2011年全国卷高考理科数学真题及答案.doc-资料库

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2011 年全国卷高考理科数学真题及答案本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。第Ⅰ卷 1 至 2 页。第Ⅱ卷 3 至 4 页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第Ⅰ卷注意事项： 1．答题前，考生在答题卡上务必用直径 0．5 毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码。请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。 2．每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效。．．．．．．．．．． 3．第Ⅰ卷共 l2 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。一、选择题   ， z 为 z 的共轭复数，则 i zz z   1 C．i D． 2i 1．复数 1z A． 2i  2．函数 2 y B． i ( x x ≥ 的反函数为 0) A． y  2 x 4 ( x R  ) B． y  2 x 4 ( x ≥ 0) C． y 24 x ( x R ) D． y  24 ( x x ≥ 0) 3．下面四个条件中，使 a b＞成立的充分而不必要的条件是 A． a b ＞ 1 B． a b ＞ 1 C． 2 a b＞ 2 D． 3 a b＞ 3 4．设 nS 为等差数列 na 的前 n 项和，若 1 1 a  ，公差 d  ， 2 k   S 2 S k  ，则 k  24 A．8 B．7 C．6 D．5 5．设函数 ( ) f x  cos x  ( ＞，将 0) 原图像重合，则的最小值等于 y  ( ) f x 的图像向右平移  3 个单位长度后，所得的图像与 A． 1 3 B．3 C． 6 D．9 6．已知直二面角α− ι−β，点 A∈α，AC⊥ι，C 为垂足，B∈β，BD⊥ι，D 为垂足．若 AB=2， AC=BD=1，则 D 到平面 ABC 的距离等于 A． 2 3 B． 3 3 C． 6 3 D．1 7．某同学有同样的画册 2 本，同样的集邮册 3 本，从中取出 4 本赠送给 4 位朋友每位朋友 1 本，

则不同的赠送方法共有 A．4 种 B．10 种 C．18 种 D．20 种 8．曲线 y= 2xe +1 在点（0，2）处的切线与直线 y=0 和 y=x 围成的三角形的面积为 B． 1 2 A． 1 3 9．设 ( ) 1 2 A．- 2 3 f x 是周期为 2 的奇函数，当 0≤x≤1 时， ( ) 1 4  与 C 交于 A，B 两点．则 cos AFB x 的焦点为 F，直线 2 x 5( f  2 1 2 f x = 2 (1 x ，则 10．已知抛物线 C： 2 y 1 4 B．  x ) C． C． 4 y = D．1 D． ) = D．  4 5 A． 4 5 B． 3 5 C．  4 3 5 11．已知平面α截一球面得圆 M，过圆心 M 且与α成 060 二面角的平面β截该球面得圆 N．若该球面的半径为 4，圆 M 的面积为 4，则圆 N 的面积为 A．7 B．9 C．11 12．设向量 a，b，c 满足 a = b =1， a b =  ， 1 2 a c b c   , D．13 = 060 ，则 c 的最大值等于 A．2 B． 3 C． 2 D．1 第Ⅱ卷注意事项： 1．答题前，考生先在答题卡上用直径 0．5 毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，然后贴好条形码。请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。 2．第Ⅱ卷共 2 页，请用直径 0．5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效。 3．第Ⅱ卷共 l0 小题，共 90 分。二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分把答案填在题中横线上（注意：在试卷上．．．．作答无效．．．．） 13．（1- x ）20 的二项展开式中，x 的系数与 x9 的系数之差为: ． 2 y2 14．已知 a∈（  2 ，），sinα= 5 5 ，则 tan2α= 15．已知 F1、F2分别为双曲线 C: 2 x 9 - 2 y 27 =1 的左、右焦点，点 A∈C，点 M 的坐标为（2，0），AM 为∠F1AF2∠的平分线．则|AF2| = ． 16．己知点 E、F 分别在正方体 ABCD-A1B2C3D4的棱 BB1 、CC1上，且 B1E=2EB, CF=2FC1，则面 AEF 与面 ABC所成的二面角的正切值等于．三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤

