2022 年全国新高考 II 卷数学真题及答案
注意事项:
1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2.答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改
动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上.写在
本试卷上无效.
3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题:本题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一
项是符合题目要求的.
1. 已知集合
A
A. { 1,2}
【答案】B
1,1,2,4 ,
B
x x
B. {1,2}
1 1
,则 A B
(
)
C. {1,4}
D. { 1,4}
【解析】
【分析】求出集合 B 后可求 A B .
【详解】
B
x
| 0
故选:B.
2. (2 2i)(1 2i)
2 4i
【答案】D
A.
,故
x
2
A B
1,2
,
(
)
B.
2 4i
C. 6 2i
D. 6 2i
【解析】
【分析】利用复数的乘法可求
【详解】
2 2i 1 2i
2 2i 1 2i
.
2 4 4i 2i 6 2i
,
故选:D.
3. 中国的古建筑不仅是挡风遮雨的住处,更是美学和哲学的体现.如图是某古建筑物的剖
面图, 1
DD CC BB AA 是举,
,
,
,
1
OD DC CB BA 是相等的步,相邻桁的举步之比分别
,
,
,
1
1
1
k
1
,
k
2
,
,若 1
k
3
k k k 是公差为 0.1 的等差数列,且直
,
,
2
3
DD
为 1
OD
1
0.5,
1
CC
1
DC
1
1
BB
1
CB
1
1
AA
1
BA
1
线OA 的斜率为 0.725,则 3k (
)
学科 网(北 京)股 份有限 公司
B. 0.8
C. 0.85
D. 0.9
A. 0.75
【答案】D
【解析】
【分析】设 1
OD DC CB
1
1
BA
1
,则可得关于 3k 的方程,求出其解后可得正确的选
1
项.
【详解】设 1
OD DC CB
1
1
BA
1
k
依题意,有 3
0.2
,
k k
1
3
0.1
1
,
1
,则 1
k AA k
CC k BB
2
1
AA
DD CC BB
1
1
OD DC CB BA
1
,且 1
1
k
1
1
,
2
1
,
3
1
0.725
,
,故 3
k ,
0.9
所以
0.3
0.5 3
k
4
3
0.725
故选:D
学科 网(北 京)股 份有限 公司
b
(1,0),
c
B.
a
5
b ,若 ,
a c
t
b c ,则t (
,
)
C. 5
D. 6
4. 已知 (3,4),
a
A.
6
【答案】C
【解析】
【分析】利用向量的运算和向量的夹角的余弦公式的坐标形式化简即可求得
【详解】解:
c
3
t
,4
, cos ,
a c
cos ,
b c
,即
16
9 3
t
5
c
3
t
c
,解得 5t ,
故选:C
5. 有甲乙丙丁戊 5 名同学站成一排参加文艺汇演,若甲不站在两端,丙和丁相邻的不同排
列方式有多少种(
)
A. 12 种
【答案】B
【解析】
B. 24 种
C. 36 种
D. 48 种
【分析】利用捆绑法处理丙丁,用插空法安排甲,利用排列组合与计数原理即可得解
【详解】因为丙丁要在一起,先把丙丁捆绑,看做一个元素,连同乙,戊看成三个元素排列,
有3!种排列方式;为使甲不在两端,必须且只需甲在此三个元素的中间两个位置任选一个
位置插入,有 2 种插空方式;注意到丙丁两人的顺序可交换,有 2 种排列方式,故安排这 5
名同学共有:3! 2 2 24
故选:B
种不同的排列方式,
6. 角 ,满足sin(
)
cos(
) 2 2 cos
A. tan(
C. tan(
) 1
) 1
4
B. tan(
D. tan(
sin
,则(
)
)
1
)
1
【答案】D
【解析】
【分析】由两角和差的正余弦公式化简,结合同角三角函数的商数关系即可得解.
