2006年上海高考文科数学真题及答案.doc-资料库

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2006 年上海高考文科数学真题及答案一、填空题（共 12 小题，每小题 4 分，满分 48 分） 1．（4 分）已知 { 1 A   ，3， }m ，集合 {3 B  ， 4} ，若 B A ，则实数 m  ． 2．（4 分）已知两条直线 1 : l ax 3 y   ， 2 : 4 3 0 l x 6 y 1 0 l   ．若 1 / / l ，则 a  2 ． 3．（4 分）若函数 ( ) f x  ( x a a  0, a  的反函数的图象过点 (2, 1) ，则 a  1) ． 4．（4 分）计算： lim n  2 3 ( n n 6 n   5．（ 4 分）若复数 z 满足 (   1) 1 z m ．  2)  ( m  1) ( i i 为虚数单位）为纯虚数，其中 m R 则 | |z  ． 6．（4 分）函数 sin cos  y x x 的最小正周期是． 7．（4 分）已知双曲线中心在原点，一个顶点的坐标为 (3,0) ，且焦距与虚轴长之比为 5 : 4 ，则双曲线的标准方程是． 8．（4 分）方程 log ( 3 x 2  10) 1 log   x 3 的解是． 9．（4 分）已知实数 x ， y 满足 3 0   5 0 y  x y    2 x   0 x   0 y ，则 2y x 的最大值是． 10．（4 分）在一个小组中有 8 名女同学和 4 名男同学，从中任意地挑选 2 名同学担任交通安全宣传志愿者，那么选到的两名都是女同学的概率是（结果用分数表示）． 11．（4 分）若曲线| | 2 y  1x  与直线 y b 没有公共点，则 b 的取值范围是． 12．（4 分）如图，平面中两条直线 1l 和 2l 相交于点 O ，对于平面上任意一点 M ，若 p ，q 分别是 M 到直线 1l 和 2l 的距离，则称有序非负实数对 ( , )p q 是点 M 的“距离坐标”，根据上述定义，“距离坐标”是 (1,2) 的点的个数是．二、选择题（共 4 小题，每小题 4 分，满分 16 分）

13．（4 分）如图，在平行四边形 ABCD 中，下列结论中错误的是 ( )   A． AB DC   B． AD AB AC      C． AB AD BD    14．（4 分）如果 0 a  ， 0 b  ，那么，下列不等式中正确的是 (   AD CB  0  D． ) A． 1 a  1 b B． a   b C． 2 a 2 b D．| a | | b | 15．（4 分）若空间中有两条直线，则“这两条直线为异面直线”是“这两条直线没有公共点”的 ( ) A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充分必要条件 D．既非充分又非必要条件 16．（4 分）如果一条直线与一个平面垂直，那么，称此直线与平面构成一个“正交线面对”．在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是 ( ) A．48 B．18 C．24 D．36 三、解答题（共 6 小题，满分 86 分） 17．（12 分）已知是第一象限的角，且 cos  ，求 5 13 sin( cos(2    ) 4 4 )    的值． 18．（12 分）如图，当甲船位于 A 处时获悉，在其正东方向相距 20 海里的 B 处有一艘渔船遇险等待营救．甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西 30 ，相距 10 海里 C 处的乙船，试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往 B 处救援（角度精确到1 ) ？ 19．（14 分）在直三棱柱 ABC ABC  中， ABC  90  ， AB BC  ． 1 （1）求异面直线 1 1B C 与 AC 所成的角的大小；

