2003年高考全国卷理科数学真题及答案.doc-资料库

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2003 年高考全国卷理科数学真题及答案注意事项： 1. 答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上． 2. 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上． 3. 考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回．参考公式：三角函数的积化和差公式：正棱台、圆台的侧面积公式 [sin( )   [sin( )     sin( )]   sin( )]   sin  cos  cos  sin    cos  cos   1 2 1 2 1 2 1 2 [cos( )     cos( )]   cos( )]   sin  sin   [cos( )   S 台侧 1 2 ( c  ) lc 其中 c 、 c 分别表示上、下底面周长，l 表示斜高或母线长. 球体的体积公式： V 4 R 球 3 3 ，其中 R 表示球的半径. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分第Ⅰ卷（选择题共 60 分）新疆王新敞奎屯一.选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的 1．已知 x (  2 ，0）， cos x ，则 2tg x  4 5 （A） 7 24 （B） 7 24 （C） 24 7 （D） 24 7 （） 2．圆锥曲线的准线方程是（）（A） 3．设函数  cos sin8  2 cos  2  x  1 2 )( xf  （B） cos  x ，若  x  0 0  1  2    x （A）（ 1 ，1）（C）（  ， 2 ）  （0，  ） 2 （C） sin  2 （D）  sin 2 1) ( 0 xf ，则 0x 的取值范围是（）（B）（ 1 ，  ）（D）（  ， 1 ）  （1，  ） 4．函数 y  sin2 x (sin x  cos x ) 的最大值为（）（A） 1 2 （B） 12  （C） 2 （D）2 5．已知圆 C： ( ax  ) 2  ( y  2 )2  4 （ 0a ）及直线 l ： x 3  y 0 ，当直线 l 被 C 截得

的弦长为 32 时，则 a （）（A） 2 （B） 2  2 （C） 12  （D） 12  6．已知圆锥的底面半径为 R，高为 3R，在它的所有内接圆柱中，全面积的最大值是（） 2 （B） 9 R 4 )( xmx  2 （C） 2 （D） 8 R 3 0 的四个根组成一个首项为 3 R 2 2  2 nx  )  （A） 2 2 R 7．已知方程 2 ( x  2 |  | nm  1 的的等差数列，则 4 （）（A）1 （B） 3 4 （C） 1 2 （D） 3 8 8．已知双曲线中心在原点且一个焦点为 F（ 7 ，0），直线 y 1 x 与其相交于 M、N 两点， MN 中点的横坐标为 2 ，则此双曲线的方程是 3  1 （D） 2  y 2  （） 2 x 2 2  y 5  1 （） 2 x 5 )(1 x  1 （C）的反函数  f （A）  1 2 x 3 )( xf 2  y 4 sin  x ， 9．函数（B） 2 2 x  y 4 3 3, [  ] 2 2 1[x ，1] x （A）  arcsin x （B）  arcsin x 1[x ，1] （C）  arcsin x 1[x ，1] （D）  arcsin x 1[x ，1] 10．已知长方形的四个顶点 A（0，0），B（2，0），C（2，1）和 D（0，1），一质点从 AB 的中点 0P 沿与 AB 的夹角的方向射到 BC 上的点 1P 后，依次反射到 CD、DA 和 AB 上的点 2P 、 3P 和 4P （入射角等于反射角），设 4P 的坐标为（ 4x ，0），若 1  x 4  2 ，则 tg的取值范围是（A）（ 11． lim n  1 ，1）（B）（ 3 2 C 2 ( Cn 1 ， 3 2 C    n 1 C    n 2 C  3 1 C  2 2 C  4 1 C  4 1 3 （） 2 ）（C）（ 3 2 ， 5 1 ）（D）（ 2 2 ， 5 2 ） 3  ) （）（A）3 （B） 1 3 （C） 1 6 （D）6 12．一个四面体的所有棱长都为 2 ，四个顶点在同一球面上，则些球的表面积为（）

（A） 3 （B） 4 （C） 33 （D） 6 第Ⅱ卷（非选择题共 90 分）二.填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分新疆把答案填在题中横线上奎屯王新敞新疆王新敞奎屯 13． ( 2 x  14．使 9 ) 1 2 x log2 ( x  x ) 的展开式中 9x 系数是 1 成立的 x 的取值范围是 15．如图，一个地区分为 5 个行政区域，现给地图着色，要求相邻地区不得使用同一颜色，现有 4 种颜色可供选择，则不同的着色方法共有种新疆（以数字作答）王新敞奎屯 16．下列 5 个正方体图形中，l 是正方体的一条对角线，点 M、N、P 分别为其所在棱的中点，能得出 l 面 MNP 的图形的序号是 3 5 2 1 4 （写出所有符合要求的图形序号） M N P l l P M N M P l P l N l N M M N P ① ② ③ ④ ⑤ 三、解答题：本大题共 6 小题，共 74 分，解答应写出文字说明，证明过程或或演算步骤 17．（本小题满分 12 分）已知复数 z 的辐角为 60 ，且 | z |1 是 | | z 和 | z |2 的等比中项，求 | | z 18．（本小题满分 12 分）如图，在直三棱柱 ABC  角形，  ACB  90  ，侧棱中，底面是等腰直角三 1 CBA 1 1 2 ，D、E 分别是 1CC 与 BA1 1 AA 的中点，点 E 在平面 ABD 上的射影是△ABD 的重心 G （I）求 BA1 与平面 ABD 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）（II）求点 1A 到平面 AED 的距离 C D A E CG K A F B B

