http://www.paper.edu.cn 弧齿锥齿轮大轮齿面方程的渐进解 田行斌1 1 燕山大学河北省并联机器人与机电系统实验室，河北秦皇岛　066004 摘要：齿面坐标的求解是弧齿锥齿轮研究工作中的一个基本问题。由于弧齿锥齿轮齿面几何复 杂，目前其齿面坐标均是通过数值计算方法得到的。本文在弧齿锥齿轮大轮齿面坐标封闭解研 究的基础上，利用Adomian多项式对关于齿面坐标的一元六次方程进行求解，得到了大轮齿面 坐标的渐进解。算例计算结果显示，渐进解具有足够高的计算精度。这为弧齿锥齿轮大轮齿面 坐标的求解提供了一种新的途径。 关键词：弧齿锥齿轮；齿面坐标；渐进解；Adomian多项式 中图分类号： TH132.421 Asymptotic Solution of Member-Gear Tooth Surface Equation of Spiral Bevel Gears Tian XingBin1 1 Parallel robot and mechatronic system laboratory of Hebei province, Yanshan University, Qinhuangdao, Hebei 066004 Abstract: The solution of tooth surface parameters is a fundamental problem in spiral bevel gears studies. At present the tooth surface parameters are obtained by numerical computation in all previous studies because of the complexity of tooth surface geometry of spiral bevel gears. Based on the research of closed solution of gear tooth surface parameters of spiral bevel gears, Adomian polynominals are used to find the solution of six-order polynomial equation about the gear tooth surface parameters in the present paper. The numerical example shows that asymptotic solution can give highly precise results, which provides a new method of solving the member gear tooth surface parameters. Key words: Spiral bevel gears; Tooth surface parameters; Asymptotic solution; Adomian polynomials 0 引言 弧齿锥齿轮广泛应用于汽车、机床、航空等领域中。鉴于其复杂的齿面几何，目前弧齿锥 齿轮的齿面坐标尚无法实现解析求解，而必须通过数值计算方法求解。通常的做法是建立一个 关于齿面坐标的二元非线性方程组，并进行迭代求解[1, 2]。 这时，一个足够接近真解的迭代初 值对于成功求解是非常重要的。除此之外，作者还给出了一种求解弧齿锥齿轮大轮齿面坐标的 作者简介： 田行斌（1972-），男，讲师，主要研究方向：机械传动、并联机构。 - 1 - 

http://www.paper.edu.cn 图 1: 大轮齿面展成坐标图 封闭解法[3]。该方法将大轮齿面方程转化为一个关于齿面坐标的一元六次方程再进行数值计算 求解，从而避免了迭代初值的选取问题。 与数值解不同，渐进解以一组函数序列来逼近非线性方程（或非线性方程组）的根[4]。由 于有显式的函数表达式，渐进解便于作解析分析，而同时它又能以任意高的精度逼近真解。 Adomian分解法是求非线性方程（或非线性方程组）渐进解的一种方法。本文在封闭解的基础 上，利用Adomian多项式，进行了弧齿锥齿轮大轮齿面坐标的渐进解的研究。 1 大轮齿面坐标的封闭解 图1为大轮齿面展成坐标示意图。 原点O位于机床中心,XOY 平面位于机床平面内。 原 点Oe位于刀盘中心，坐标轴Ze的正方向指向摇台体外。 M 点为被加工大轮齿面上的一个点， 该点的位置通常由旋转投影参数XL和RL确定。据此，可得M 点的坐标R = [Rx, Ry, Rz]T 满足 如下方程： XL = Rxcosγ + Rzsinγ (RL)2 = (−Rxsinγ + Rzcosγ)2 + (Ry)2 (1) (2) - 2 - OXYOXZMuXLRL

其中，γ为机床根锥角。此外，由图1可得到如下的几何关系： Rx = (rg − usinα)cosθ + sgcosϕ Ry = (rg − usinα)sinθ + sgsinϕ Rz = −ucosα http://www.paper.edu.cn (3) (4) (5) 其 中， rg为 刀 尖 半 径， α为 刀 具 齿 形 角， sg为 径 向 刀 位， u、 θ、 ϕ均 为 齿 面 参 数 坐 标。 根 据 啮 合 方 程：N • ω12 × R = 0(其 中，N 为 被 加 工 大 轮 与 产 形 轮 在M 点 处 的 公 法 线，且 有N = [−cosαcosθ,−cosαsinθ, sinα]T ；ω12为被加工大轮与产形轮在M 点处的相对角速度， 且有ω12 = [cosγ, 0, sinγ − m12]T ，而m12为加工滚比) 还可以建立u = f (θ, ϕ)的关系式，从而 消去参数u。 再将式(3)～(5)代入式(1)～(2)中，即可得到关于齿面参数坐标θ和ϕ的二元非线性 方程组。 在上述工作的基础上，作者在文献[3]中经过推导，得到了以cosθ为未知量的如下方程组： a1(cosθ)2 + b1cosθ + c1 = 0 a2(cosθ)2 + b2cosθ + c2 = 0 (6) (7) 这里，各系数ai, bi, ci(i = 1, 2)均是关于Rz的次数不超过2的函数。 对式(6)、 (7)进行消元，消 去(cosθ)2和cosθ，化简后可得到只含有一个未知量Rz的一元六次方程： d6(Rz)6 + d5(Rz)5 + d4(Rz)4 + d3(Rz)3 + d2(Rz)2 + d1Rz + d0 = 0 (8) 解方程(8)，即可得到齿面坐标Rz的封闭解。 2 大轮齿面坐标的渐进解 方程(8)是关于齿面坐标Rz的一元六次方程，除了通过数值计算方法求得其数值解外，还 可以通过Adomian分解法求得其渐进解。Adomian分解法求解非线性方程的基本思想是：将待 解方程的真解分解成若干个解分量之和，这些解分量之和能以任意高的精度逼近真解；针对各 解分量中的非线性部分，使用与其等价的Adomian多项式来表示。 基于该思想求方程(8)的渐 进解的过程是： 首先，对未知量Rz做代换，令： Rz = x − (RLcosγ − XLsinγ) = x − r0 (9) 这里，r0 = RLcosγ − XLsinγ。 将式(9)代入式(8)中，可得到如下形式的关于x的一元六次方 程: e6x6 + e5x5 + e4x4 + e3x3 + e2x2 + e1x + e0 = 0 对式(10)做变换，得到： x = e0−e1 + e6x6 + e5x5 + e4x4 + e3x3 + e2x2 −e1 - 3 - (10) (11) 