【详解】由已知得:
sin cos
cos
2 cos
sin sin
sin sin
cos
cos
cos
cos
cos
sin
,
0
,
sin
sin
即:sin cos
即:
sin
所以
tan
cos
1
,
sin
0
,
故选:D
学科 网(北 京)股 份有限 公司
7. 正三棱台高为 1,上下底边长分别为3 3 和 4 3 ,所有顶点在同一球面上,则球的表面
)
积是(
A. 100π
【答案】A
【解析】
B. 128π
C. 144π
D. 192π
【分析】根据题意可求出正三棱台上下底面所在圆面的半径 1
2,r r ,再根据球心距,圆面半
径,以及球的半径之间的关系,即可解出球的半径,从而得出球的表面积.
【详解】设正三棱台上下底面所在圆面的半径 1
2,r r ,所以
2
r
1
3 3
sin 60
,2
r
2
4 3
sin 60
,即
r
1
23,
r
,设球心到上下底面的距离分别为 1
,d d ,球的半径为 R ,所以
2
4
d
1
R
2
,
9
d
2
R
2
d
16
,故 1
d
2
1
d
或 1
d
2
,即 2
1
R
9
2
R
16
或
1
2
R
9
2
R
故选:A.
16 1
,解得 2
R 符合题意,所以球的表面积为
25
S
2
4π
R
100π
.
8. 若函数 ( )
f x 的定义域为 R,且 (
f x
y
)
(
f x
y
)
( ),
( )
f x f y
f
(1) 1
,则
22
k
1
( )
f k
)
(
A.
3
【答案】A
B.
2
C. 0
D. 1
【解析】
【分析】根据题意赋值即可知函数
f x 的一个周期为 6 ,求出函数一个周期中的
的值,即可解出.
6
f
2 ,
1 ,
,
f
f
【详解】因为
f x
0
2
f
f
x
2
f
f x
,令 1,
y
f x f y
,令 0x 可得,
f y
y
y
,所以 0
1
,所以函数
f x 为偶函数,令 1y 得,
y
1
1
f x
f x f
,
1
f x
1
f x
6
,所以函数
1
,
1 2
3
1
f x 的一个周期为 6 .
2
,
1
1
6
0
1
,
5
,即有
f x
,故
4
f x
f x
f x
f x
f x
f
1
2
f
2
2
2
1
f
f
f
f
f
f
f
1
2
1
f
f y
f x
f x
f x
因为
f
4
f
2
f
学科 网(北 京)股 份有限 公司
可得,
0
f
y
2
f y
,即
1
,从而可知
f x
4
f x
,即
f
,
1 1
2
f
f
0
,所以
2
一个周期内的
1
f
f
2
f
6
0
.由于 22 除以 6 余 4,
所以
22
k
1
f k
f
1
f
2
f
3
f
4
1 1 2 1
3
.
故选:A.
二、选择题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.在每小题给出的选项中,有多项符合
题目要求.全部选对的得 5 分,部分选对的得 2 分,有选错的得 0 分.
9. 函数 ( )
f x
sin(2
x
)(0
的图象以
π)
2π ,0
3
中心对称,则(
)
A. y ( )
f x 在
B. y ( )
f x 在
单调递减
5π0,
12
π 11π
12 12
,
有 2 个极值点
C. 直线
x 是一条对称轴
7π
6
3
2
是一条切线
x
D. 直线
y
【答案】AD
【解析】
【分析】根据三角函数的性质逐个判断各选项,即可解出.
【详解】由题意得:
f
2π
3
sin
4π
3
0
,所以
4π
3
k , k Z ,
π
即
4π
3
π,
k k
Z ,
又 0
π ,所以 2
k 时,
,故
2π
3
( )
f x
x
sin 2
2π
3
.
x
5π0,
12
时,
2
x
2π
3
2π 3π
3
2
,
,由正弦函数 sin
y
u
图象知
y
( )
f x
在
对 A,当
5π0,
12
对 B,当
上是单调递减;
x
π 11π
12 12
,
2
时,
x
2π
3
有 1 个极值点,由
2
x
2π
3
,解得
3π
2
学科 网(北 京)股 份有限 公司
,由正弦函数 sin
y
u
图象知
y
( )
f x
只
x ,即
x 为函数的唯一极值点;
5π
12
,
π 5π
2 2
5π
12
对 C,当
x 时,
7π
6
2
x
对 D,由
y
x
2cos 2
2π
3
2π
3
,
3π
f
7π(
6
) 0
,直线
x 不是对称轴;
7π
6
1
得:
x
cos 2
2π
3
1
2
,
解得
2
x
2π
3
2π
3
2 π
k
或
2
x
2π
3
4π
3
2 π,
k k
Z ,
从而得:
x
k 或
π
x
所以函数
y
( )
f x
在点
0,
π
3
π,
k k
Z ,
3
2
处的切线斜率为
k
y
x
0
2cos
2π
3
,
1
切线方程为:
y
3
2
故选:AD.
