2015年北京小升初数学真题及答案.doc

发布时间：2022-09-02 发布人：admin 分类：说明书资料大小：0.31M 资料格式：doc 举报版权申诉

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2015 年北京小升初数学真题及答案一、填空题（每题 5 分） 1．（5 分）（2015•北京） + + + + + + + + ． 2．（5 分）（2015•北京）小鹏同学在一个正方体盒子的每一个面上都写上一个字，分别是：我、喜、欢、数、学、课，正方体的平面展开图如右图所示，那么在该正方体盒子中，和 “我”相对的面所写的字是． 3．（5 分）（2015•北京）1 至 2008 这 2008 个自然数中，恰好是 3、5、7 中两个数的倍数的数共有个． 4．（5 分）（2015•北京）一项机械加工作业，用 4 台 A 型机床，5 天可以完成；用 4 台 A 型机床和 2 台 B 型机床 3 天可以完成；用 3 台 B 型机床和 9 台 C 型机床，2 天可以完成，若 3 种机床各取一台工作 5 天后，剩下 A、C 型机床继续工作，还需要天可以完成作业．二、填空题（每题 6 分） 5．（6 分）（2015•北京）2008 年 1 月，我国南方普降大雪，受灾严重．李先生拿出积蓄捐给两个受灾严重的地区，随着事态的发展，李先生决定追加捐赠资金．如果两地捐赠资金分别增加 10%和 5%，则总捐资额增加 8%；如果两地捐赠资金分别增加 15%和 10%，则总捐资额增加 13 万元．李先生第一次捐赠了万元． 6．（6 分）（2015•北京）有 5 个连续自然数，它们的和为一个平方数，中间三数的和为立方数，则这 5 个数中最小数的最小值为多少？ 7．（6 分）（2015•北京）从 1，2，3，…，n 中，任取 57 个数，使这 57 个数必有两个数的差为 13，则 n 的最大值为．

8．（6 分）（2015•北京）如图边长为 10cm 的正方形，则阴影表示的四边形面积为平方厘米． 9．（6 分）（2015•北京）新年联欢会上，共有 90 人参加了跳舞、合唱、演奏三种节目的演出．如果只参加跳舞的人数三倍于只参加合唱的人数；同时参加三种节目的人比只参加合唱的人少 7 人；只参加演奏的比同时参加演奏、跳舞但没有参加合唱的人多 4 人；50 人没有参加演奏；10 人同时参加了跳舞和合唱但没有参加演奏；40 人参加了合唱；那么，同时参加了演奏、合唱但没有参加跳舞的有人．三、填空题（每题 6 分） 10．（6 分）（2015•北京）皮皮以每小时 3 千米的速度登山，走到途中 A 点，他将速度降为每小时 2 千米．在接下来的 1 小时中，他走到山顶，又立即下山，并走到 A 点上方 200 米的地方．如果他下山的速度是每小时 4 千米，下山比上山少用了 42 分钟．那么，他往返共走了千米． 11．（2015•北京）在一个 3×3 的方格表中填有 1，2，3，4，5，6，7，8，9 九个数，每格中只填一个数，现将每行中放有最大数的格子染成红色，最小数的格子染成绿色．设 M 是红格中的最小数，m 是绿格中的最大数，则 M﹣m 可以取到 12．（2015•北京）在 1，2，3，…，7，8 的任意排列中，使得相邻两数互质的排列方式共有个不同的值．种． 13．（2015•北京）如果自然数 a 的各位数字之和等于 10，则 a 称为“和谐数”．将所有的“和谐数”从小到大排成一列，则 2008 排在第个． 14．（2015•北京）由 0，0，1，2，3 五个数码可以组成许多不同的五位数，所有这些五位数的平均数为．

