2013年广东暨南大学高等数学考研真题.doc

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2013 年广东暨南大学高等数学考研真题学科、专业名称：理论物理、凝聚态物理、光学、生物医学工程（理学）研究方向：考试科目名称：高等数学（副卷）考生注意：所有答案必须写在答题纸（卷）上，写在本试题上一律不给分。本试卷满分为 150 分，考试时间为 3 小时。一、填空题（本题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分. 把答案填在题中横线上） 1． lim 0 x     1 2 sin 2 cos 2 x x     x  ___________ . 2． x e  arcsin x e d x  ________________ . 3. 函数 u x y  e  ln(1  y 2 ) 的全微分是 d u  _________________. 4. 曲面 2 x  2 2 y 2  3 z  在点 (1, 2,2) P  21 处的法线方程是 . 5．微分方程 dyx dx   的通解为 3 y x 6．设 D  {( , x y x )  2 0, y   ，则 3d y  } x 2  D . ___________ . 二、选择题（本题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内） 1．设 ( ) f x 有任意阶导数，且  ( ) f x  [ ( )] f x 2 ， (0) f  ， 2 n  ，则 ( )(0) nf 2 A． 2n n B. 0, C． !2nn 1  , D. 2 2．考虑二元函数下面性质  （） 1

① ( , f x y 在点 0 ) ( x y 处连续； ) , 0 ② ( , f x y 在点 0 ) ( x y 处可微； ) , 0 ③ ( , f x y 在点 0 ) ( x y 处的两个偏导数都存在； ) , 0 ④ ( , f x y 在点 0 ) ( x y 处的两个偏导数连续； ) , 0 则下面结论正确的是 ---------------------------------------------------------------------（） A．①  ② ③ C．②  ① ③ B．④ ②  ① D．① ③  ④ 3 . 行列式 A 不等于零的充分条件是 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - （） A． A 的所有元素非零； C． A 的任意两行元素之间不成比例 D．以 A 为系数行列式的线性方程组有唯一解 B． A 至少有 n 个元素非零 4．已知两直线 A． 4 x 2   2 y  2  B． 4 z 1  1 和 x 1  4  C. 3 y  n 2  z 1  2 相平行，则数 n  ---------（） D. 2 5 ．方程 d y d x  2 y (0 y   ) ，过点 (0,0) 有 ------------------------------------------( ) A. 一个解 B. 两个解 C. 无数个解 D. 三个解 z  在 (1,1,0) 处沿 {1, 1,1}  的方向导数以及u 在该点的梯度分别 l  e 6．函数 u  xy 是 --------------------------------------------------------------------------- ------------------（） 2

A． 1 , 3 i   ， k j C． 2, i   ， k j B．  1 , 3 i   j k D． 2, i   j k 三、计算题（本题共 5 小题，每小题 10 分，共 50 分） 1．过 (1,0) P 作抛物线 y x  的切线，求该切线与抛物线及 x 轴围成图形绕 x 轴旋转体 2 的体积. 2．已知 lim ( x  2 x    1 x ax b   ，求常数 , ) 0 .a b 3. 设 A 是 n 阶矩阵，有特征值1,2, , n ，求 8 2E A . 4．求通过点(3,0,0) 和点 (0,0,1) 且与 xOy 平面成  3 角的平面方程. 5．求级数   n 1  n n ( 1)  n    x   1 x  2 的收敛域. 四、计算题（本题共 3 小题，每小题 12 分，共 36 分） 1．求坐标原点到曲线 C :    x 2 2 x 2 2 z   z    y y 1  1 的最短距离，并问：原点到 C有没有最大距离？为什么？ 2．已知二次型 ( , f x x x 3 , 1 2 （1）求 a 的值； ) (1   2 ) a x 1 (1   ) a x 2 2  2 2 x 3  2(1  ) a x x 1 2 的秩为 2， 3

（2）求正交变换 x Qy ，把 1 ( f x x x 化成标准型. ) , , 2 3 3．求微分方程 '' 2 ' 3   y y y x  的通解. e  五、证明题（本题共 2 小题，每小题 8 分，共 16 分） 1．设 ( ) f x 在[0,1] 上连续且严格单调减少，试证明：当 0 1  时   0 ( )d f x x 1   0 ( )d f x x . 2．设实对称矩阵 A 的所有特征值都等于 1，证明： A 为正交矩阵. 4

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