2010年四川高考理科数学真题及答案.doc-资料库

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2010 年四川高考理科数学真题及答案一、选择题：第Ⅰ卷（1）i 是虚数单位，计算 2 i    i i 3 （A）－1 （B）1 （C） i （D）i （2）下列四个图像所表示的函数，在点 0 x  处连续的是（A）（B）（C）（D）（3） 2log 10 log 0.25   5 5 （A）0 （B）1 （C） 2 （D）4 （4）函数 ( ) f x  2 x mx   的图像关于直线 1x  对称的充要条件是 1 （A） m   2 （B） 2m  （C）（5）设点 M 是线段 BC 的中点，点 A 在直线 BC 外， 1 m    BC 2 16,   （D）   AB AC  1m    AB AC    则  AM  （A）8 （6）将函数 sin  y （B）4 （C） 2 （D）1 x 的图像上所有的点向右平行移动  10 个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变），所得图像的函数解析式是 y  （A） sin(2 x 1 2 sin( （C）  y x  )  10   10 ) y  （B） sin(2 x 1 2 sin( （D）  y  x   ) 5  20 ) （7）某加工厂用某原料由甲车间加工出 A 产品，由乙车间加工出 B 产品．甲车间加工一箱

原料需耗费工时 10 小时可加工出 7 千克 A 产品，每千克 A 产品获利 40 元，乙车间加工一箱原料需耗费工时 6 小时可加工出 4 千克 B 产品，每千克 B 产品获利 50 元．甲、乙两车间每天共能完成至多 70 箱原料的加工，每天甲、乙两车间耗费工时总和不得超过 480 小时，甲、乙两车间每天总获利最大的生产计划为（A）甲车间加工原料 10 箱，乙车间加工原料 60 箱（B）甲车间加工原料 15 箱，乙车间加工原料 55 箱（C）甲车间加工原料 18 箱，乙车间加工原料 50 箱（D）甲车间加工原料 40 箱，乙车间加工原料 30 箱（8）已知数列 na 的首项 1 a  ，其前 n 项的和为 nS ，且 1 n   0 S 2 S n a  ，则 lim n S n a 1 n  （A）0 （B） 1 2 （C） 1 （D）2 （9）椭圆 2 2 x a  2 2 y b  1( a    的右焦点 F ，其右准线与 x 轴的交点为 A，在椭圆上存在 b ) 点 P 满足线段 AP 的垂直平分线过点 F ，则椭圆离心率的取值范围是（A） 2 2 （B） 10, 2  2 1,1  （D） 1,1 2 （C）              0,        （10）由 1、2、3、4、5、6 组成没有重复数字且 1、3 都不与 5 相邻的六位偶数的个数是（A）72 （B）96 （C） 108 （D）144 （11）半径为 R 的球O 的直径 AB 垂直于平面，垂足为 B ， BCD 是平面内边长为 R 的正三角形，线段 AC 、 AD 分别与球面交于点 M，N，那么 M、N 两点间的球面距离是（A） R arccos （B） R arccos 17 25 18 25 （C） 1 （D） 4 3 R 15 R （12）设 a    ，则 2 a 2 0 b c A O M B N D C   1 ab  1 ( a a b  )  10 ac  2 25 c 的最小值是（A）2 （B）4 （C） 2 5 （D）5

2010 年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）数学（理工农医类）第Ⅱ卷二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分．把答案填在题中横线上．（13） (2  1 x 3 6 ) 的展开式中的第四项是__________．（14）直线 2 y x   与圆 2 x 5 0 2 y  相交于 A、B 两点，则 AB  ________． 8 （15）如图，二面角 l   的大小是 60°，线段 AB  ． B l ， AB 与l 所成的角为 30°．则 AB 与平面所成的角的正弦值是_________．   A  B  （16）设 S 为复数集 C 的非空子集．若对任意 x, y S ，都有 x  y,x  y,xy  ，则称 S S 为封闭集。下列命题： ①集合 S    （ a,b 为整数，i 为虚数单位）为封闭集； a bi ②若 S 为封闭集，则一定有 0 S ； ③封闭集一定是无限集； ④若 S 为封闭集，则满足 S   的任意集合T 也是封闭集． T C 其中真命题是_________________ （写出所有真命题的序号）三、解答题：本大题共 6 小题，共 74 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。（17）（本小题满分 12 分）某种有奖销售的饮料，瓶盖内印有“奖励一瓶”或“谢谢购买”字样，购买一瓶若其瓶盖内印有“奖励一瓶”字样即为中奖，中奖概率为 1 6 ．甲、乙、丙三位同学每人购买了一瓶该饮料。（Ⅰ）求甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率；（Ⅱ）求中奖人数ξ的分布列及数学期望 Eξ．（18）（本小题满分 12 分）已知正方体 ABCD A C D     的棱长为 1，点 M 是棱 AA 的中点，点O 是对角线 BD 的中点．（Ⅰ）求证：OM 为异面直线 AA 和 BD 的公垂线； D A DM  A  O B B C C

