2015年广东省潮州市中考数学真题及答案.doc-资料库

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2015 年广东省潮州市中考数学真题及答案一、选择题 1. 2  A.2 B. 2 C. 1 2 D. 1  2 【答案】A. 【解析】由绝对值的意义可得，答案为 A。 2. 据国家统计局网站 2014 年 12 月 4 日发布消息，2014 年广东省粮食总产量约为 13 573 000 吨，将 13 573 000 用科学记数法表示为 A. 1.3573 10 6 B. 1.3573 10 7 C. 1.3573 10 8 D. 1.3573 10 9 【答案】B. 【解析】科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式，其中 1≤|a|＜10，n 为整数．确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同． 13 573 000= 3. 一组数据 2，6，5，2，4，则这组数据的中位数是 C.5 1.3573 10 ； D.6 A.2 B.4 7 【答案】B. 【解析】由小到大排列，得：2，2，4，5，6，所以，中位数为 4，选 B。 4. 如图，直线 a∥b，∠1=75°，∠2=35°，则∠3 的度数是 A.75° 【答案】C. B.55° C.40° D.35° 【解析】两直线平行，同位角相等，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，所以， 75°＝∠2＋∠3，所以，∠3＝40°，选 C。 5. 下列所述图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是 B.平行四边形 A.矩形【答案】A. 【解析】平行四边形只是中心对称图形，正五边形、正三角形只是轴对称图形，只有矩形符合。 D.正三角形 C.正五边形 6. ( 4 )x 2  A. 28x 【答案】D. B. 28x C. 16x 2 D. 16x 2 【解析】原式＝ -4 x（）＝ 2 16x 2 2 7. 在 0，2， 0 ( 3) ， 5 这四个数中，最大的数是

A.0 B.2 C. 0 ( 3) D. 5 【答案】B. 【解析】（－3）0＝1，所以，最大的数为 2，选 B。     有两个不相等的实数根，则实数 a 的取值范围是 x a 0 B. 2 C. 2a＞ D. 2a＜ 9 4 a ≤ 8. 若关于 x 的方程 2 x A. 2 a ≥ 【答案】C. 【解析】△＝1－4（ a  ）＞0，即 1＋4 a －9＞0，所以， 2a＞ 9 4 9. 如题 9 图，某数学兴趣小组将边长为 3 的正方形铁丝框 ABCD 变形为以 A 为圆心，AB 为半径的扇形 (忽略铁丝的粗细)，则所得的扇形 DAB 的面积为 A.6 B.7 C.8 D.9 【答案】D. 【解析】显然弧长为 BC＋CD 的长，即为 6，半径为 3，则 S 扇形 1 6 3 9     2 . 10. 如题 10 图，已知正△ABC 的边长为 2，E，F，G 分别是 AB，BC，CA 上的点，且 AE=BF=CG，设 △EFG 的面积为 y，AE 的长为 x，则 y 关于 x 的函数图象大致是【答案】D. 【解析】根据题意，有 AE=BF=CG，且正三角形 ABC 的边长为 2，故 BE=CF=AG=2-x；故△AEG、△BEF、△CFG 三个三角形全等．在△AEG 中，AE=x，AG=2-x，则 S △AEG = 1 2 AE×AG×sinA= 3 4 x（2-x）；故 y=S △ABC -3S △AEG = 3 －3 3 4 x（2-x）＝ 3 4 （3x 2 -6x+4）．故可得其图象为二次函数，且开口向上，选 D。二、填空题 11. 正五边形的外角和等于【答案】360. 【解析】n 边形的外角和都等于 360 度。 12. 如题 12 图，菱形 ABCD 的边长为 6，∠ABC=60°，则对角线 AC 的长是（度）. .

【答案】6. 【解析】三角形 ABC 为等边三角形。 13. 分式方程 3 1x  的解是 2 x  . 【答案】 2x  . 【解析】去分母，得：3x＝2x＋2，解得：x＝2。 14. 若两个相似三角形的周长比为 2：3，则它们的面积比是【答案】4：9. 【解析】相似三角形的面积比等于相似比的平方。 15. 观察下列一组数： 1 3 ， 5 11 ， 4 9 ， 3 7 ， 2 5 . ，…，根据该组数的排列规律，可推出第 10 个 . 数是【答案】 10 21 . 【解析】分母为奇数，分子为自然数，所以，它的规律为： n 1 n  16. 如题 16 图，△ABC 三边的中线 AD，BE，CF 的公共点 G，若 2 ，将 n＝10 代入可得。 S △ ABC  12 ，则图中阴影部分面积是 . 【答案】4. 【解析】由中线性质，可得 AG=2GD ，则 S △ BGF  S △ CGE  1 2 S △ ABG   1 2 2 3 S △ ABD    1 2 1 2 3 2 S △ ABC 1 12 2    6 ，∴阴影部分的面积为 4；其实图中各个单独小三角形面积都相等本题虽然超纲，但学生容易蒙对的. 三、解答题（一） 17. 解方程： 2 3 x 【解析】 ( x  x   或 2 0 x    x   . 2 0 x 1)( 2) 0  ∴ 1 0 ∴ 1 1 x  ， 2 x  2 18. 先化简，再求值： 2 x x  【解析】原式= x 1)( ( x  x  1) (1   1 x  1  x 1  ) 1 x ，其中 x   . 2 1