四、填空题（每题 10 分） 15．（2015•北京）一场数学游戏在小聪和小明间展开：黑板上写着自然数 2，3，4，…，2007， 2008，一名裁判现在随意擦去其中的一个数，然后由小聪和小明轮流擦去其中的一个数（即小明先擦去一个数，小聪再擦去一个数，如此下去），若到最后剩下的两个数互质，则判小聪胜；否则判小明胜．问：小聪和小明谁有必胜策略？说明理由． 16．（2015•北京）将一张正方形纸片，横着剪 4 刀，竖着剪 6 刀，裁成尽可能大的形状大小一样的 35 张长方形纸片．再把这样的一张长方形纸片裁成尽可能大的面积相等的小正方形纸片．如果小正方形边长为 2 厘米，那么长方形纸片的面积应为多少平方厘米？说明理由．参考答案与解析一、填空题（每题 5 分） 1．（5 分）（2015•北京） + + + + + + + + ．【考点】分数的巧算．菁优网版权所有【分析】通过分析式中数据发现： = + ，， = + ， = + = + ，所以可将式中的后四个分数拆分后根据加法结合律进行巧算．【解答】解： + + + + + + + + = + + + + + + + + + + + + ， = + + + + + + + + + + + + ， =（ + + ）+（ + ）+（ + + ）+（ + + ）+（）， =1+1+1+1+1， =5．【点评】在分数的运算中， = ． 2．（5 分）（2015•北京）小鹏同学在一个正方体盒子的每一个面上都写上一个字，分别是：我、喜、欢、数、学、课，正方体的平面展开图如右图所示，那么在该正方体盒子中，和 “我”相对的面所写的字是学．【考点】正方体的展开图．菁优网版权所有【专题】立体图形的认识与计算．

【分析】如图，根据正方形展开图的 11 种特征，属于“1﹣3﹣2”型，折叠成正方体后，“我” 与“学”相对，“喜”与“数”相对，“欢”与“课”相对．【解答】解：如图，折叠成正方体后，“我”与“学”相对，“喜”与“数”相对，“欢”与“课”相对．故答案为：学．【点评】正方体展开图分四种类型，11 种特征，每种特征折叠成正方体后哪些面相对是有规律的，可自己总线并记住，能快速解答此类题． 3．（5 分）（2015•北京）1 至 2008 这 2008 个自然数中，恰好是 3、5、7 中两个数的倍数的数共有 228 个．【考点】数的整除特征．菁优网版权所有【专题】整除性问题．【分析】1 到 2008 这 2008 个自然数中，3 和 5 的倍数有个，3 和 7 的倍数有个，5 和 7 的倍数有个，3、5 和 7 的倍数有个．所以，恰好是 3、5、7 中两个数的倍数共有 133﹣19+95﹣19+57﹣19=228 个．【解答】解：根据题干分析可得：1 到 2008 这 2008 个自然数中，3 和 5 的倍数有个， 3 和 7 的倍数有 5 和 7 的倍数有个，个， 3、5 和 7 的倍数有个．所以恰好是 3、5、7 中两个数的倍数共有 133﹣19+95﹣19+57﹣19=228（个）答：恰好是 3、5、7 中两个数的倍数的数共有 228 个．故答案为：228．【点评】此题主要考查整除的意义，及根据整除的意义和数的整除的特征解决有关的问题． 4．（5 分）（2015•北京）一项机械加工作业，用 4 台 A 型机床，5 天可以完成；用 4 台 A 型机床和 2 台 B 型机床 3 天可以完成；用 3 台 B 型机床和 9 台 C 型机床，2 天可以完成，若 3 种机床各取一台工作 5 天后，剩下 A、C 型机床继续工作，还需要 3 天可以完成作业．【考点】工程问题；二元一次方程组的求解．菁优网版权所有【专题】工程问题．【分析】把这项任务看作单位“1”，根据工作量÷工作时间=工作效率，分别求出 A、B、C 三种机床每台每天的工作效率，再求出 3 种机床各取一台工作 5 天后，剩下的工作量，然后用剩下的工作量除以 A、C 两种机床的工作效率和即可．据此解答．