19．（本小题满分 12 分）已知 0c ，设 P：函数 y  在 R 上单调递减 xc Q：不等式 x  | x  1|2 c  的解集为 R 如果 P 和 Q 有且仅有一个正确，求 c 的取值范围 20．（本小题满分 12 分）在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市 O（如图）的东偏南 (  arccos 2 10 ）方向 300km 的海面 P 处，并以 20km/h 的速度向西偏北 45 方向移动，台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为 60km，并以 10km/h 的速度不断增大，问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？ y O 海  岸线北 x 东 P r 45 P 21．（本小题满分 14 分） 0a 已知常数 4AB 分别在 BC、CD、DA 上移动，且 BE CF DG BC CD DA ，在矩形 ABCD 中，   ， BC 4 ，O 为 AB 的中点，点 E、F、G a ，P 为 GE 与 OF 的交点（如图），问是否存在两个定点，使 P 到这两点的距离的和为定值？若存在，求出这两点的坐标及此定值；若不存在，请说明理由王新敞奎屯新疆 y 22．（本小题满分 12 分，附加题 4 分）（I）设 }{ na 是集合 2{ s  t |2 s 0 t 且 Zts , D F G A P C E O B x 中所有的数从小到大排列成的数列，即 1 a 3 ， 2 a 5 ， 3 a 6 ， 4 a 9 ， 5 a 10 ， 6 a 12 ，… 将数列 }{ na 各项按照上小下大，左小右大的原则写成如下的三角形数表： 3

5 6 9 10 12 — — — — ………… ⑴写出这个三角形数表的第四行、第五行各数； ⑵求 100a （II）（本小题为附加题，如果解答正确，加 4 分，但全卷总分不超过 150 分）设 }{ nb 是集合 r 2{  s 2  t 0|2 列，已知 kb 1160 ，求 k .  s r t ，且 , Ztsr ,  中所有的数从小到大排列成的数 } 一、选择题：本题考查基本知识和基本运算. 每小题 5 分，满分 60 分. 1．D 二、填空题：本题考查基本知识和基本运算.每小题 4 分,满分 16 分. 10．C 2．C 4．A 6．B 8．D 7．C 9．D 3．D 5．C 11．B 12．A 13． 21 2 14．（-1，0） 15．72 16．①④⑤ 三、解答题：本大题共 6 小题，共 74 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．解：设 z  r cos 60   r sin )60  ，则复数 z的实部为 r 2 . z  z , zzr  2 r 由题设 2  | | |1 z  2 r 整理得 | z  |  2 r |2 z  即 .01  (: z 解得  : )(1 z r  )1 |  ,12  z r ( |  z 2 )(2 z r  (12 |  即舍去   1 .12 ,)2 ). r |  z rr 2  2 r  ,4 18．（Ⅰ）解：连结 BG，则 BG 是 BE 在 ABD 的射影，即∠EBG 是 A1B 与平面 ABD 所成的角. 设 F 为 AB 中点，连结 EF、FC，

, ED  连结 2 EF , , CC 分别是 1 ADB GDE  是 1 3 FD FG    , BA 的中点又 1 , G  的重心 DC DF 平面 ABC ,   . 在直角三角形 CDEF EFD 中为矩形 2 FD ,  EF ,1  FD .3  )4( 分 1  2  于是 ED   FC  CD  sin EBG ,2 EG  3 AB  6 3 ,2 EG EB    . 6 3 BA 1 2 3 ,22 1 3   ,32 EB  .3 .  BA 1 与平面 ABD 所成的角是 arcsin 2 3 . （Ⅱ）解：  ED  AB , ED  EF , 又 EF  AB  F ,  作 ABA ED  面 1 KA AE  1 , , 又垂足为在  , ABA 中 1 1 KA 1  AED AED , AED  ED 面 K KA 1 BAAA 1 1  .   AB 1 1  平面 .  平面 222  32  平面 AKA 是即 1 1 62 3 A 1   , ABA 1 到平面且面 AED  ABA 面 1 . 的距离 AED  AE . 到平面 AED 的距离为 62 3 . 19．解：函数 y  在 R 上单调递减 xc  c 0 .1 不等式 x  | x  1|2 c  的解集为 R  函数 y x  | x  |2 c 在 R 上恒大于 .1  x  | x  2 | c 2 , c x  x 2 , c 2 , c      x | 2 x  2 , c 2 | c   y 函数 x   在上的最小值为 R 2 . c  不等式 | x   x 2 | 1 c  R 的解集为     2 c 1 c 0 如果正确且不正确则 Q P , ,   c 1 2 . 1 2 . c 如果不正确且正确则 Q P , ,  1. 所以的取值范围为 c (0, 1 2 ]   [1, ). （以上方法在新疆考区无一人使用，大都是用解不等式的方法，个别使用的图象法） 20．解：如图建立坐标系以 O 为原点，正东方向为 x 轴正向. 在时刻：（1）台风中心 P（ x, ）的坐标为 y       x  300  y  300  2 10 27 10  20  2 2 t ,  20  2 2 t .

