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矩阵理论在自动控制中的应用.doc

发布时间：2022-06-22 发布人：admin 分类：说明书 资料大小：0.15M 资料格式：doc 举报 版权申诉
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    矩阵理论在控制中的应用 吴祥 矩阵 5 班 201022070738 摘要：本文就控制中的常见问题进行了讨论，并应用矩阵，对控制中 的一些问题进行描述，运用矩阵的线性变换对控制理论中一些问题的 求解进行了简化。 关键字：状态空间、对角标准型、约当标准型 1、引言 20 世纪 60 年代，随着计算机技术的进步，航空航天技术和综合 自动化的发展需要，推动了以状态空间为基础，最优控制为核心，主 要在时域研究多输入多输出系统的现代控制理论的诞生。 经典控制理论是以系统的输入输出为研究依据，其基本数学模型 为线性定常高阶微分方程、传递函数。对线性定常离散系统，其数学 模型为线性定常高阶微分方程、脉冲传递函数。这些模型仅仅描述系 统输入、输出之间的外部特性，不能揭示系统的内部物理状态量的运 动规律。若要揭示系统内部特性，就引入了状态空间。 2、用矩阵来建立状态空间 假设单输入、单输出线性定常 n 阶连续系统，n 个状态变量为 1x ， 2x ……. nx 。其状态方程的一般形式为： ' x 1 x 2 . . x n ' '   a x 11 1 a x 21 1   a x 12 2 a x 22 2 ......... a x   1 n n ......... a x   2 n n b u  1 b u  2  a x 1 1 n  a x 2 2 n  .........  a x nn n  b u n 输出方程为
    y  c x 1 1  c x 2 2  ......  c x n n  b u n 其向量-矩阵法方程形式的状态空间表达式为： ' '  x 1  x  2  .  .   ' x   n                   21 a 11 a . . a 1 n a 12 a 22 .... .... a 1 a n 2 n a n 2 .... a nn          x 1  x  2  .  .   x   n            b 1  b  2  .  .   b   n          u y  [ c c 1 2 ..... c n  x 1  x  2  ] .  .   x   n           Du 'x  Ax Bu  简单记为: y Cx Du   （1-1） (1-2) 其中 1-1 和 1-2 叫做状态空间。1-1 式叫做状态方程，1-2 式叫做输 出方程。 3、状态向量的线性变换与状态空间表达式标准型 实际上，为了便于揭示系统特性和简化系统的分析、综合工作， 通常通过线性奇异变换，将系统的状态空间表达式等价为某种标准 型，如能控标准型，能观标准型、对角标准型、约当标准型。 3.1、对角标准型 对线性定常系统 'x  Ax Bu  y Cx
    若系统的特征值为 1， 2………. 使 A 矩阵变换为对角阵。即 n互异，则必存在非奇异变换矩阵 T， A=   1       2 .        n 3.2、约当标准型 但如果 1， 2………. n非互异时就不能变为对角阵，那么必存 在非奇异变换矩阵 T 使系统变换为约当标准型。即 A= J 1 J 2       .       J n 其中 iJ = 1  i 1 .   i          1    i 4、线性定常齐次状态方程的解 对线性系统动态性能进行定量分析的实质是求解其动态数学模 型方程并分析解得性质，有传递函数和状态空间两种分析方法。传递 函数分析方法是经典控制中常用的方法。状态空间分析法是现代控制 理论的主要分析方法，其直接将系统的微分方程或差分方程化为描述 系统的输入、输入与内部状态的关系的数学模型——状态空间方程， 运用矩阵方法求解状态方程，直接确定其动态响应，研究系统方程的 解法及分析解得性质，是现代控制理论的主要任务。 4．1、线性定常齐次方程的解 假设线性定常系统在输入 u 为 0 时，由初始状态引起的运动称为
    自由运动其状态方程为： ' x = Ax x(t) | t=t 0 = x(t ) 0 （2-1） 式 2-1 的解 ( )x t 称为自由运动的解或零输入响应。若矩阵 A 为一 阶即 A=a，则 2-1 式变为式 2-2 所示的标量方程，即 ' x = ax x(t) | t=t 0 = x(t ) 0 （2-2） 其解为： ( ) x t  e ( a t  t ) 0 ( x t ) 0 将其展开为泰勒级数 ( a t e 0 ) t    1 ( a t  t )  0 1 2! 2 ( a t  t 0 2 )  .......  k ( a t  t 1 ! k 0 k )  ..... （2-3） 将 2-3 式代入 2-1 中得到： ( A t  t ) 0 e   ( I A t  t )  0 1 2! 2 ( A t  t 0 2 )  .......  1 ! k k ( A t  t 0 k )  .....  于是 2-1 方程的解可用系统矩阵指数表达为   k  0 1 ! k k ( A t  t k ) 0 ( ) x t  e ( A t  t ) 0 ( x t ) 0 （2-4） t  称为状态转移矩阵记为 一般把 0 ( A t ) e   。 ( t ) t 0 4．2、利用特征值标准形及相似变换计算状态转移矩阵 由于就矩阵转移函数时涉及到 kA ，但对一般矩阵的 kA 计算比较 困难而当 A 矩阵为对角矩阵，约当矩阵时对 kA 的计算比较容易。下 t ) ( t 面用矩阵线性变换来求解   。 若系统的特征值为 1， 2………. 矩阵 T，使 A 矩阵变换为对角阵则 0 n互异，则必存在非奇异变换 k A  ( V   1       2 .        n V  1 k )  V   1       2 . k        n  1 V
    At e    k  0   k  0 k  1 ! k   k  0 k  1 ! k . 1 ! k k ( A t  t k ) 0  V                 V       k  1 ! k  1  V  e 1  e 2         1    V     .  e n   k  0 虽然对角矩阵能很好的计算出 kA ，但是由于只有单纯矩阵才能 相似对角化，所以对一般矩阵往往采用的时将其变为约当标准型，不 失一般性设 （2-5） （2-6） J  J 1 J 2       .       J n 式中 iJ 为形如下式所示的 im 维约当阵。即 iJ = 1  i 1 .   i          1     i m m i i 所以 At e  k Pe P  1 J 1 e J 2 e    P       1 P        . J n e 有矩阵指数的定义 iJ te 为上三角矩阵，即 1 t 1 2 t 2! t ......... .......... J t i e  t e i           ( ( 1 mi  t 1)! m  i 2 mi  t 2)! m  i . . 1           5. 应用小结： m m i  i
    5．1、用到的矩阵论相关知识： 矩阵指数函数的定义和性质 对角线标准形和约当标准型 矩阵的运算法则，包括矩阵加法和乘法运算和求逆运算 矩阵特征值和特征向量计算以及可逆变换矩阵的求解 矩阵的可逆变换. 5．2、解题思路： 给定线性定常系统的自治方程的一般形式： 'x Ax 要求解线性定常系统的零输入响应的表达式时，可以做相似变 换： A P AP 1 将 A 化为对角线标准形或约当标准型，而对角线标准形和约当标准 形的矩阵指数函数 Ate 很容易求出来，为得到原系统的矩阵指数函数 Ate ，只需要再做一下逆变换： 就可以得到。这样是求解过程得以简化。 A PAP   1
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