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2006年上海高考理科数学真题及答案.doc
2006 年上海高考理科数学真题及答案
考生注意：
1．答卷前，考生务必将姓名、高考准考证号、校验码等填写清楚．
2．本试卷共有 22 道试题，满分 150 分，考试时间 120 分钟．请考生用钢笔或圆珠笔将答案
直接写在试卷上．
一、填空题（本大题满分 48 分）本大题共有 12 题，只要求直接填写结果，每个空格填对得
4 分，否则一律得零分．
1．已知集合 A＝{ －1，3，2 m －1} ，集合 B＝{ 3， 2m } ．若 B A，则实数 m ＝
2．已知圆 2x －4 x －4＋ 2y ＝0 的圆心是点 P，则点 P 到直线 x － y －1＝0 的距离是
3．若函数 )(xf ＝ xa （ a ＞0，且 a ≠1）的反函数的图像过点（2，－1），则 a ＝
4．计算：
3
Cn
lim 3
n
n
1
＝
．
5．若复数 z 同时满足 z －
z ＝2i ，
z ＝iz （i 为虚数单位），则 z ＝
6．如果 cos ＝
1
5
，且是第四象限的角，那么
cos(
)
2
＝
．
．
．
．
．
7．已知椭圆中心在原点，一个焦点为 F（－2 3 ，0），且长轴长是短轴长的 2 倍，则该椭
圆的标准方程是
．
8．在极坐标系中，O 是极点，设点 A（4，
3
），B（5，－
5
6
），则△OAB 的面积是
．
9．两部不同的长篇小说各由第一、二、三、四卷组成，每卷 1 本，共 8 本．将它们任意地
排成一排，左边 4 本恰好都属于同一部小说的概率是
（结果用分数表示）．
．
10．如果一条直线与一个平面垂直，那么，称此直线与平面构成一个“正交线面对”．在一
个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数
是
11．若曲线 2y ＝| x |＋1 与直线 y ＝ kx ＋ b 没有公共点，则 k 、 b 分别应满足的条件
是
12．三个同学对问题“关于 x 的不等式 2x ＋25＋| 3x －5 2x |≥ ax 在[1，12]上恒成立，求
实数 a 的取值范围”提出各自的解题思路．
甲说：“只须不等式左边的最小值不小于右边的最大值”．
乙说：“把不等式变形为左边含变量 x 的函数，右边仅含常数，求函数的最值”．
丙说：“把不等式两边看成关于 x 的函数，作出函数图像”．
参考上述解题思路，你认为他们所讨论的问题的正确结论，即 a 的取值范围是
．
二．选择题（本大题满分 16 分）本大题共有 4 题，每题都给出代号为 A、B、C、D 的四个结
论，其中有且只有一个结论是正确的，必本大题满分 16 分）须把正确结论的代号写在题
后的圆括号内，选对得 4 分，不选、选错或者选出的代号超过一个（不论是否都写在圆括
号内），一律得零分．
13．如图，在平行四边形 ABCD 中，下列结论中错误的是
[答]（
）
（A）
AB ＝
AB －
DC ；（B）
AD ＋
AD ＝
BD ；（D）
AB ＝
AD ＋
AC ；
0 ．
CB ＝
（C）
14．若空间中有四个点，则“这四个点中有三点在同一直线上”是“这四个点在同一平面上”
A
B
D
C
的
[答]（
）
x
1(
2
k )
（A）充分非必要条件；（B）必要非充分条件；（C）充要条件；（D）非充分非必要条件．
≤ 4k ＋4 的解集是 M，则对任意实常数 k ，总有[答]（
15．若关于 x 的不等式
（A）2∈M，0∈M； （B）2M，0 M； （C）2∈M，0M； （D）2M，0∈M．
16．如图，平面中两条直线 1l 和 2l 相交于点 O，对于平面上任意一点 M，若 p 、 q 分别是 M
到直线 1l 和 2l 的距离，则称有序非负实数对（ p ，q ）是点 M 的“距离坐标”．已知常数 p
≥0， q ≥0，给出下列命题：
①若 p ＝ q ＝0，则“距离坐标”为（0，0）的点
有且仅有 1 个；
②若 pq ＝0，且 p ＋ q ≠0，则“距离坐标”为
（ p ， q ）的点有且仅有 2 个；
③若 pq ≠0，则“距离坐标”为（ p ， q ）的点有且仅有 4 个．
上述命题中，正确命题的个数是
[答]（
2l
1l
）
O
）
M（ p ， q ）
（A）0； （B）1； （C）2； （D）3．
三．解答题（本大题满分 86 分）本大题共有 6 题，解答下列各题必须写出必要的步骤．