即
0)
x
(
y
3
2
.
x
10. 已知 O为坐标原点,过抛物线
的焦点 F的直线与 C交于 A,B两点,
0)
点 A在第一象限,点 (
M p ,若 |
,0)
,则(
)
:
C y
AF
2
2
|
|
AM
(
px p
|
B. |
OB OF
|
|
|
D.
OAM
OBM
180
p
)
,再由斜率公式即可判断 A 选项;
,即可求出 OB 判断 B 选项;由抛
0
,
MA MB
0
求得 AOB
,
6
2
p
)
6
3
OA OB
A. 直线 AB 的斜率为 2 6
C. |
| 4 |
OF
AB
|
【答案】ACD
【解析】
【分析】由 AF
AM
及抛物线方程求得 3
p
(
A
4
,
表示出直线 AB 的方程,联立抛物线求得
B
(
p
3
,
物线的定义求出
AB
25
p
12
即可判断 C 选项;由
AMB
为钝角即可判断 D 选项.
学科 网(北 京)股 份有限 公司
【详解】
pF
对于 A,易得 (
2
为
p
2
p
2
,
3
p
4
,0)
,由 AF
AM
可得点 A 在 FM 的垂直平分线上,则 A 点横坐标
代入抛物线可得 2
y
2
p
3
p
4
3
2
2
p
,则 3
p
(
A
4
,
p
)
6
2
,则直线 AB 的斜率为
p
6
2
2 6
,A 正确;
p
2
3
p
4
对于 B,由斜率为 2 6 可得直线 AB 的方程为
x
1
2 6
y
,联立抛物线方程得
p
2
2
y
1
6
py
2
p
,
0
(
B x y ,则
设 1
)
,
1
解得 1
x ,则
p
3
6
2
p
y
1
6
6
p
,则
y
1
p
6
3
,代入抛物线得
p
6
3
2
2
p x
1
,
B
(
p
3
,
p
6
3
)
,
则
OB
2
p
3
p
6
3
2
p
7
3
OF
p
2
,B 错误;
对于 C,由抛物线定义知:
AB
3
p
4
对于 D,
OA OB
(
3
p
4
,
p
6
2
) (
p
3
,
p
3
6
3
p
25
p
12
2
p
4
OF
,C 正确;
p
)
3
p p
4
3
p
6
2
p
6
3
3
2
p
4
0
,则
学科 网(北 京)股 份有限 公司
为钝角,
AOB
又
MA MB
(
p
4
,
p
6
2
) (
2
p
3
,
p
)
6
3
p
4
2
p
3
p
6
2
p
6
3
5
2
p
6
0
,
又
AMB
OAM
为钝角,
则 AMB
AOB
故选:ACD.
11. 如图,四边形 ABCD 为正方形,ED 平面 ABCD ,
三棱锥 E ACD
, F ABC
, F ACE
的体积分别为 1
OBM
,则
360
OAM
OBM
180
,D 正确.
,
∥
FB ED AB ED
,
V V V ,则(
,
)
2
3
2
FB
,记
A.
C.
V
3
V
3
22
V
V V
1
2
【答案】CD
【解析】
B.
D.
V
3
2
V
3
12
V
3
V
1
【分析】直接由体积公式计算 1
V
3
V
C EFM
A EFM
V
计算出 3V ,依次判断选项即可.
,V V ,连接 BD 交 AC 于点 M ,连接
2
,EM FM ,由
【详解】
设
AB ED
2
V
1
1
3
ED S
ACD
学科 网(北 京)股 份有限 公司
FB
a
,因为 ED 平面 ABCD , FB ED
2
1
3
1
2
4
3
2
,
2
2
a
a
a
3
,则