（Ⅱ）求二面角 M BC B （Ⅲ）求三棱锥 M OBC   的体积．    的大小；（19）（本小题满分 12 分）（Ⅰ）①证明两角和的余弦公式C    : cos( )     cos     sin sin cos  ； ②由 aC 推导两角和的正弦公式   AB AC  S  （Ⅱ）已知△ABC 的面积 1 2 S a   : sin( a  )   sin a cos   cos a sin .  ．  3 ，且 cos B  ，求 cos C ． 3 5 （20）（本小题满分 12 分）已知定点 A(  1 0 , ),F( 2 0 , ) ，定直线 l : x  ，不在 x 轴上的动点 P 与点 F 的距离是 1 2 它到直线 l 的距离的 2 倍．设点 P 的轨迹为 E ，过点 F 的直线交 E 于 B C、两点，直线 AB AC、分别交l 于点 M N、（Ⅰ）求 E 的方程；（Ⅱ）试判断以线段 MN 为直径的圆是否过点 F ，并说明理由．（21）（本小题满分 12 分）已知数列 na 满足 1 a 20 ,a  ，且对任意 m,n N * 都有 2 a 2 m 1   a 2 n 1   2 1 nm   (2 nm  ) 2 （Ⅰ）求 3 a ,a ； 5 （Ⅱ）设 b n  a 2 n 1   a 2 n 1    ( n N*) 证明： nb 是等差数列；（Ⅲ）设 c n  ( a 2 n 1   ) qa n n 1  ( q  ,0 Nn  *) ，求数列 nc 的前 n 项和 nS ．（22）（本小题满分 14 分）设 f ( x )  1 1   x x a a （ 0 a  且 1a  ）， g( x ) 是 f ( x ) 的反函数．（Ⅰ）设关于 x 的方程 log t 2 1 7 )(  a ( x  x )  g( x ) 在区间 2 6, 上有实数解，求t 的取值范围；（Ⅱ）当 a e （ e 为自然对数的底数）时，证明： n  k  2 g( k )  2 2 n n   2 1 n( n  ) ；

（Ⅲ）当  0    时，试比较  k 1 2 1  n f ( k ) n   与 4 的大小，并说明理由．参考答案一、选择题：本题考查基本概念和基本运算。每小题 5 分，满分 60 分。 1—6：ADCACC 1—12：BBDCAB 二、填空题：本题考查基础知识和和基本运算。每小题 4 分，满分 16 分。（13）  160 x 三、解答题（14） 32 （15） 3 4 （16）①② （17）本小题主要考查相互独立事件、随机变量的分布列、数学期望等概念及相关计算，考查运用所学知识与方法解决实际问题的能力。解：（Ⅰ）设甲、乙、丙中奖的事件分别为 A、B、C，那么 ) ( AP  ( BP )  ( CP )  , 1 6 ) ( CBAP   )  ( ( CPBPAP ( ) ) 1  6 5( 6 ) 2  25 216 . 答：甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率是（Ⅱ）的可能取值为 0，1，2，3。 25 216 …………（6 分） k )   P (  5() 1( 6 6 所以中奖人数 的分布列为 k ,  k C 4 3 3 ) k  .3,2,1,0  P E 0 125 216 1  25 72 0 125 216 5 2  72 3  1 216 1 25 72 1  .2 2 5 72 3 1 216 …………（12 分）（18）本小题主要考查异面直线、直线与平面垂直、二面角、正方体、三棱锥体积等基础知识，并考查空间想象能力和逻辑推理能力，考查应用向量知识解决数学问题的能力。