http://www.paper.edu.cn 表 1: 有关参数 项目 rg(mm) sg(mm) XL(mm) RL(mm) d6 d5 d4 d3 d2 d1 d0 x0 70.537440953182454 数值 项目 74.805 α(◦) γ(◦) δ(◦) 73.6147478505242674 m12 0.72167145153661405 21.0696957223527583 -1041.66054180075321 -213849.593850683246 2613946.51172725763 156414078.333141208 7009694749.14051151 28627675049.1711502 0.02427412958913037 e6 e5 e4 e3 e2 e1 e0 r0 数值 20.00 70.65 74.9833 0.96861925402081706 0.72167145153661405 -1061.1969424555316 -190130.197807848745 6259994.43821792491 95874514.8411649764 5834296637.86206627 -141622472.648891449 4.511840906084668 为方便，将式(11)改写成： x = x0 + f6x6 + f5x5 + f4x4 + f3x3 + f2x2 其中，x0 = −e0/e1，fi = −ei/e1(i = 2, 3,··· , 6)。则方程(10)的渐进解为： ∞ k=0 ∞ k=0 x = xk = x0 + Ak (12) (13) 其中，xk = Ak−1(k = 1, 2,··· )，而Ak即为Adomian多项式。 显然，Adomian多项式Ak是这里的关键。文献[5]中给出了一种计算Adomian多项式的简便 方法，文献[6]中则给出了多种计算Adomian多项式的递归公式，均可方便地完成Adomian多项 式的计算工作。 在依式(13)求得x的渐进解后，将其代入式(9)中，即可得到Rz的渐进解。 这里要特别说明 的是，之所以要通过式(9)将Rz代换成x再求解，是因为作者在实践中发现，未知量的值愈接 近0，则Adomian分解法收敛得愈快。 而r0与Rz的真解较为接近，经式(9)代换后，x的值较为 接近0，其渐进解收敛得较快。 3 算例 为便于比较和验证，作者使用与文献[3]中相同的轮坯参数，并给出详细的计算过程。 表1为有关的初始参数，其中δ为被加工大轮的节锥角。 以表1中的初始数据，按照式(1)、 式(2)通过求解二元非线性方程组的方法，可得到数值解R∗ z = −4.48757646690652034。 表1还给出了是式(8)～式(11)的有关参数。以表1中的参数d0～d6，按照式(8)通过求解一元 六次方程的方法，可以得到相同的R∗ z。 - 4 - 

http://www.paper.edu.cn 表 2: x和Rz渐进解 k 0 1 2 xk 2.4274129589e-02 x 2.4274129589e-02 Rz -4.48756677649553736841 ε -9.6904109829e-06 -9.6981586995e-06 2.4264431430e-02 -4.48757647465423747945 7.7477171345e-09 7.7554657253e-09 2.4264439186e-02 -4.48757646689877098822 -7.7493567119e-12 而表2展示了求解x和Rz的渐进解的过程，其中ε = R∗ z − Rz为求解误差。 从中可以看出， 利用Adomian多项式，只使用到A0和A1两项，计算结果就已经具有足够的精度了。 4 结论 本文给出了一种求解弧齿锥齿轮大轮齿面坐标渐进解的方法。与通常使用的数值计算方法 不同，该渐进解既具有显式的解析表达式，又具有足够高的计算精度，是弧齿锥齿轮大轮齿面 坐标求解的一种新方法。 参考文献（References） [1] 曾韬．螺旋锥齿轮设计与加工[M]，哈尔滨：哈尔滨工业大学出版社，1989.5 [2] F.L.Litvin．齿轮几何学与应用理论[M]，上海：上海科学技术出版社，2008.6 [3] 田行斌. 弧齿锥齿轮大轮齿面方程的封闭解[J]. 机械传动，2013年，37卷（9期）：85～86. [4] 张纪元．机械学的数学方法[M]，上海：上海交通大学出版社，2003.1 [5] 朱永贵，高小山. 计算Adomian多项式的新算法[J]. 系统科学与技术，2005年，25卷（1期）： 18～28 [6] Duan JunSheng．Convenient analytic recurrence algorithms for Adomian polynomials [J]． Applied Mathematics and Computation, 217:6337-6348, 2011 - 5 -