17．（本题满分 12 分）
求函数 y ＝2
cos(
x
)
4
cos(
x
)
4
[解]
＋
x2sin3
的值域和最小正周期．
18．（本题满分 12 分）
如图，当甲船位于 A 处时获悉，在其正东方向相距 20 海里的 B 处有一艘渔船遇险等
待营救．甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西 30 ，相距 10 海里 C 处的
乙船，试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往 B 处救援（角度精确到 1 ）？
[解]
北
A
20
B
•
10
•C
19．（本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分）
在四棱锥 P－ABCD 中，底面是边长为 2 的菱形，∠DAB＝60 ，对角线 AC 与 BD 相交于
点 O，PO⊥平面 ABCD，PB 与平面 ABCD 所成的角为 60 ．
（1）求四棱锥 P－ABCD 的体积；
（2）若 E 是 PB 的中点，求异面直线
DE 与 PA 所成角的大小（结果用反
三角函数值表示）．
[解]（1）
（2）
A
P
O
E
B
D
C
20．（本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分）
在平面直角坐标系 x O y 中，直线l 与抛物线 2y ＝2 x 相交于 A、B 两点．
（1）求证：“如果直线l 过点 T（3，0），那么
（2）写出（1）中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由．
[解]（1）
OB ＝3”是真命题；
OA
（2）
21．（本题满分 16 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3
小题满分 6 分）
已知有穷数列{ na } 共有 2 k 项（整数 k ≥2），首项 1a ＝2．设该数列的前 n 项和为 nS ，
(
a
且 1na ＝
（1）求证：数列{ na } 是等比数列；
nS
)1
＋2（ n ＝1，2，┅，2 k －1），其中常数 a ＞1．
log
(
aa
1
2
2
na
)
（ n ＝1，2，┅，2 k ），求数
2
2
k ，数列{ nb } 满足 nb ＝
1
（2）若 a ＝2
列{ nb } 的通项公式；
（3）若（2）中的数列{ nb } 满足不等式| 1b －
1
n
3
2
|＋| 2b －
3
2
|＋┅＋|
2 kb －
1
3
2
|＋|
kb2 －
3
2
|≤4，求 k 的值．
[解]（1）
（2）
（3）
22．（本题满分 18 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 3 分，第 2 小题满分 6 分，第 3
小题满分 9 分）
已知函数 y ＝ x ＋
a
x
有如下性质：如果常数 a ＞0，那么该函数在 ( 0， a ] 上是减函
数，在[
a ，＋∞ ) 上是增函数．
（1）如果函数 y ＝ x ＋
（ x ＞0）的值域为[ 6，＋∞ ) ，求b 的值；
（常数 c ＞0）在定义域内的单调性，并说明理由；
b2
x
c
2x
和 y ＝ 2x ＋
a
2x
（2）研究函数 y ＝ 2x ＋
a
x
（3）对函数 y ＝ x ＋
（常数 a ＞0）作出推广，使它们都是你所推广的
)(xF ＝
函数的特例．研究推广后的函数的单调性（只须写出结论，不必证明），并求函数
1(
x
2 （ n 是正整数）在区间[
nx
)
1
2
，2]上的最大值和最小值（可利用你的
( 2
x
n
＋
)1
x
研究结论）．
[解]（1）
（2）
（3）
2006 年上海高考理科数学真题参考答案
1． 解：由 2 2
m
m
1
，经检验， 1m 为所求；
m
1
2． 解：由已知得圆心为： (2,0)
P
3． 解：由互为反函数关系知， )(xf 过点 ( 1,2)
，由点到直线距离公式得： |2 0 1|
1 1
a
2
2
；
，代入得： 1
2
d
a
；
1
2
2
2
n
) 3!
1
6
；
4． 解：
lim
n
C
3
n
3
n
1
lim
n
1)(
(
n n
3
(
n
n
1) 3!
2)
lim
n
n
3
2
3
2
n
3
1) 3!