17．（本小题满分 l0 分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．） △ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c．己知 A—C=90°，a+c= 2 b，求 C． 18．（本小题满分 12 分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．）根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为 0．5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为 0．3,设各车主购买保险相互独立（I）求该地 1 位车主至少购买甲、乙两种保险中的 l 种的概率；（Ⅱ）X 表示该地的 l00 位车主中，甲、乙两种保险都不购买的车主数。求 X 的期望。 19．（本小题满分 12 分）（注意：在试题卷上作答无效中， AB CD ．．．．．．．．．）如图，四棱锥 S ABCD   ．  CD SD 2, 1   AB BC , BC CD ，侧面 SAB 为等边三角形，（Ⅰ）证明： SD （Ⅱ）求 AB 与平面 SBC 所成角的大小．  平面 ; SAB 20．（本小题满分 12 分）（注意：在试题卷上作答无效设数列 na 满足 1 a  且 0 1  （Ⅰ）求 na 的通项公式；．．．．．．．．．） 1 a 1 a  1. 1   n 1  n

（Ⅱ）设 b n  1  a n n 1  , n 记S  n k 1  b k , S 证明： n  1. 21．（本小题满分 12 分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．）已知 O 为坐标原点，F 为椭圆 C x  : 2 1  在 y 轴正半轴上的焦点，过 F 且斜率为 - 2 2 y 2   OA OB OP     0. 的直线l 与 C 交于 A、B 两点，点 P 满足（Ⅰ）证明：点 P 在 C 上；（Ⅱ）设点 P 关于点 O 的对称点为 Q，证明：A、P、B、Q 四点在同一圆上． 22．（本小题满分 12 分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．）（Ⅰ）设函数 ( ) f x  ln(1  x )  2 x 2 x  ，证明：当 0x＞时， ( ) 0 f x ＞；（Ⅱ）从编号 1 到 100 的 100 张卡片中每次随即抽取一张，然后放回，用这种方式连续抽取 20 次，设抽得的 20 个号码互不相同的概率为 p ．证明： p  9 ( 10 19 )  1 2 e 参考答案评分说明： 1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则。 2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；

如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分。 3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。 4．只给整数分数，选择题不给中间分。一、选择题 1—6 二、填空题 BBADCC 7—12 BAADDA 13．0 14．  4 3 15．6 16． 2 3 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17．解：由 a c   2 b 及正弦定理可得 sin A  sin C  2 sin . B …………3 分又由于 A C   90 ,  B  180   ( A C  ), 故 cos C  sin C  2 sin( A C  )   2 sin(90   2 )C 2 cos 2 .C 2 2 cos C  2 2 sin C  cos 2 , C cos(45   C )  cos 2 . C …………7 分因为 0 C  所以 2 C   45 90  ， , C   C  15  18．解：记 A 表示事件：该地的 1 位车主购买甲种保险； B 表示事件：该地的 1 位车主购买乙种保险但不购买甲种保险； C 表示事件：该地的 1 位车主至少购买甲、乙两种保险中的 1 种； D 表示事件：该地的 1 位车主甲、乙两种保险都不购买；（I） ( P A ) 0.5,  ( P B ) 0.3,  C A B   , …………3 分 ( P C )  )  ) ( P A  ( P B ) 0.8.  …………6 分  ( P A B  , ( （II） D C P D  ) 1   ( P C ) 1 0.8 0.2,    X B ~ (100,0.2) ，即 X 服从二项分布，所以期望 EX  100 0.2   20. …………10 分 …………12 分