【解答】解：：设 A 型机床每天能完成 x，B 型机床每天完成 y，C 型机床每天完成 z，则根据题目条件有以下等式：则，若 3 种机床各取一台工作 5 天后完成：）×5 （ = = ，剩下 A、C 型机床继续工作，还需要的天数是：（1 ） = = =3（天）；答：还需要 3 天完成任务．故答案为：3．【点评】此题考查的目的是理解掌握三元一次方程的解法，以及工作量、工作效率、工作时间三种之间关系的灵活运用．二、填空题（每题 6 分） 5．（6 分）（2015•北京）2008 年 1 月，我国南方普降大雪，受灾严重．李先生拿出积蓄捐给两个受灾严重的地区，随着事态的发展，李先生决定追加捐赠资金．如果两地捐赠资金分别增加 10%和 5%，则总捐资额增加 8%；如果两地捐赠资金分别增加 15%和 10%，则总捐资额增加 13 万元．李先生第一次捐赠了 100 万元．【考点】百分数的实际应用．菁优网版权所有【专题】分数百分数应用题．【分析】两地捐赠资金分别增加 10%和 5%，则总捐资额增加 8%，如果再在这个基础上两地增加第一次捐资的 5%，那么两地捐赠资金分别增加到 15%和 10%，总量增加到 8%+5%=13%，所以第一次李先生捐资 13÷13%=100 万．【解答】解：10%﹣5%=5% 15%﹣10%=5% 13÷（8%+5%）

=13÷13% =100（万元）答：第一次捐了 100 万元．故答案为：100．【点评】首先根据已知条件求出已知数量占单位“1”的分率是完成本题的关键． 6．（6 分）（2015•北京）有 5 个连续自然数，它们的和为一个平方数，中间三数的和为立方数，则这 5 个数中最小数的最小值为多少？【考点】最大与最小．菁优网版权所有【专题】传统应用题专题．【分析】设中间数是 a，则它们的和为 5a，中间三数的和为 3a．因为 5a 是平方数，所以平方数的尾数一定是 5 或者 0；再由中间三数为立方数，所以 a﹣1+a+a+1=3a，所以立方数一定是 3 的倍数．中间的数至少是 1125，那么这五个数中最小数的最小值为 1123．【解答】解：设设中间数是 a，五个数分别是 a﹣2，a﹣1，a，a+1，a+2；明显可以得到 a﹣2+a﹣1+a+a+1+a+2=5a，由于 5a 是平方数，所以平方数的尾数一定是 5 或者 0，再由 3a 是立方数，所以 a﹣1+a+a+1=3a，所以立方数一定是 3 的倍数．所以这个数 a 一定是 32×53=1125，所以最小数是 1125﹣2=1123．答：这 5 个数中最小数的最小值为 1123．【点评】考查平方数和立方数的知识点，同时涉及到数量较少的连续自然数问题，设未知数的时候有技巧：一般是设中间的数，这样前后的数关于中间的数是对称的． 7．（6 分）（2015•北京）从 1，2，3，…，n 中，任取 57 个数，使这 57 个数必有两个数的差为 13，则 n 的最大值为 108 ．【考点】最大与最小．菁优网版权所有【专题】竞赛专题．【分析】被 13 除的同余序列当中，如余 1 的同余序列，1、14、27、40、53、66…，中只要取到两个相邻的，这两个数的差为 13，如果没有两个相邻的数，则没有两个数的差为 13，不同的同余序列当中不可能有两个数的差为 13，对于任意一条长度为 x 的序列，都最多能取个数，即从第 1 个数起隔 1 个取 1 个基于以上，n 个数分成 13 个序列，每条序列的长度为或，两个长度差为 1 的序列，能够被取得的数的个数也不会超过 1，所以能使 57 个数任意两个数都不等于 13，则这 57 个数被分配在 13 条序列中，当 n 取最小值时在每条序列被分配的数的个数差不会超过 1，那么 13 个序列有 8 个分配了 4 个数，5 个分配了 5 个数，这 13 个序列 8 个长度为 8，5 个长度为 9，那么 n=8×8+9×5=109，所以要使 57 个数必有两个数的差为 13，那么 n 的最大值为 108．【解答】解：基于以上分析，n 个数分成 13 个序列，每条序列的长度为或，两个长度差为 1 的序列，能够被取得的数的个数也不会超过 1，所以能使 57 个数任意两个数都不等于 13，则这 57 个数被分配在 13 条序列中，当 n 取最小值时在每条序列被分配的数的个数差不会超过 1，那么 13 个序列有 8 个分配了 4 个数，5 个分配了 5 个数，这 13 个

