北京邮电大学 2005——2006 学年第一学期 《数学模型 》期末考试试题 班级： 学号（学校统一六位）： 姓名： 一． 综合建模（以下二题任选其一） 农民下种问题 问题一、在播种诸如小麦、高粱等农作物，单位面积的土地的下种量既不能太多，也不能太少。 一方面，因为单株作物的结果是有上限的，下种太少会导致减产；另一方面，下种亦不能太多，这 是因为土地的田力是有限的，比方土壤养分、水分、阳光等，下种太多，作物由于得不到充足养分 而不能充分发育，最终同样导致减产。 问题二、农民们在种像玉米之类的作物时，通常采用另外一种作业方式—“株式作业”：在经 过平整的田地上，每隔一定的行距和株距做一“土窝”，往里投放若干粒玉米种子。下种不宜太多， 因为每窝通过选苗最终只剩一株较好的来培植，下种太多会造成种子浪费以及增加选苗劳动；下种 同样不宜太少，因为很难保证播下的种子最终都能正常发芽，下种太少会因缺株而造成减产。 这里为问题一的下种方式取名“垄式作业”，试就以上二问题建立适当的数学模型，并做分析。 长江的水质预测问题 2005 年全国大学生数学建模竞赛 A 题是一道基于历史观测数据对长江未来年份的水质进行预 测分析的题目（题目见 http://www.mcm.edu.cn 或 http://www.sci.bupt.cn/sxjm ）。我们只考虑 ，其中 X 表示（所关心）长江 对某种特定的有害物质进行分析，以 （ [ ,0∈ 、 [ ,0∈ ]X ]T txρ (0 ), x t 干流总长度，T 表示一年的时长）表示某年时刻 t 在长江干流上位置 x 处水样的污染物浓度。我们 在后续的讨论中设定 txρ ), (0 （ [ ,0∈ x ]X 、 [ ,0∈ t ]T ）已知： 问题一、若 =iPi ( )5..1 > 0 是一组给定的参考值，若 0 ≤ ρ 0 ( tx ), < P 1 ，则认定在该年时刻 t 在 长江干流上位置 x 处水样是一类水；若 P i (0 ≤− 1 ρ tx ), < P i （ 5..2=i ），则认定在该年时刻 t 在长江 干流上位置 x 处水样是 i 类水；特别若 ρ 0 tx ),( ≥ P 5 ，则认定在该年时刻 t 在长江干流上位置 x 处水 样是劣五类水。请你给出在一个观测年从总体上评价长江水质的模型或方式； 问题二、如果我们能够预测第 k 年长江流域总流量 kL 、污染物排放量 kW ，而在观测年的数据 x 0L 、 0W 已知，你能否基于这些数据信息尝试给出第 k 个预测年 （ [ ,0∈ 就你建立的模型所作简化假设论述清楚。 二． 模型解释 、 [ ,0∈ ]X ]T t ）表示某年时刻 t 在长江干流上位置 x 处水样的污染物浓度），当然你需要 txkρ ), ( 的表达式（以 txkρ ), ( 1） 在允许缺货的存贮策略分析中，按“成本最小化”建模，从得到的结果中发现在一个存贮周 期中确有一段时期为“零贮存”，且又不积极再进货。试分析该模型的缺陷以及改进的方向。 2） 以 )(tx 表示时刻 t 的人口，下面是阻滞增长（Logistic）模型： 第 1 页 共 4 页 

dx dt ⎧ ⎪ ⎨ ⎪⎩ − r 1( = x )0( = ) x x x x 0 m 若记 xS −= 1)( x mx ，试解释模型中涉及的所有变量、参数，并用尽可能简洁的语言表述 清楚该模型的建模思想。 3） 报童的诀窍：报童每天可卖出报纸的份数 x 是随机的，以 )(xP 表示报童每天可卖出 x 份报纸的概率密度函数，以 cba , , 分别表示卖出、买入、退回一份报纸的价格，则报童一 天早晨购入的具有最大利润预期的份数 *x 须满足： cb ( − ) * x ∫ 0 rP )( dr = ( ba − ) ∫ * x +∞ rP )( dr 。 试解释该最优性条件的经济意义。 4） 已知某双种群生态系统的数学模型 x x x x = = ⋅ ⋅ 1 r 1 r 2 2 ⎧ ⎨ ⎩ 1 2 ⋅ ⋅ 1( 1( − − Nx 1 σ 2 σ − 1 Nx / 1 / ⋅ 1 1 ⋅ − Nx 2 Nx 2 / / 2 2 ) ) 其中以 )(1 tx 、 )(2 tx 表示两个不同种群在时刻 t 的数量， r , i σ i , N i ,0( > i = )2,1 为模型参数。请 问 该 模 型 表 示 哪 类 生 态 （ 共 存 、 竞 争 、 捕 食 ） 系 统 模 型 ， 并 说 明 平 衡 点 P 4 ⎛ ⎜⎜ ⎝ 1 1 − σσ − 2 σ 1 ⋅ 1 ⋅ N 1 1, 1 − − σσ 2 σ 2 ⋅ 1 ⋅ N 2 ⎞ ⎟⎟ ⎠ 的稳定性条件。 三． 计算与论证 n 人合作对策问题 }n 记 { 2,1= I ， I 2 = { ss ⊆ I } 为 I 的幂集合， v I →2: R 为 I2 到实数集的一个函数，v 是 −n 人合作对策问题的某个特征函数，若以 ϕ v )( = ( ϕ 1 ( v ), ϕ 2 v )( ))( v nϕ 表示 −n 人合作对策问题 关于特征函数 v 的算法，以下是著名的 Shapley 值方法： ⎧ iϕ ⎪⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ v )( = ∑ si ⊆∈ sw ( ) = sw ( I ( n ) ⋅ − [ sv )( s ()! ⋅ n ! s − sv ( ] }){\ i i = ..1 n − )!1 (1) =∀= i n ..1 ) ； 这里， s 表示集合 s 中元素数目： 1） 试用排列组合的观点解释 ) ( sw 的意义； 2） 显然对 2∈∀ s I ，均有 ≥sw ) ( 0 。请您论证 ∑ si ⊆∈ sw ( I 第 2 页 共 4 页 

