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2010年C题《输油管布置》.pdf
2010201020102010 高教社杯全国大学生数学建模竞赛
承 诺 书
我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.
我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮
件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问
题。
我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他
公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正
文引用处和参考文献中明确列出。
我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反
竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。
我们参赛选择的题号是（从 A/B/C/D 中选择一项填写）：
C
我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：
4117
所属学校（请填写完整的全名）： 湛江现代科技技术学院
参赛队员 (打印并签名) ：1.
2.
3.
陈文锋
陈梅玲
黄翠莲
指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)：
数模组
日期： 2010 年 9 月 13 日
赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：
1
2010201020102010 高教社杯全国大学生数学建模竞赛
编 号 专 用 页
赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：
赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：
评
阅
人
评
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备
注
全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：
全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：
2
2010 高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目
（请先阅读“全国大学生数学建模竞赛论文格式规范”）
CCCC 题 输油管的布置
某油田计划在铁路线一侧建造两家炼油厂，同时在铁路线上增建一个车站，用来运送
成品油。由于这种模式具有一定的普遍性，油田设计院希望建立管线建设费用最省的一般数
学模型与方法。
1. 针对两炼油厂到铁路线距离和两炼油厂间距离的各种不同情形，提出你的设计方案。
在方案设计时，若有共用管线，应考虑共用管线费用与非共用管线费用相同或不同的情形。
2. 设计院目前需对一更为复杂的情形进行具体的设计。两炼油厂的具体位置由附图所
示，其中 A 厂位于郊区（图中的 I 区域），B 厂位于城区（图中的 II 区域），两个区域的
分界线用图中的虚线表示。图中各字母表示的距离（单位：千米）分别为 a= 5，b= 8，c=
15，l= 20。
若所有管线的铺设费用均为每千米 7.2 万元。 铺设在城区的管线还需增加拆迁和工程
补偿等附加费用，为对此项附加费用进行估计，聘请三家工程咨询公司（其中公司一具有甲
级资质，公司二和公司三具有乙级资质）进行了估算。估算结果如下表所示：
工程咨询公司
公司一
公司二
公司三
附加费用（万元/千米）
21
24
20
请为设计院给出管线布置方案及相应的费用。
3
3. 在该实际问题中，为进一步节省费用，可以根据炼油厂的生产能力，选用相适应的
油管。这时的管线铺设费用将分别降为输送 A 厂成品油的每千米 5.6 万元，输送 B 厂成品
油的每千米 6.0 万元，共用管线费用为每千米 7.2 万元，拆迁等附加费用同上。请给出管线
最佳布置方案及相应的费用。
解答：
输油管的布置规划
摘要
本文针对输油管的布置规划问题，结合题目的条件，根据所给数据建立了合
理的铺设输油管的模型，并运用图解法、分析法、物理知识，建立了基于联合实
际的管道铺设管线数学模型.
在问题一中,我们综合考虑了存在共用管道与否时的情形.确定了使用共用
管道与非共用管道相结合方案的主要思想.
在问题二中,不考虑外界的因素,提出了两个可行的模型,然后综合评价两个
模型的优异性,在使用最少资金的情况下对模型进行了大量的数据计算.计算出
铺设输油管道时使用最少资金的方案和具体的铺设线路方案.同时解决了三家工
程咨询公司所提出的三种不同附加费用方案，并对其进行了较为合理的估价.
对于问题三，在问题二的前提下进一步精确的求解了使用最少资金方案 .根
据改进的问题二,进行转换.求解了在管道价格不同的情况下所形成的管道路线.
并求出了跟实际相符合的管道铺设工程的费用.
最后,结合实际对模型做出综合的分析与评价.
关键词：铺设线路，铺设费用，附加费用，共用管道，比较分析
1. 问题的重述
本题主要是建立一个使管线建设费用最省的一般数学模型.对此我们给出下
面假设.
问题一：分析两炼油厂到铁路线的距离和两炼油厂间距离的各种不同情况，
合理安排车站的位置，提出合理的方案.
问题二：分析铺设管道所使用的是共用管道，还是非共用管道，如何铺设管
道才能使铺设费用最省，对此建立模型并分析求解.在三家工程咨询公司所给出
的城区铺设管道附加费均不相同的情况下，求出最合理的估价.
问题三：根据实际情况，在两家炼油厂使用的管道价格各不同的时候，建立
模型，求解最合适的管道路线铺设方案.