（Ⅰ）连结 AC，取 AC 的中点 K，则 K 为 BD 的中点，连结 OK。因为点 M 是棱 AA  的中点，点 O 是 DB  的中点，所以 AM ∥= 1 2 DD  ∥= OK 所以 MO  AA AK 因为 AK BO 又因为 ∥= AK , AK    OM 所以所以  , AA MO  得 , AK BB BD   . DB  . DB z 与异面直线  , 所以 AK  平面  BDBD  , AA  和 DB  都相交 , 故 OM 为异面直线  AA 和 DB  的公垂线。……（4 分）（Ⅱ）取 BB  的中点 N , 连结 MN , 则 MN  平面  BCBC  , 作过点 N NH  HCB  于 , 连结 MH , 则由三垂线定理得， CB  .MH 从而，  MHN 为二面角  BCBM  . 的平面角 MN  ,1 NH  BN sin  45 在 Rt  MNH 中 tan, MHN  2 4  . .22 2 2  1  2 MN NH  1 2 4 故二面角  BCBM  的大小为 atc tan .22 ……………………（9 分）（Ⅲ）易知， S  DBC S   OCB  OBC 和  DAO   都在平面  ADBC  点内 , O 到平面 DAM   , 且 1h 2 . 的距离 V M  OBC  V 解法二 DAOM    V  DAMO     1 3 SΔΔ  hDA  1 24 . …………（12 分）以点 D 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系 D  ,xyz （Ⅰ）因为点 M 是棱 AA  , 的中点是点 DBO  , 的中点

),0, AA  ),1,0,0( DB  )1,1,1( O 1( 2 1, 2 1, 2 ),, 所以 OM M  1,0,1( ), 2 1( 1,  2 2  ,0 AA  , 所以 OM 又因为 OM OMAA   OM 与异面直线  为异面直线 DB  AA DB 和 AA 故 0 1 2 1 2  , DB 和  . 的公垂线  都相交 , OM  OM  DB  ,0 ………………（4 分）（Ⅱ）设平面 CBM 的一个法向量为 n 1  , ,( zyx ). BM  1,1,0( 2  ), CB  ),1,0,1(     MBn 1 CBn 1     ,0 ,0 即     z y  1 2 z  x  ,0 .0 z  取 ,2 ,2 z  则   BCB 的一个法向量为取平面从而 n 1 ).2,1,2(  n ,1  y ),0,1,0( 2 cos( nn  1 2   1 3 . nn  2 1 n n  1  1 19   2  , 由图可知二面角  BCBM . 的平面角为锐角故二面角  BCBM  的大小为 arccos 1 3 . ………………（9 分）（Ⅲ）易知， S  OBC  1 4 S ΔCDA  1 4  1  2  OBC的一个法向量为 n 1 ),1,1,1( )0,0,1(  CB   ( , zyx 1 , 1 2 4 . ), 1 设平面 DB     DBn 1 n BC 3     ,0 .0 即      x 1 x 1   y 1 .0  z 1  ,0 取 z 1  ,1 则 y 1  ,1 从而 n 3  ).1,1,0( 点 M 到平面 OBC 的距离

d  BM  n 1 n 3 1 2 2   1 22 . V M  ABC  1 3 S ΔOBC 1 d  3 2 4  1 22  1 24 . ………………（12 分）（19）本小题考查两角和的正、余弦公式、诱导公式、同角三角函数间的关系等基础知识及运算能力。解：（Ⅰ）①如图，在直角坐标系 xOy 内作单位圆 O，并作出角 a , ,   与使角 a 的始边 ,Ox为交⊙O 于点 P1，终边交⊙O 于点 P2；角的始边为 OP2，终边交⊙O 于点 P3，角  的始边为 OP2，终边交⊙O 于点 P4。 a a 则 ), ),  sin, (cos ),0,1( sin( a  ).   P P 1 2 (cos( ), a P   3 sin( ), (cos( P   4 PP PP  及两点间的距离公式由 2 4 31 [cos( ]1) a    ) [cos( cos      2 2 sin  2 ] a  22  ( a  [sin( a  )  )   )  展开并整理，得 cos( , 得 2 ] sin a 22 (cos  a cos   sin a sin ).   cos( a  )   cos a cos   sin a sin .  …………（4 分） ②由①易得， cos( cos[ sin( a  )       2  2  2 cos  cos( a ) cos( )    sin a   cos a sin .  a )  sin a , ( a  )]    sin(  2  cos[( 2  2 sin(   a )  cos . a a ) (  )]   a ) sin( )    sin( a  )   sin a cos   cos a sin .  …………（6 分）（Ⅱ）由题意，设  ABC的角 B 、C 的对边分别为 b、c，则 S  1 2 bc sin A  1 2 .

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