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2010年四川高考文科数学真题及答案.doc
2010 年四川高考文科数学真题及答案
第Ⅰ卷
本试卷共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的。
一、选择题
1、设集合
A
3,5,6,8
,集合
B
4,5,7,8
,则 A B 等于（
）
（A）
3,4,5,6,7,8
(B)
3,6
(C)
4,7
（D）
5,8
2、函数
y
log
x
2
的图象大致是（
）
（A）
(B)
3、抛物线 2
y
x 的焦点到准线的距离是（
8
(C)
）
(D)
（A）1
(B) 2
(C) 4
(D) 8
4、一个单位有职工 800 人，其中具有高级职称的 160 人，具有中级职称的 320 人，具有初级职
称的 200 人，其余人员 120 人。为了解职工收入情况，决定采用分层抽样的方法，从中抽取容量为
40 的样本，则从上述各层中依次抽取的人数分别是（
）
（A）12,24,15,9
(B)9,12,12,7
(C)8,15,12,5
(D)8,16,10,6
2
x mx
5、函数
( )
f x
2
m
（A）
1
的图象关于直线 1x 对称的充要条件是（
2m
m
（C）
（B）
1
BC
1m
（D）
AB AC
2
16,
）
AB AC
, 则
6 、 设 点 M 是 线 段 BC 的 中 点 ， 点 A 在 直 线 BC 外 ，
AM
(
(A) 8
)
7、将函数 sin
y
(B) 4
(C) 2
(D) 1
x
的图象上所有的点向右平行移动
10
个单位长度，再把所得各点的横坐标伸
长到原来的 2 倍（纵坐标不变）所得图象的解析式是（
）
y
（A） sin(2
x
1
2
sin(
（C）
y
x
)
10
10
)
y
（B） sin(2
x
1
2
sin(
（D）
y
x
)
5
20
)
8、某工厂用某原料由甲车间加工出 A 产品，由乙车间加工出 B 产品。甲车间加工一箱原料需
耗费工时 10 小时可加工出 7 千克 A 产品，每千克 A 产品获利 40 元；乙车间加工一箱原料需耗费工
时 6 小时可加工出 4 千克 B 产品，每千克 B 产品获利 50 元。甲、乙两车间每天共能完成至多 70 箱
原料的加工，每天甲、乙两车间耗费工时总和不得超过 480 小时，甲、乙两车间每天总获利最大的
生产计划为（
）
（A）甲车间加工原料 10 箱，乙车间加工原料 60 箱；
（B）甲车间加工原料 15 箱，乙车间加工原料 55 箱；
(C) 甲车间加工原料 18 箱，乙车间加工原料 50 箱；
(D) 甲车间加工原料 40 箱，乙车间加工原料 30 箱；
9、由 1,2,3,4,5,组成没有重复数字且 1、2 都不与 5 相邻的五位数的个数是（
（A）36
(B) 32
(C)28
(D)24
）
10、椭圆
2
2
x
a
2
2
y
b
1(
a
的右焦点为 F,其右准线与 x 轴交点为 A，在椭圆上存在点 P 满
0)
b
足线段 AP 的垂直平分线过点 F,则椭圆离心率的取值范围是（
（A）
(0,
2
2
]
(B)
1(0,
2
]
(C)[ 2 1,1)
）
1[
2
,1)
(D)
11、设
a
b ，则 2
a
0
1
ab
1
(
a a b
)
的最小值是（
）
（A）1
12、半径为 R 的球O 的直径 AB 垂直于平面，垂足为 B， BCD
(D) 4
(B) 2
(C)3
是平面内边长为 R 的正三
角形，线段 AC、AD 分别与球面交于点 M、N，那么 M、N 两点间的球面距离是（
）
（A）
R
arccos
（B）
17
25
(D)
(C)
R
1
3
第Ⅱ卷
本卷共 10 小题，共 90 分
二、填空题：本大题共 4 小题，共 16 分，
18
25
arccos
R
4
15
R
把答案填在题中横线上。
13、
(
x
的展开式中的常数项为
（用数字作答）
42
)
x
x
14、直线 2
y
与圆 2
x
5 0
2
y
相交于 A、B 两点，则 AB
8
15、二面角 l 的大小是 60 ，
AB
B l
，AB 与l 所成的角为30 ，则 AB 与平面
,
所成角的正弦值是
16、设 S 为复数集 C 的非空子集，若对任意
,则称 S 为封闭集，下列命题：
的 ,x y
S
,
y x
,
y xy
S ,都有
x
① 集合
② 若 S 为封闭集，则一定有 0 S ；
③ 封闭集一定是无限集；
3 ,
a b
a b
S
为整数 为封闭集；
④ 若 S 为封闭集，则满足 S
其中真命题是
T
R
的任意集合 T 也是封闭集。
（写出所有真命题的序号）
三、解答题：本大题共 6 个小题，共 74 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17、(本小题满分 12 分)某种有奖销售的饮料，瓶盖内印有“奖励一瓶”或“谢谢购买”字样，
购买一瓶若其瓶盖内印有“奖励一瓶：字样即为中奖，中奖概率为
买了一瓶该饮料，
（Ⅰ）求三位同学都没的中奖的概率；
（Ⅱ）求三位同学中至少有两位没有中奖的概率。
1
6
，甲、乙、丙三位同学每人购
18、(本小题满分 12 分)已知正方体
角线 'BD 的中点，
ABCD A B C D
'
'
'
'
中，点 M 是棱 'AA 的中点，点O 是对
（Ⅰ）求证：OM 为异面直线 'AA 与 'BD 的公垂线；
（Ⅱ）求二面角
'
的大小；
M BC B
'
19、(本小题满分 12 分)
(Ⅰ)①证明两角和的余弦公式 (
C
) : cos(
)
cos
sin sin
cos
；
② 由 (
C 推导两角和的正弦公式 (
S
)
) :sin(
)
sin cos
cos
sin
。
（Ⅱ）已知
cos
，
4
5
)
( ,
3
2
，
tan
1
3
,
(
,
2
)
求 cos(
) 。
20、（本小题满分 12 分）已知等差数列 na 的前 3 项和为 6,前 8 项和为－4.