4
2. 问题分析
2.1 问题一的分析
对于问题一，我们建立一个平面直角坐标系，标出厂的位置以及已知的铁道
的位置，建立一个点 E，使得它到 A、B 两点以及到铁道的路线最短.
2.2 问题二的分析
按照所提出的方案，综合分析比较各个方案，选择出最合理的方案规划图 .
由于三家工程咨询公司的资质不同，所以进行评估的估算结果所占的比重也不相
同，这样我们可以根据这一点得出城区拆迁铺设油管所估算的数值.
2.3 问题三的分析
根据问题二选择出的方案，在两家炼油厂的生产能力且所用管道价格均不相
同的情况下，即在模型二的系数改变的情况下，重新求解出模型的最新解 .因此
将已知的数据代入问题二建立起的模型中，求解便可得到实际应需要的资金.
3.模型的假设
1.忽略可以阻挠铺设管道的一些外界因素，
2.忽略在铺设过程中所产生的其他费用.
4.数值符号的说明
K：指的是在郊区区域铺每千米设管道的费用，
T：指的是三家工程咨询公司估计的最优费用，
a：铁道到 A 点炼油厂的最近距离，
b：铁道到 B 点炼油厂的最近距离，
c：A 炼油厂到城区与郊区的最近距离，
l：A 点平行于铁路到 B 点的最近距离，
I：郊区的区域，
II：城区的区域，
(
E
ooyx ：是 A、B 两点所交汇的一个可变的坐标点，
)
f ：是铺设油管不同的方案而产生的费用函数，
H：是实际使用公用管道时铺设管道的费用，
M：是实际 A 炼油厂使用管道的价格，
1K ：是实际 B 炼油厂所使用管道的价格.
5.模型的建立
5.1 问题一的求解
针对两炼油厂到铁路线距离和两炼油厂间距离各种不同的情形，主要考虑是
否使用共用管道的情况,单一使用非公共管线是一种不现实的铺设管道的方式，
也就是说如若只使用非共用管道的情况，A、B 的管线就必须直接连接到车站上，
而这种情况则使得铺设管线的费用增加了，因此我们主要提倡的是共用管道与非
5
共用管道相连合的管线建设方法.
5.2 问题二的求解
根据设计院目前需对一更为复杂的情形进行具体的设计.两炼油厂的具体位
置由下图所示，其中 A 厂位于郊区（图中的 I 区域），B 厂位于城区（图中的 II
区域），可以得到两个较为合适的模型.
模型一
如图所示：
以铁道为 X 轴，AC 为 Y 轴，建立坐标系.设两条输油管交于点 E(
)o
o yx ,
,B、
E 两点与郊区、城区的交界处为 F.
则：
点 E 到点 A 的距离为：EA=
(
2
xay
o
o
2)
+
−
,
点 E 到点 G 的距离为：EG= oy ,
点 E 到点 B 的距离为：EB=
yb
(
o
−
)
2
−+
xl
(
o
)
2
.
由点 E 与点 B 的连线所形成的直线函数为：y=
yb
−
o
xl
−
o
ybbx
−
−+
o
xl
−
o
l
，可求点
F 的坐标为 F
c
,
⎛
⎜⎜
⎝
(
)
lcyb
−
)(
−
o
xl
−
o
+
⎞
b
⎟⎟
⎠
.
EF 之间的距离为
[
lcyb
(
)
−
−
)(
o
xl
−
o
yb
−+
o
]
2
+
xc
(
o
−
)
2
,
FB 之间的距离为
2[
b
−
lcyb
(
)
−
−
)(
o
xl
−
o
2]
(
xl
−+
o
)2
.
6
已知在郊区铺设管道的费用为 K=7.2 万元，在城区铺设管道时,因拆迁而产
生的费用为 T,所以
yxf
(
oo
,
)
=
(
AE
+
EF
+
建立模型
KTFBKEG
)
+
+
•
•
(
)
(
xay
2
o
o
++
−
)
2
lcyb
)(
(
)
−
−
o
xl
−
o
⎛
⎜⎜
⎝
yb
−+
o
2
⎞
xc
(
)
−+⎟⎟
o
⎠
2
+
yxf
(
)
oo
,
=
⎡
⎢
⎢
⎣
模型二：
⎤
lcybbKy
])
−
⎥
o
⎥
⎦
)(
−
o
xl
−
o
+•
2[
−
(
2
KTxl
(
)
−+
(
+•
2
)
o
同理, 点 E 到 A 的距离为：AE=
(
ay
2)
o
−
+
2
x
o
,
点 E 到 C 的距离为：EC= oy ,
点 E 到 F 的距离为：EF=
−
点 E 到 B 的距离为：EB= cl− .