3） 试着解释 Shapley 值方法的合理性及其局限性（不足）； ,( Ss 随机贮存模型： ) 在 ,( Ss 随机贮存模型中，我们得到在决定进货，最优的进货量应当考虑上一周期的剩余货物， ) 使得本周期期初的总供量 S 满足： S ∫ ρ r )( 0 dr = ab − ab ( + − ) 。这里顾客在一周时间内对该物品的需求 c 1 量 r 是一随机变量， )(rρ 表示随机变量 r 的概率密度函数；商店在一周可能支付的费用有：每次的 订货费 0c ，其取值与进货数量无关；每件商品在一周的贮存费 1c 。a 、b 分别表示一件商品的购进 价格和售出价格。 我们发现 S 的确定与订货费 0c 无关，这与实际情况不一致。你试着解释其原因。 我们倾向于将盘点周期与进货周期（这里从统计意义上加以理解），你试着通过计算机模拟的 方法计算如下算例的最优进货策略： 需求量 r 服从期望值为 1000、均方差为 200 的正态分布， 1=− ab ， 0c 分别取 10、100、10000， ) 12 43 =× 种情形下最优的 ,( Ss 取值。 1c 分别取 0.1、0.3、0.7、2.0 时，即总共 参考程序： <

定性分析 f 应满足：1）非负性： 0 ≤ ( xf 1, x 2 3） 对称性：对任意( x 2 )nx 、( y 1, y 2 )ny s x ) n ≤ ；2）单调性： f ∂ ix ∂ ， 若经有限次对换可将( 0≥ , i n ,...2,1= ； x 1, x 2 )nx x 1, )ny 化为( y 1, y 2 则有 ( xf , 1 x 2 为 0 ，则 ( xf , 1 x 2 ，即存在 I = n ,...2,1{ } 上的一全排列 i 1 满足： i x , 2 ni , , = k y ki ( , k = n ..1 ) ， ) = x n ( yf , 1 y 2 y )n ；4）无考性：若 ( xf 1, x 2 )nx 有 1−n 个分量 ) 0 =nx . 为简化起见， 只须设计两个一元函数 )(tα ， f )(* t 即可，要求 a）非负性： 0 ≤ 0 ≤ f t )(* ≤ t ；b）单调性： d dt α 0)( ≥t , d dt f 0)(* ≥t ；c）无考性： 0)0( =α . tα 1)( ≤ , 令 xf ( , 1 x 2 x n ) = n ∑ i = 1 ( α s − x i ) × f (* x ) i 试着证明：由满足条件 a，b，c 的 )(tα 、 f )(* t 定义的 ( xf 1, x 2 )nx 满足条件 1）~4）； 若将 ( x 1, x 2 )nx 、 O 表示收入，试解释 s −α ( ix ) 、 f (* ix ) 的经济意义，并阐明构造 xf ( , 1 x 2 x n ) = n ∑ i = 1 ( α s − x i ) × f (* x i ) 的合理性. 2． 你可能玩儿过“搬箱子”的游戏：如图所 示，设想你处在“小孩”的位置， 在不越过 障碍物（“墙壁”、“箱子 ”）的前提下， 你可以“上、下、左、右”一个方格一个方格 地自由移动，亦可推着一个箱子向前挪动，目 标：最终将箱子都放置在指定“ 圆点”处。 你试着采用适当的数据形式将该问题及游戏过 程描述出来。 （注意：要你描述的是一类 问题，所给图示只是一个具体例子；你可以参考“商人过河”。） 3． 通过将近半年的学习，你对本课程从整体上有何体会或认识，你认为你对本课程的投入值不 值得，它对你有何帮助，可能期间你思考了一些相关的问题你愿意与人分享讨论，也可能你 对本课程的教学有好的建议，一并作文以记之。 说明： 1） 本次考试采用开卷方式，答卷时间为一周，请按时交卷； 2） 本课程的考试是一学期课程学习结束的一次综合复习，因此在答题时务必独立完成，除了查阅有关资料外， 请避免同学间相互抄袭，如发现雷同答卷，一并作废！ 3） 答题纸建议使用 A4 或 16 开版式，不要用太小版式或作业本。请在答卷卷首写清姓名、班级、学号（学校 统一 6 位编号）、选课班级等。 第 4 页 共 4 页