= 1 1x  当 x  2 1  时，原式= 1 2 1 1    2 2 . 19. 如题 19 图，已知锐角△ABC. (1) 过点 A 作 BC 边的垂线 MN，交 BC 于点 D（用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法）； (2) 在(1)条件下，若 BC=5，AD=4，tan∠BAD= 3 4 ，求 DC 的长. 【解析】(1) 如图所示，MN 为所作； (2) 在 Rt△ABD 中，tan∠BAD= AD BD  ， 3 4 ∴ BD  ， 4 3 4 ∴BD=3， ∴DC=AD﹣BD=5﹣3=2. 四、解答题（二） 20. 老师和小明同学玩数学游戏，老师取出一个不透明的口袋，口袋中装有三张分别标有数字 1，2，3 的卡片，卡片除数字个其余都相同，老师要求小明同学两次随机抽取一张卡片，并计算两次抽到卡片上的数字之积是奇数的概率，于是小明同学用画树状图的方法 20 图是小明同学所画的正确树状图的一部分. 寻求他两次抽取卡片的所有可能结果，题 (1) 补全小明同学所画的树状图； (2) 求小明同学两次抽到卡片上的数字之积是奇数的概率. 【解析】(1) 如图，补全树状图； (2) 从树状图可知，共有 9 种可能结果，其中两次抽取卡片上的数字之积为奇数的有 4 种结果， ∴P(积为奇数)= 4 9 21. 如题 21 图，在边长为 6 的正方形 ABCD 中，E 是边 CD 的中点，将△ADE 沿 AE 对折至△AFE，延长交 BC 于点 G，连接 AG. (1) 求证：△ABG≌△AFG； (2) 求 BG 的长. 【解析】(1) ∵四边形 ABCD 是正方形， ∴∠B=∠D=90°，AD=AB，

由折叠的性质可知 AD=AF，∠AFE=∠D=90°， ∴∠AFG=90°，AB=AF， ∴∠AFG=∠B，又 AG=AG， ∴△ABG≌△AFG； (2) ∵△ABG≌△AFG， ∴BG=FG，设 BG=FG= x ，则 GC= 6 x , ∵E 为 CD 的中点， ∴CF=EF=DE=3， ∴EG= 3x  ， 2  ， 3) ∴ 2 3  (6  2 x )  ( x 解得 2x  ， ∴BG=2. 22. 某电器商场销售 A，B 两种型号计算器，两种计算器的进货价格分别为每台 30 元，40 元. 商场销售 5 台 A 型号和 1 台 B 型号计算器，可获利润 76 元；销售 6 台 A 型号和 3 台 B 型号计算器，可获利润 120 元. (1) 求商场销售 A，B 两种型号计算器的销售价格分别是多少元？(利润=销售价格﹣进货价格） (2) 商场准备用不多于 2500 元的资金购进 A，B 两种型号计算器共 70 台，问最少需要购进 A 型号的【解析】(1) 设 A，B 型号的计算器的销售价格分别是 x 元，y 元，得：计算器多少台？ 5( 6( x x      30) ( y 30) 3(   40) 76  40) 120 y    ，解得 x=42,y=56，答：A，B 两种型号计算器的销售价格分别为 42 元，56 元； (2) 设最少需要购进 A 型号的计算 a 台，得 a 2500  ≥ 30 40(70  解得 30 x ≥ 答：最少需要购进 A 型号的计算器 30 台. a ) 五、解答题（三） 23. 如题 23 图，反比例函数 k  ( x y k ≠ ， 0x＞ )的图象与直线 3 x 相交于点 C，过直线 0 y 上点 A(1，3)作 AB⊥x 轴于点 B，交反比例函数图象于点 D，且 AB=3BD. (1) 求 k 的值； (2) 求点 C 的坐标； (3) 在 y 轴上确实一点 M，使点 M 到 C、D 两点距离之和 d=MC+MD，求点 M 的坐标.