（2）若 1A C 与平面 ABC 所成角为 45 ，求三棱锥 1A  ABC 的体积． 20．（14 分）设数列{ }na 的前 n 项和为 nS ，且对任意正整数 n ， a n S n  4096 ．（1）求数列{ }na 的通项公式 {log （2）设数列 2 }na 的前 n 项和为 nT ，对数列{ }nT ，从第几项起 nT   ？ 509 21．（16 分）已知在平面直角坐标系 xOy 中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为 ( F  3,0) ，右顶点为 (2,0) D ，设点 1(1, 2 A ) ．（1）求该椭圆的标准方程；（2）若 P 是椭圆上的动点，求线段 PA 中点 M 的轨迹方程；（3）过原点 O 的直线交椭圆于点 B ， C ，求 ABC 面积的最大值． 22．（18 分）已知函数 y   有如下性质：如果常数 0 a  ，那么该函数在 (0, x a x ]a 上是减函数，在[ , a  上是增函数． ) （1）如果函数 y   x 2 ( b x x  在 (0 ， 4] 上是减函数，在[4 ， ) 上是增函数，求 b 的值． 0) （2）设常数 [1 c  ， 4] ，求函数 ( ) f x   x c x （3）当 n 是正整数时，研究函数 ( ) g x  n x  (1 的最大值和最小值； 2) x c n x ( c  的单调性，并说明理由． 0) 2006 年上海高考文科数学真题参考答案一、填空题（共 12 小题，每小题 4 分，满分 48 分） 1．（4 分）已知 { 1 A   ，3， }m ，集合 {3 B  ， 4} ，若 B A ，则实数 m  4 ．【解答】解：已知 { 1 A   ，3， }m ，集合 {3 B  ， 4} ，若 B A ，即集合 B 是集合 A 的子集．则实数 4m  ．

故填：4． 2．（4 分）已知两条直线 1 : l ax 3 y   ， 2 : 4 3 0 l x 6 y 1 0 l   ．若 1 / / l ，则 a  2 2 ．【解答】解：已知两条直线 1 : l ax 3 y   ， 3 0 l 2 : 4 x 6 y 1 0   ． l 1 / / l ， 2 a   ， 3 2 3 则 2 a  3．（4 分）若函数 ( ) f x  ( x a a  0, a  的反函数的图象过点 (2, 1) ，则 a  1) 1 2 ．【解答】解：若函数 ( ) f x  ( x a a  0, a  的反函数的图象过点 (2, 1) ， 1)  ，则原函数的图象过点 ( 1,2)   ， 1 2 a  ． 1 a 2 故答案为 1 2 ． 4．（4 分）计算： lim n  2 3 ( n n 6 n   1) 1  【解答】解： lim n  2 3 ( n n 6 n   1) 1  lim n  1  6  1 6 1 2 n 1 3 n ．  1 6 ．答案： 1 6 ． 5．（4 分）若复数 z 满足 (  z m  2)  ( m  1) ( i i 为虚数单位）为纯虚数，其中 m R 则 | |z  3 ．【解答】解：若复数 z 满足 (  z m  2)  ( m  1) ( i i 为虚数单位）为纯虚数，其中 m R ，则 2m  ， 3 i ， z | | 3 z  ．故答案为：3 6．（4 分）函数 sin cos  y x x 的最小正周期是  ．【解答】解：函数 y  sin cos x x  它的最小正周期是： 2  2  ． 1 2 sin 2 x ，

故答案为： ． 7．（4 分）已知双曲线中心在原点，一个顶点的坐标为 (3,0) ，且焦距与虚轴长之比为 5 : 4 ，则双曲线的标准方程是 2 x 9 2 y 16 1  ．【解答】解：已知双曲线中心在原点，一个顶点的坐标为 (3,0) ，则焦点在 x 轴上，且 3 a  ，焦距与虚轴长之比为 5 : 4 ，即 : c b  5 : 4 ，解得 5 c  ， 4 b  ，则双曲线的标准方程是 2 x 9 2 y 16 1  ． 8．（4 分）方程 log ( 3 x 2  10) 1 log   x 3 的解是 5x  ．【解答】解： log ( 3 x 2  10) 1 log   x ， 3   2 10 3 x  x  ， 0 解得 5x  ．  log ( 3 x 2  10) 1 log   3 x 的解是 5 x  ．故答案为： 5 x  ． 9．（4 分）已知实数 x ， y 满足 3 0   5 0 y  y x    2 x   0 x   0 y ，则 2y x 的最大值是 0 ．【解答】解：已知实数 x ， y 满足 3 0   5 0 y  x y    2 x   0 x   0 y ，其对应的可行域如图示：由图得得三个交点为 (3,0) A 、 (5,0) B 、 (1,2) C ，则 2y x 的最大值是 0．