19．解法一：（I）取 AB 中点 E，连结 DE，则四边形 BCDE 为矩形，DE=CB=2，连结 SE，则 SE  AB SE ,  3. 又 SD=1，故 2 ED  2 SE  2 SD ，所以 DSE 为直角。由 AB DE AB SE DE SE E    , ,  …………3 分， …………6 分得 AB  平面 SDE，所以 AB SD 。 SD 与两条相交直线 AB、SE 都垂直。所以 SD  平面 SAB。（II）由 AB  平面 SDE 知，平面 ABCD  平面 SED。作 SF DE , 垂足为 F，则 SF  平面 ABCD， SF  SD SE  DE  3 . 2 作 FG BC ，垂足为 G，则 FG=DC=1。连结 SG，则 SG BC ，又 BC FG SG FG G    , ，故 BC  平面 SFG，平面 SBC  平面 SFG。作 FH SG ，H 为垂足，则 FH  平面 SBC。 …………9 分 FH  SF FG  SG  3 7 ，即 F 到平面 SBC 的距离为 21 . 7 由于 ED//BC，所以 ED//平面 SBC，E 到平面 SBC 的距离 d 也有设 AB 与平面 SBC 所成的角为α，则 sin   d EB  21 7 ,   arcsin 21 7 . 21 . 7 …………12 分解法二：以 C 为坐标原点，射线 CD 为 x 轴正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系 C—xyz。设 D（1，0，0），则 A（2，2，0）、B（0，2，0）。 y  0, z  z BS  0.  ( , x y  2, ) z ，  DS  ( x  1, , ) y z ，  2, y  2, ), x 则  0, 又设 ( , , ), S x y z  AS  AS ( x   | BS 由| （I） | | 得

( x  2 2)  ( y  2 2)  2 z  2 x  ( y  2 2)  2 z , 故 x=1。  DS 由 | | 1   BS y 得 2  2 z  1, 又由 | | 2  2 x 得  ( y  2 2)  2 z  4, 即 2 y  2 z  4 y 1 0,   y 故  1 2 , z  3 2 . …………3 分于是 S (1,  AS ), 1 3 , 2 2    ( 1,  BS ), 3 3 , 2 2  (1,  3 3 , 2 2 ) ，  DS  (0, 1 3 , 2 2   DS AS  ),   DS BS   0,  0. 故 DS  AD DS ,  BS , 又 AS BS  S , 所以 SD  平面 SAB。（II）设平面 SBC 的法向量 (  a m n p …………6 分 ) ，   a BS a CB a BS    , ,  则  0, , ,  a CB   0.  BS 又  (1,   CB ), 3 3 , 2 2  (0,2,0), 故      n 3 2 0.  m  2 n  3 2 p  0, …………9 分取 p=2 得 (   a  , AB a cos  | 3,0,2),  AB a   | AB a  | |  AB 又   ( 2,0,0) 。  21 7 . 故 AB 与平面 SBC 所成的角为 arcsin 21 7 . 20．解：（I）由题设 1 a 1  n 1   1 a  n 1  1,

即 1{ 1 na } 是公差为 1 的等差数列。又 1 a  1 1  1, 故 1 a  n 1  . n na 所以 11   n （II）由（I）得 .  1  a n 1 n   1 n   n 1  , n n ， …………8 分 b n   1 n  1 n  1 n S n  21．解： n   b k  k 1  k 1  ( 1 k  1 k  1 ) 1   1 n  1  1. …………12 分（I）F（0，1），l 的方程为 y   2 x 1  ，代入 2 x  2 y 2  并化简得 1 24 x  2 2 x 1 0.   设 1 ( , A x y B x y P x y 3 ), ), ( ( , 1 , 2 2 3 …………2 分 ), x 则 1  2  4 6 , x 2  6 , 2  4 x 1  x 2  2 , 2 y 1  y 2   2( x 1  x 2 ) 2 1,   x 由题意得 3   ( x 1  x 2 )   2 2 , y 3   ( y 1  y 2 )   1. 所以点 P 的坐标为 (  2 2 , 1).  经验证，点 P 的坐标为 (  2 2 , 1)  满足方程

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