(
n
n
lim
n
5． 解：已知
Z iZ
2
i
Z
2
i
1
i
i
1
；
6． 解：已知
cos(
)
2
sin
( 1 cos
2
)
2 6
5
；
1
(1
3
n
1
3
n
7．解：已知
a
a
2
2 ,
b c
2
b
2 3
2
c
2
4
16
2
b
a
F
( 2 3,0)
2
x
16
2
y
4
1
为所求；
8． 解：如图△OAB 中，
OA
4,
OB
5,
AOB
2
(
3
(
5
))
6
5
6
S
AOB
1
2
4 5 sin
5
6
5
(平方单位)；
9． 解：分为二步完成： 1) 两套中任取一套，再作全排列，有 1
2
C P 种方法；
4
2) 剩下的一套全排列，有 4P 种方法；
所以，所求概率为：
1
C P P
2 4 4
P
8
；
1
35
10．解：正方体中，一个面有四条棱与之垂直，六个面，共构成 24 个“正交线面对”；而正
方
体的六个对角截面中，每个对角面又有两条面对角线与之垂直，共构成 12 个“正
交线
11．
面对”，所以共有 36 个“正交线面对”；
0
1,
x
| 1
1,
x
解：作出函数 2
y
x
|
x
x
0
的图象，
如右图所示：
所以， 0,
b
k
；
( 1,1)
12． 解：由 2x ＋25＋| 3x －5 2x |≥
ax
,1
a x
12
x
25
x
|
x
2
5 |
x
，
，等号当且仅当 5 [1,12]
x
时成立；
x
x
2
10
25
x
而 25
x
5 | 0
，等号当且仅当 5 [1,12]
x
25
[
x
x
x
5 |]
x
min
x
2
|
10
， 等 号 当 且 仅 当
时成立；
所 以 ，
(
a
；
13．（A） AB DC
；
（B） AD AB AC
；
AD CB
（C） AB AD BD
解：由向量定义易得， （C）选项错误； AB AD DB
0
；
； （D）
|
且 2
x
a
,10]
x
5 [1,12]
时 成 立 ； 故
D
；
A
C
B
14．解： 充分性成立： “这四个点中有三点在同一直线上”有两种情况：
1）第四点在共线三点所在的直线上，可推出“这四个点在同一平面上”；
2）第四点不在共线三点所在的直线上，可推出“这四点在唯一的一个平面
内”；
必要性不成立：“四个点在同一平面上”可能推出“两点分别在两条相交或平行直线
上”；
故选（A）
15．解：选（A）
方法 1：代入判断法，将 2,
x
x
分别代入不等式中，判断关于 k 的不等式解
0
集是
否为 R ；
方法 2：求出不等式的解集：
x
4
1
5
2
1
1)
≤
2
k
x
k
(
2
2
k )
1(
4
kx
2
k
4
2
[(
k
1)
5
2
1
k
4k
2]
min
＋
2 5 2
；
16．解：选（D）
① 正确，此点为点O ； ② 正确，注意到 ,p q 为常数，由 ,p q 中必有一个为零，
一个非零，从而可知有且仅有 2 个点，这两点在其中一条直线上，且到另一直线的
离为 q （或 p ）； ③ 正确，四个交点为与直线 1l 相距为 p 的两条平行线和与直
另
距
线 2l
∴ 函数 2cos(
y
)cos(
x
)
4
3sin2
x
的值域是[ 2,2]
,最小正周期是；
17．[解]
y
相距为 q 的两条平行线的交点；
)
4
2cos(
)cos(
x
x
sin
x
x
)
2
2
4
1
2
3sin2
x
3sin2
x
2( cos
1
2
cos2
x
2sin(2
x
3sin2
x
)6
4
x
18．[解] 连接 BC,由余弦定理得
BC2=202+102－2×20×10COS120°=700.
于是,BC=10 7 .
sin
10
ACB
20
sin
∵
120
7
,
∴sin∠ACB=
3
7
,
∵∠ACB<90°
∴∠ACB=41°
∴乙船应朝北偏东 71°方向沿直线前往 B 处救援.
19． [解]（1）在四棱锥 P-ABCD 中,由 PO⊥平面 ABCD,得
∠PBO 是 PB 与平面 ABCD 所成的角, ∠PBO=60°.
在 Rt△AOB 中 BO=ABsin30°=1, 由 PO⊥BO,
于是,PO=BOtg60°= 3 ,而底面菱形的面积为 2 3 .
∴四棱锥 P-ABCD 的体积 V=
×2 3 × 3 =2.
1
3
（2）解法一：以 O 为坐标原点,射线 OB、OC、
OP 分别为 x 轴、y 轴、z 轴的正半轴建立
空间直角坐标系.