（Ⅰ）求数列 na 的通项公式；
（Ⅱ）设
b
n
(4
)
a q
n
n
1
((
q
0,
n N
)
，求数列 nb 的前 n 项和 nS 。
21、(本小题满分 12 分)已知定点 ( 1,0),
A
F
(2,0)
,定直线
:
l x ，不在 x 轴上的动点 P 与点
1
2
F 的距离是它到直线l 的距离的 2 倍，设点 P 的轨迹为 E，过点 F 的直线交 E 于 B、C 两点，直线 AB、
AC 分别交l 于点 M、N.
(Ⅰ)求 E 的方程；
（Ⅱ） 试判断以线段 MN 为直径的圆是否过点 F,并说明理由。
22、(本小题满分 14 分)设
( )
f x
1
1
x
x
a
a
(
a
0,
a
且
1),
( )
g x
是 ( )
f x 的反函数，
（Ⅰ）求 ( )g x
（Ⅱ）当 [2,6]
x
时，恒有
( )
g x
log
t
1)(7
x
)
a
2
(
x
成立，求t 的取值范围。
（Ⅲ）当
0
a 时，试比较 (1)
f
1
2
f
(2)
( )
f n
与 4n 的大小，并说明理由。
2010 年四川省高考数学（文史类）试题
参
考
解
答
一、选择题：本题考查基本概念和基本运算，每小题 5 分，满分 60 分
题号 1
答案 D
2
C
3
C
4
D
5
A
6
C
7
C
8
B
9
A
10
D
11
D
12
A
11、解析：由
d
2
a
1
ab
1
(
a a b
)
2
a
2
2
a
2
1
ab
1
(
)
a a b
2(
a b
a
)
2
b
a
2
6
6
2
a
2
2
a
2
号
1
1
)
ab a a b
(
2(
a b
a
) 2
b
a
2
，当且仅当 2
b
6 2
4
a
时，取等
2
12、解析：先求
tan
BAC
AB
BC
2
R
R
2,
AC
5
R
,所以
cos
BAC
2 5
5
,由余弦定理
得 2
R
2
R
AM
2
2
R AM
2 5
5
, 得
AM
2
R
2 5
5
4 5
5
R
， 由 相 似 三 角 形 得
,则球心角余弦值为
cos
MON
2
R
AM MN MN
AC
R
MN r
故有
4
5
arccos
R
17
25
R
2
2
R
2
R
)
4(
5
2
17
25
,
二、填空题：本题考查基础知识和基本运算，每小题 4 分，满分 16 分。
13、24
14、 2 3
三、解答题：
15、
3
4
(16) ① ②
17、解析：（Ⅰ）设甲、乙、丙中奖的事件分别为 A、B、C,那么
(
)
P A
(
P B
)
(
P C
)
1
,
6
25
27
1
2
(
P A B C
)
(
(
P A P B P C
)
(
)
)
(
35
)
6
答：三位同学都没有中奖的概率是
（Ⅱ）
1
(
P A B C A B C
)
.
125
216
125
216
A B C A B C
。
答：三位同学中至少有两位没有中奖的概率为
……………（6 分）
) 1 3 (
1
)
6
2
5
6
(
1
)
6
3
25
27
18、解法一：连接 AC,取 AC 中点 K，则 K 为 BD 中点，连接 OK，因为点 M 是棱 'AA 的中点，点
O 是 'BD 的中点，∴
AM
DD OK
'
,AM∥
BD ∥OK ,∴ MO AK
'
, MO ∥ AK .
1
2
由 'AA
AK
,得
MO AA
'
.
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