10．（4 分）在一个小组中有 8 名女同学和 4 名男同学，从中任意地挑选 2 名同学担任交通安全宣传志愿者，那么选到的两名都是女同学的概率是 14 33 （结果用分数表示）．【解答】解：在一个小组中有 8 名女同学和 4 名男同学，从中任意地挑选 2 名同学担任交通安全宣传志愿者，那么选到的两名都是女同学的概率是 2 CP  8 2 C 12  ． 14 33 故答案为： 14 33 ． 11．（4 分）若曲线| | 2 y  1x  与直线 y b 没有公共点，则 b 的取值范围是 1 1b ．【解答】解：曲线| | 2 y  1x  得| | 1 y  ， 1y  或 y   ，曲线与直线 y 1 b 没有公共点，则 b 的取值范围是[ 1 ，1] ．故答案为 1 1b 12．（4 分）如图，平面中两条直线 1l 和 2l 相交于点 O ，对于平面上任意一点 M ，若 p ，q 分别是 M 到直线 1l 和 2l 的距离，则称有序非负实数对 ( , )p q 是点 M 的“距离坐标”，根据上述定义，“距离坐标”是 (1,2) 的点的个数是 4 ．

【解答】解：如图，平面中两条直线 1l 和 2l 相交于点 O ，对于平面上任意一点 M ，若 p ， q 分别是 M 到直线 1l 和 2l 的距离，则称有序非负实数对 ( , )p q 是点 M 的“距离坐标”，根据上述定义，“距离坐标”是 (1,2) 的点可以在两条直线相交所成的四个区域内各找到一个，所以满足条件的点的个数是 4 个．故答案为：4．二、选择题（共 4 小题，每小题 4 分，满分 16 分） 13．（4 分）如图，在平行四边形 ABCD 中，下列结论中错误的是 ( )   A． AB DC   B． AD AB AC      C． AB AD BD      AD CB  0  D．  【解答】解：在平行四边形 ABCD 中，根据向量的减法法则知 AB AD DB     ，所以下列结论中错误的是 C ．故选： C ． 14．（4 分）如果 0 a  ， 0 b  ，那么，下列不等式中正确的是 ( ) A． 1 a  1 b B． a   b C． 2 a 2 b D．| a | | b | 【解答】解： A 、如果 0 a  ， 0 b  ，那么 1 a  10, b  ， 1 0 a  ，故 A 正确； 1 b a   ， 1b  ，可得 a   ，故 B 错误； 2 b B 、取 C 、取 D 、取 2 1 2 a   ， 1b  ，可得 2 a 2 b ，故 C 错误； a   ， 1b  ，可得| a | | b ，故 D 错误； | 故选： A ． 15．（4 分）若空间中有两条直线，则“这两条直线为异面直线”是“这两条直线没有公共点”的 ( ) A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充分必要条件 D．既非充分又非必要条件【解答】解：若空间中有两条直线，

则“这两条直线为异面直线”  “这两条直线没有公共点”；反之“这两条直线没有公共点”不能推出“这两条直线为异面直线”，因为“这两条直线可能平行，可能为异面直线”；所以“这两条直线为异面直线”是“这两条直线没有公共点”的充分非必要条件，故选： A ． 16．（4 分）如果一条直线与一个平面垂直，那么，称此直线与平面构成一个“正交线面对”．在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是 ( ) A．48 B．18 C．24 D．36 【解答】解：如果一条直线与一个平面垂直，那么，称此直线与平面构成一个“正交线面对”．在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”，分情况讨论：①对于每一条棱，都可以与两个侧面构成“正交线面对”，这样的“正交线面对”有 2 12   个； 24 ②对于每一条面对角线，都可以与一个对角面构成“正交线面对”，这样的“正交线面对” 有 12 个；所以正方体中“正交线面对”共有 36 个．选 D ．三、解答题（共 6 小题，满分 86 分） 17．（12 分）已知是第一象限的角，且 cos  ，求 sin( cos(2    ) 4 4 )    的值． 5 13 2 2 cos 【解答】解：由已知可得 sin  ， sin( cos(2     ) 4 4 )   12 13 2 2  (cos sin )    cos2    (cos 2   sin )   2  sin  2 2 cos  1    sin 原式 2 2     13 2 14 ． 1  5 12 13 13 18．（12 分）如图，当甲船位于 A 处时获悉，在其正东方向相距 20 海里的 B 处有一艘渔船遇险等待营救．甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西 30 ，相距 10 海里 C 处的乙船，试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往 B 处救援（角度精确到1 ) ？

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