yb
(
o
2
)
+
xc
(
o
−
)
2
,
已知在郊区铺设管道的费用为 K=7.2 万元，在城区铺设管道时,因拆迁而产
生的费用为 T,所以：
yxf
(
oo
,
)
=
(
AE
+
EF
+
建立模型
KTFBKEG
)
+
+
•
•
(
)
, oo yxf
(
=)
(
(
ay
2)
o
−
+
2
x
o
+
yb
(
o
−
)
2
+
xc
(
o
−
)
2
+
oy ) • K+( cl− ) • (T+K)
比较以上两个模型,可以得出，主要比较的是模型一中的
−
lcyb
([
])
−
)(
o
xl
−
0
2
+
(
xc
o
−
)
2
+
lcybb
])
−
2[
−
−
(
)(
o
xl
−
0
2
−+
xl
(
o
)
2
与模型二中的
这两块的大小.当两个式子中 oo yx , 取
同一点的坐标值时，模型一得到的结果总比模型二的结果大，因此可以确定模型
yb
(
o
xl
(
o
−+
−+
cl
)
(
−
)
)
2
2
7
二是比模型一更为节省资金的一种方案.
因为模型二是较优化的一种方案，所以只针对于模型二进行求解.
对模型求偏导
f
'
XO
(
yx
oo
,
)
=
(
x
o
ay
)
−
o
(
−
(
2
+
x
2
o
−
2
xc
o
xc
)
(
+
o
−
yb
o
−
)
•
K
,
2
)
f
'
yO
(
yx
oo
,
)
=
(
y
o
ay
)
o
−
(
−
(
2
+
2
x
o
−
2
yb
o
xc
)
(
+
o
−
yb
o
−
+
)1
•
K
.
2
)
将 a = 5，b = 8，c = 15，l = 20，K=7.2, T 代入模型中：
令偏导数：
⎧
⎪
⎨
⎪⎩
x
o
yxf
'
o
o
f
yx
'
o
o
(
(
,
,
y
o
)
)
=
=
0
0
得到驻点：E（6，3.7）
将 E 点代入模式二可以得到
=)7.3,6(f
178.56+5T
根据三家工程咨询公司对铺设在城区的管线还需要增加拆迁和工程的补偿
等附加费用的估计的结果，在三家工程咨询公司的资质级别不相同的情况下，对
他们所作出的估价进行评估有着重要的作用，根据参考文献[2],对这类问题,我
们不能只对公司一的结果做出较大的肯定，要对其余两家公司的结果也需要认
可，所以我们可以根据三家公司的实力来估算他们所的出估计价格比重 .因此可
以这样安排,公司一的估价所占的比重为百分之四十，其余的两家公司估价所占
的比重均占百分之三十.
所以 T=21*0.4+(24+20)*0.3=2.16 万元.
因此将 T 代入模型二可得:
f
)7.3,6(
=
56.178
+
6.21*5
=
万元56.286
.
5.3 问题三的求解
模型三
对于问题三，由于铺设管道的费用均不相同，所以在模型二的基础上可以得
出模型三：
yxf
(
oo
,
)
=
(
ay
)
o
−
2
+
2
yb Kx
o
o
−
+
•
(
1
2
)
+
(
MTclHyMxc
)
−+
+
+
−
•
•
•
(
)
(
2
)
o
o
同理,对模型三求偏导，可得到
yxf
'
o
,
o
(
x
o
)
=
f
'
y
o
(
yx
o
o
,
)
=
⎧
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎩
x
o
ay
)
−
o
y
o
ay
)
−
o
(
(
2
+
2
x
o
2
+
x
2
o
•
K
1
−
•
-K
1
2
(
Mxc
(
)
−
•
o
yb
xc
)
(
−
+
−
o
o
yb
(
M)
−
•
o
xc
yb
(
)
(
2
+
−
−
o
o
)
2
)
.
+
H
2
将 a = 5，b = 8，c = 15，l = 20， 1K =5.6,M=6.0, T=21.6.，H=7.2 代
8
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