在 Rt△AOB 中 OA= 3 ,于是,点 A、B、
D、P 的坐标分别是 A(0,－ 3 ,0),
B (1,0,0),
D (－1,0,0),
P (0,0,
3 ).
E 是 PB 的中点,则 E(
1
2
,0,
3
2
) 于是 DE =(
3
2
,0,
3
2
), AP =(0,
3 , 3 ).
设
AP与DE
的夹角为θ,有 cosθ=
3
2
3
4
9
4
2
4
33
,θ=arccos
2
4
,
∴异面直线 DE 与 PA 所成角的大小是 arccos
2
4
；
解法二：取 AB 的中点 F,连接 EF、DF.
由 E 是 PB 的中点,得 EF∥PA，
∴∠FED 是异面直线 DE 与 PA 所成
角(或它的补角)，
在 Rt△AOB 中 AO=ABcos30°= 3 =OP，
于是, 在等腰 Rt△POA 中，
PA= 6 ，则 EF=
6 .
2
在正△ABD 和正△PBD 中,DE=DF= 3 ，
cos∠FED=
1
EF
2
DE
6
4
3
=
2
4
∴异面直线 DE 与 PA 所成角的大小是 arccos
2
4
.
20．[解]（1）设过点 T(3,0)的直线 l 交抛物线 y2=2x 于点 A(x1,y1)、B(x2,y2).
当直线 l 的钭率不存在时,直线 l 的方程为 x=3,此时,直线 l 与抛物线相交于点
A(3, 6 )、B(3,－ 6 ).
∴
OA
OB
=3；
当直线 l 的钭率存在时,设直线 l 的方程为
(
y k x
3)
，其中 0k ，
由
2 2
x
y
(
y k x
3)
得 2
ky
2
y
6
k
0
y y
1 2
6
又 ∵
x
1
1
2
2
y
1
,
x
2
1
2
2
y
2
，
OA OB x x
1 2
∴
y y
1 2
1 (
4
y y
1 2
2
)
y y
1 2
3
，
综上所述，命题“如果直线 l 过点 T(3,0)，那么
OA
OB
=3”是真命题；
(2)逆命题是：设直线 l 交抛物线 y2=2x 于 A、B 两点,如果
OA
OB
=3,那么该直线过点
T(3,0).该命题是假命题.
例如：取抛物线上的点 A(2,2)，B(
直线 AB 的方程为： 2(
3y
x
,1)，此时OA OB
1
2
1)
，而 T(3,0)不在直线 AB 上；
=3,
说明：由抛物线 y2=2x 上的点 A (x1,y1)、B (x2,y2) 满足
OA
OB
=3，可得 y1y2=－6，
或 y1y2=2，如果 y1y2=－6，可证得直线 AB 过点(3,0)；如果 y1y2=2，可证得直
线
AB 过点(－1,0),而不过点(3,0).
21．(1)
[证明] 当 n=1 时,a2=2a,则
a
2
a
1
=a；
2≤n≤2k－1 时, an+1=(a－1) Sn+2, an=(a－1) Sn－1+2,
a 1 =a, ∴数列{an}是等比数列.
n
a
an+1－an=(a－1) an, ∴
n
(2) 解：由(1) 得 an=2a 1n , ∴a1a2…an=2 n a
(
21
n
)1
=2 n a
)1
( nn
2
(
nnn
2
k
)1
1
,
=2
bn=
（3）设 bn≤
3
2
[1
n
n
(
nn
2
k
,解得 n≤k+
]
n
2
k
1
1
1
(n=1,2,…,2k).
,又 n 是正整数,于是当 n≤k 时, bn<
)1
1
1
2
3
2
；
当 n≥k+1 时, bn>
.
3
2
3
2
原式=(
3
2
－b1)+(
－b2)+…+(
=(bk+1+…+b2k)－(b1+…+bk)
1
2
(
k
=
[
k
)1
k
2
k
2
1
k
]
[
3
2
1
2
－bk)+(bk+1－
3
2
)+…+(b2k－
3
2
)
0(
2
k
k
1
)1
k
k
]
=
2
k
k
2
.
1
当
2
k
k
2
1
≤4,得 k2－8k+4≤0,
4－2 3 ≤k≤4+2 3 ,又 k≥2,
∴当 k=2,3,4,5,6,7 时,原不等式成立.
22．[解]（1）函数 y=x+
b2
x
(x>0)的最小值是 2
b2 ，则 2
b2 =6, ∴b=log29.
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