......................................12分科目名称：非数类八一考研数学竞赛第5页共8页

得分评卷人复核人五、解答题(本题满分14分)设f(x;y)在区域D内可微，且s@f@x2+@f@y2M，A(x1;y1);B(x2;y2)是D内两点，线段AB包含在D内，证明：jf(x1;y1)f(x2;y2)jMjABj其中jABj表示线段AB的长度.【证明】作辅助函数’(t)=f(x1+t(x2x1)y1+t(y2y1)).......................................2分显然’(t)在[0;1]可导，根据Lagrange中值定理，存在c2(0;1)，使得’(1)’(0)=’0(c)=@f(u;v)@u(x2x1)+@f(u;v)@v(y2y1).......................................8分即可得到j’(1)’(0)j=jf(x2;y2)f(x1;y1)j=@f(u;v)@u(x2x1)+@f(u;v)@v(y2y1)s@f(u;v)@u2+@f(u;v)@v2q(x2x1)2+(y2y1)2MjABj......................................14分得分评卷人复核人六、解答题(本题满分14分)证明：对于连续函数f(x)>0，有lnż10f(x)dxż10lnf(x)dx科目名称：非数类八一考研数学竞赛第6页共8页

【证明】由定积分定义，将[0;1]分n等分，可取∆x=1n，由“算术平均数几何平均数”得：1nnXk=1fknnsf1nfnn=exp1nnXk=1lnfkn.......................................4分)ż10f(x)dxexplimn!11nnXk=1lnfkn=expż10lnf(x)dx......................................10分然后两边取对数即证lnż10f(x)dxż10lnf(x)dx......................................14分或者考虑令g(x)=lnx，则g0(x)=1x，g00(x)=1x2<0，所以g(x)为凹函数，可由琴声不等式定理即证.得分评卷人复核人七、解答题(本题满分14分)已知ak，bk是正数数列，且bk+1bk⩾>0;k=1;2;，为一切常数，证明：若级数+1Xk=1ak收敛，则级数+1Xk=1kkp(a1a2ak)(b1b2bk)bk+1bk收敛.【证明】令Sk=kXi=1aibi;akbk=SkSk1;S0=0;ak=skSk1bk;k=1;2;4分NXk=1ak=NXk=1SkSk1bk=N1Xk=1SkbkSkbk+1+SNbN=N1Xk=1bk+1bkbkbk+1Sk+SNbNN1Xk=1bkbk+1Sk所以1Xk=1Skbkbk+1收敛...........................10分科目名称：非数类八一考研数学竞赛第7页共8页

装订线内不要答题由算术-几何平均不等式得kq(a1a2ak)(b1b2bk)a1b1++akbkk=Skk1Xk=1kkp(a1a2ak)(b1b2bk)bk+1bk⩽1Xk=1Skbkbk+1故结论成立.......................................14分科目名称：非数类八一考研数学竞赛第8页共8页

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