此时台风侵袭的区域是 ( x  2 x )  ( y  y )  ([ tr )] 2 , 其中 )( tr  10 t  ,60 若在 t 时刻城市 O 受到台风的侵袭，则有 0(  2 x )  0(  2 y )  10( t  2 .)60 即 300(  2 10  2 t ) (  300  27 10  20  2 2 2 t ) 20  2 2  t 24  10( t  2 ,)60 即 t 2  36 t  288  ,0 解得 12 答：12 小时后该城市开始受到台风的侵袭. 21．根据题设条件，首先求出点 P 坐标满足的方程，据此再判断是否存在的两定点，使得点 P 到两点距离的和为定值. 按题意有 A（－2，0），B（2，0），C（2，4a），D（－2，4a）设 BE CF DG k  BC CD DA   (0   k 1) 由此有 E（2，4ak），F（2－4k，4a），G（－2，4a－4ak）直线 OF 的方程为： 2 ax  2( k  )1 y  0 ① 直线 GE 的方程为：  2( ka  )1 x  y 2 a  0 ② 从①，②消去参数 k，得点 P（x,y）坐标满足方程 2 2 xa 2  2 y  2 ay  0 2 x 1 2 1 2 1 2 整理得当 2 a  ( 2 ) ay  2 a 1  当 2 a 1 2 时，点 P 的轨迹为圆弧，所以不存在符合题意的两点. 时，点 P 轨迹为椭圆的一部分，点 P 到该椭圆焦点的距离的和为定长新疆王新敞奎屯当 2 a 时，点 P 到椭圆两个焦点（  1 2  2 a , a 1(), 2  2 a ), a 的距离之和为定值 2 新疆王新敞奎屯当 2 a 1 2 时，点 P 到椭圆两个焦点（0， a  2 a  1 2 ,0(), a  2 a  1 2 ) 的距离之和为定值 2 a . 22．（本小题满分 12 分，附加题 4 分）（Ⅰ）解：用(t,s)表示 2 t s ，下表的规律为 2 3（(0,1)= 0 2 1 2 ） 5(0,2) 6(1,2) 9(0,3) 10(1,3) 12(2,3) — — — —

（i）第四行 17(0,4) 第五行 33(0,5) 18(1,4) 34(1,5) 20(2,4) 36(2,5) 24(3,4) 40(3,5) 48(4,5) ………… （i i）解法一：因为 100＝（1+2+3+4+……+13）+9，所以 100a  (8,14)＝ 8 2 14 2 ＝16640 解法二：设 a 100  s 0 2  t 0 2 ，只须确定正整数 s , 0 0 t . 数列 }{ na 中小于 02t 的项构成的子集为 t {2  s 0|2 其元素个数为 2 Ct 0   )1 t 0 ( t 0 2 , 依题意  )1 t 0 ( t 0 2  .100 满足等式的最大整数 0t 为 14，所以取 0 t .14  s t t 0 }, 因为 100－ C 2 14  s 0  ,1 由此解得 s  ,8 a 100 0  14 2  8 2  16640 . （Ⅱ）解： kb 1160  10 2  7 2  3 ,2 令 M  { CBc |  } 1160 ( 其中 B,  r {2  s 2  t 0|2  s r t } 因 | cBcM {   10 {}2  Bc 10 2|  c 10 2 7 {}2  Bc 10 2|  7 2  c 10 2 7 2  3 }.2 现在求 M 的元素个数： { cBc  |  10 2{}2  r  s 2  t 0|2  s r t },10 其元素个数为 3 10C ： { Bc  10 2|  c 10 2  7 10 2{}2   s 2  r 0|2  s r }.7 某元素个数为 C 2 7 {: Bc  2| 10  7 2  c 10 2  7 2  3 2{}2  10  7 2  r 0|2  r }3 某元素个数为 7 C 10 : 3 Ck 10   C 2 7  C 2 3  1 .145 另法：规定 2 r  t 2  s 2  （r,t,s）， kb  1160  10 2  7 2 3  ＝（3,7,10） 2 则 b  1 0 2  1 2 2  ＝（0,1,2） 2 依次为（0,1,3）（0,2,3）（1,2,3）（0,1,4）（0,2,4）（1,2,4）（0,3,4）（1,3,4）（2,3,4）（0,1,9）（0,2,9）………… （ 6,8,9 ）（7,8,9） ………… 2 2C 2 3C 2 4C 2 9C

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