【解析】(1) ∵A(1，3)， ∴OB=1，AB=3，又 AB=3BD， ∴BD=1， ∴B(1，1)， ∴ 1 1 1 k    ； (2) 由(1)知反比例函数的解析式为 1 x y  ，解方程组 y    y  3 x 1 x ，得  x     y 3 3 3 或  x        y  3 3 3 （舍去）， ∴点 C 的坐标为( 3 3 ， 3 )； (3) 如图，作点 D 关于 y 轴对称点 E，则 E( 1 ,1)，连接 CE 交 y 轴于点 M，即为所求.  kx b  ，则设直线 CE 的解析式为 y  3 k b  3     k b    3 1 ，解得 2 3 3 k   ， 2 3 2 b   ， ∴直线 CE 的解析式为 (2 3 3)   y x  2 3 2  ，当 x=0 时，y= 2 3 2 ， ∴点 M 的坐标为(0， 2 3 2 ). 24. ⊙O 是△ABC 的外接圆，AB 是直径，过 BC 的中点 P 作⊙O 的直径 PG 交弦 BC 于点 D，连接 AG， CP，PB. (1) 如题 24﹣1 图；若 D 是线段 OP 的中点，求∠BAC 的度数； (2) 如题 24﹣2 图，在 DG 上取一点 k，使 DK=DP，连接 CK，求证：四边形 AGKC 是平行四边形； (3) 如题 24﹣3 图；取 CP 的中点 E，连接 ED 并延长 ED 交 AB 于点 H，连接 PH，求证：PH⊥AB.

【解析】(1) ∵AB 为⊙O 直径，  BP PC ， ∴PG⊥BC，即∠ODB=90°， ∵D 为 OP 的中点， ∴OD= 1 2 OP OB ，  1 2  ， ∴cos∠BOD= 1 2 OD OB ∴∠BOD=60°， ∵AB 为⊙O 直径， ∴∠ACB=90°， ∴∠ACB=∠ODB， ∴AC∥PG， ∴∠BAC=∠BOD=60°； (2) 由（1）知，CD=BD， ∵∠BDP=∠CDK，DK=DP， ∴△PDB≌△CDK， ∴CK=BP，∠OPB=∠CKD， ∵∠AOG=∠BOP， ∴AG=BP， ∴AG=CK ∵OP=OB， ∴∠OPB=∠OBP，又∠G=∠OBP， ∴AG∥CK， ∴四边形 AGCK 是平行四边形； (3) ∵CE=PE，CD=BD， ∴DE∥PB，即 DH∥PB ∵∠G=∠OPB， ∴PB∥AG， ∴DH∥AG， ∴∠OAG=∠OHD， ∵OA=OG， ∴∠OAG=∠G， ∴∠ODH=∠OHD， ∴OD=OH，又∠ODB=∠HOP，OB=OP， ∴△OBD≌△HOP，

∴∠OHP=∠ODB=90°， ∴PH⊥AB. 25. 如题 25 图，在同一平面上，两块斜边相等的直角三角板 Rt△ABC 与 Rt△ADC 拼在一起，使斜边 AC 完全重合，且顶点 B，D 分别在 AC 的两旁，∠ABC=∠ADC=90°，∠ CAD=30°，AB=BC=4cm. (1) 填空：AD= (2) 点 M，N 分别从 A 点，C 点同时以每秒 1cm 的速度等速出发，且分别在 AD，CB →B 的方向运动，当 N 点运动到 B 点时，M，N 两点同时停止运动， (cm)，DC= (cm)；上沿 A→D，C 连结 MN，求当 M，N 点运动了 x 秒时，点 N 到 AD 的距离(用含 x 的式子表示)； (3) 在(2)的条件下，取 DC 中点 P，连结 MP，NP，设△PMN 的面积为 y(cm2)，在整个运动过程中， △PMN 的面积 y 存在最大值，请求出这个最大值. (参考数据：sin75°= 6  4 2 ，sin15°= 6 2 )  4 【解析】(1) 2 6 ； 2 2 ； (2) 如图，过点 N 作 NE⊥AD 于 E，作 NF⊥DC 延长线于 F，则 NE=DF. ，又 NC=x， ∵∠ACD=60°，∠ACB=45°， ∴∠NCF=75°，∠FNC=15°， ∴sin15°= FC NC  4 ∴NE=DF= 6 2 2 FC ∴ ， 6 2  x . 2 x   4 ∴点 N 到 AD 的距离为 6 (3) ∵sin75°= FN NC ，∴ FN   4 6 2  4 x  2 2 cm； 2 x ， ∵PD=CP= 2 ， ∴PF= 6 2 x  4  ， 2 ∴ 1 2 ( y  2 6  4 x  2 6  x )( 2 6  4 x  2 2)  1 2 (2 6  x )  2  1 2 ( 6  4 2 x  2)

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