序列 8 个长度为 8，5 个长度为 9，那么 n=8×8+9×5=109，所以要使 57 个数必有两个数的差为 13，那么 n 的最大值为 108．故答案为：108．【点评】差一定的情况下，我们就可以用一个数来确定另一个数，只要一个数大另一个随之大，只要一个小另一个随之小． 8．（6 分）（2015•北京）如图边长为 10cm 的正方形，则阴影表示的四边形面积为 48 平方厘米．【考点】长方形、正方形的面积．菁优网版权所有【专题】平面图形的认识与计算．【分析】图中阴影部分的面积是正方形的面积减去 4 个空白三角形的面积，据此解答．【解答】解：如图所示，设左上角小长方形的长为 a，右下角小长方形的长为 b，四个空白三角形的面积是： [（10﹣b）（10﹣a）+（6﹣a）b+（a+4）（b+1）+（9﹣b）a]÷2 =[100﹣10a﹣10b+ab+6b﹣ab+ab+a+4b+4+9a﹣ab]÷2 =104÷2 =52（平方厘米）阴影部分的面积是 10×10﹣52 =100﹣52 =48（平方厘米）答：阴影部分的面积是 48 平方厘米．故答案为：48．【点评】本题的关键是设出未知数，分别求出四个空白三角形的面积的和，进而求出阴影部分的面积． 9．（6 分）（2015•北京）新年联欢会上，共有 90 人参加了跳舞、合唱、演奏三种节目的演出．如果只参加跳舞的人数三倍于只参加合唱的人数；同时参加三种节目的人比只参加合

唱的人少 7 人；只参加演奏的比同时参加演奏、跳舞但没有参加合唱的人多 4 人；50 人没有参加演奏；10 人同时参加了跳舞和合唱但没有参加演奏；40 人参加了合唱；那么，同时参加了演奏、合唱但没有参加跳舞的有 17 人．【考点】容斥原理．菁优网版权所有【专题】传统应用题专题．【分析】用韦恩图可以清晰的呈现各个集合之间的数量关系：设只参加合唱的有 x 人，那么只参加跳舞的人数为 3x，由 50 人没有参加演奏，10 人同时参加了跳舞和合唱但没有参加演奏，得到只参加合唱的和只参加跳舞的人数和为 50﹣10=40，所以只参加合唱的有 10 人，那么只参加跳舞的人数为 30 人，又由“同时参加三种节目的人比只参加合唱的人少 7 人”，得到同时参加三项的有 3 人，所以参加了合唱的人中同时参加了演奏、合唱但没有参加跳舞的有：40﹣10﹣10﹣3=17 人．【解答】解：只参加合唱的和只参加跳舞的人数和为：50﹣10=40（人），所以只参加合唱的有 10 人，那么只参加跳舞的人数为 30 人，所以参加了合唱的人中同时参加了演奏、合唱但没有参加跳舞的有：40﹣10﹣10﹣3=17 （人），答：同时参加了演奏、合唱但没有参加跳舞的有 17 人．故答案为：17．【点评】解答此题关键是明确参加合唱的和只参加跳舞的人数和为 40 人．三、填空题（每题 6 分） 10．（6 分）（2015•北京）皮皮以每小时 3 千米的速度登山，走到途中 A 点，他将速度降为每小时 2 千米．在接下来的 1 小时中，他走到山顶，又立即下山，并走到 A 点上方 200 米的地方．如果他下山的速度是每小时 4 千米，下山比上山少用了 42 分钟．那么，他往返共走了 11.2 千米．【考点】简单的行程问题．菁优网版权所有【专题】综合行程问题．【分析】首先关注“在接下来的 1 小时中”，这一小时中，下山比上山少 200 米，设上山时间为 x 小时，则下山的时间为 1﹣x 小时；然后根据下山比上山少 200 米，可得 2x﹣4（1 ﹣x）=0.2，解得 x=0.7 小时，即 42 分钟，这 42 分钟，行程 1.4 公里；最后根据“下山比上山少用了 42 分钟”，可得以每小时 4 千米的速度下山的时间和以每小时 3 千米的速度登山时间相等，所以下山距离与 A 点以下路程之比为 3：4，所以 A 点以上距离是下山距离的，所以往返一共走了千米，据此解答即可．【解答】解：设速度降为每小时 2 千米后的 1 小时中，上山时间为 x 小时，下山为 1﹣x 小时，所以 2x﹣4（1﹣x）=0.2， 6x﹣4=0.2 6x﹣4+4=0.2+4 6x=4.2 6x÷6=4.2÷6 x=0.7 0.7 小时=42 分钟，因为“下山比上山少用了 42 分钟”，

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